《函数微分法》PPT课件.ppt

一、函数四则运算的求导法则一、函数四则运算的求导法则 定理定理1:如果函数如果函数u(x),v(x)在点在点x处可导处可导,则它们的则它们的和和,差差,积积,商商(分母不为零分母不为零)在点在点x处也可导处也可导,并且并且2.2 函数的求导法则函数的求导法则1)1)对于有限个可导函数的代数和仍成立对于有限个可导函数的代数和仍成立.如如注注注注2)2)3)3)求求及及例例2 2，求，求 例例1 1，求，求例例3 3例例4:例例5:例例6 6:，求，求二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2:如果函数如果函数x=f(y)在区间在区间 Iy 内单调可导内单调可导,且且f(y)0,那么它的反函数那么它的反函数y=f-1(x)在区间在区间 Ix=x|x=f(y),y Iy 内也可导内也可导,且且即即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例7:三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 定理定理3:如果如果函数函数u=(x)在点在点x处可导处可导,而而 y=f(u)在点在点u=(x)处可导处可导,则则复合函数复合函数 y=f (x)在在点点x处可导处可导,且其且其导数为导数为或或 即即:复合函数复合函数复合函数复合函数因变量对自变量求导因变量对自变量求导因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于等于等于等于因变量对因变量对因变量对因变量对中间变量求导中间变量求导中间变量求导中间变量求导乘以乘以乘以乘以中间变量对自变量求导中间变量对自变量求导中间变量对自变量求导中间变量对自变量求导(链式法则链式法则).注注1.链式法则链式法则“由外向里由外向里,逐层求导逐层求导”;注注2.注意适当选择中间变量注意适当选择中间变量.例例8:例例9:推广推广:设设y=f(u),u=(v),v=(x),满足定理满足定理3的条件的条件,则复合函数则复合函数 y=f (x)的导数为的导数为:求函数求函数的导数的导数.例例11:例例12:例例10:例例13:设设其中其中可导可导,求求例例14:思考题思考题:注注1.在复合函数求导中在复合函数求导中,符号符号与与有严格的差异有严格的差异,前者是对中间变量前者是对中间变量前者是对中间变量前者是对中间变量v=sinxn求导求导求导求导,而后者而后者而后者而后者是对最终自变量是对最终自变量是对最终自变量是对最终自变量x x求导求导求导求导.注注2.基本初等函数的基本初等函数的导数公式导数公式导数公式导数公式和上述和上述求导法则求导法则求导法则求导法则是是初等函数求导运算的基础初等函数求导运算的基础,必须必须熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握.注注4.对于对于分段函数求导问题分段函数求导问题分段函数求导问题分段函数求导问题:在定义域的各个部在定义域的各个部分分区间内部区间内部区间内部区间内部,仍按初等函数的仍按初等函数的求导法则处理求导法则处理求导法则处理求导法则处理,在在分界分界分界分界点处须用导数的定义点处须用导数的定义点处须用导数的定义点处须用导数的定义仔细分析仔细分析.注注3.复合函数求导的复合函数求导的链式法则链式法则链式法则链式法则是一元函数微分学是一元函数微分学的理论基础和精神支柱的理论基础和精神支柱,要要深刻理解深刻理解深刻理解深刻理解,熟练应用熟练应用熟练应用熟练应用注意不要漏层注意不要漏层注意不要漏层注意不要漏层.例例16:例例15:四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设u=u(x),v=v(x)可导可导,则则(1)(u v)=u v,(2)(Cu)=Cu(C是常数是常数),(3)(uv)=u v+uv,(4)3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 如果如果y=f(u)而而u=(x)满足条件满足条件,则则复合函数复合函数y=f(x)的的导数为导数为:或或 利用上述公式及法则利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完全初等函数求导问题可完全解决解决.且且初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数1.在四则运算求导法则中在四则运算求导法则中,注意注意:5.求分段函数求导时求分段函数求导时,分界点处的导数注意用左分界点处的导数注意用左右导数右导数.2.反函数的求导法则反函数的求导法则(注意成立条件注意成立条件).3.在复合函数的求导法则中在复合函数的求导法则中,注意函数的复合过注意函数的复合过程程,合理分解正确使用链导法合理分解正确使用链导法.4.初等函数都可以利用上述三个法则求其导数初等函数都可以利用上述三个法则求其导数.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.内容小结内容小结1.思考与练习思考与练习对吗?2.求下列函数的导数求下列函数的导数3.设求4.设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,5.设求解解:方法方法1 利用导数定义.方法方法2 利用求导公式.思考题思考题 若若f(u)在点在点u0处不可导处不可导,u=g(x)在点在点x0处可导处可导,且且u0=g(x0),则则f g(x)在点在点x0处处().(1)必可导必可导;(2)必不可导必不可导;(3)不一定可导不一定可导.思考题解答思考题解答正确的选择是正确的选择是(3).反例反例:f(u)=|u|在在u=0处不可处不可导导.(2)取取g(x)=x2,在在x=0处可导处可导.但但 f g(x)=|x2|=x2在在x=0处可处可导导.(1)取取g(x)=x,在在x=0处可导处可导.但但 f g(x)=|x|在在x=0处不可处不可导导.(1)(2)