高二竞赛班第1讲运动的描述.教师版.doc

|第 1 讲 运动的描述运动学复习本讲导学物理学是用数学描述自然现象的学科。所以的描述中，运动是最基本最常见的。运动的描述，本质还是物体的描述与空间的描述，本讲系统讲述对描述的数学语言。知识模块知识点睛一坐标系1.定坐标系：建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将定系固结在地面上。2.动坐标系：建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，简称动系。动系有平动系与转动系之分，注意区分。注意质点不能成为一个参考系。二动点动点是指相对于定系和动系均有运动的点，如图车轮上的一点 P 作为动点。3三种运动及三种速度与三种加速度1.运动定义：绝对运动：动点相对于定系的运动,如 P 相对于地面的运动。相对运动：动点相对动系的运动,如 P 相对于车厢的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动,如行驶的汽车相对于地面的运动。2.关联关系：1）动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。记为：讲述高端的，真正的物理学2高二·物理竞赛春季班·第 1 讲·学生版reav如图：2）加速度关联比较复杂：A：如果牵连运动为平动：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。记为：reaB：如果牵连运动为转：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度以及科氏加速度的矢量和。记为： krea其中科氏加速度 ),sin(2 ,2rerekrek vv如图：以上只是物理定义，具体到不同的坐标系中，方程的数学表达会有所不同。我们在以前的课程中介绍过直角坐标系，极坐标系，自然坐标系。这里再引入另一个坐标系。附录1.球坐标在空间任取一点 O 作为极点 ,从 O 引两条互相垂直的射线 ox 和 oz 作为极轴,再规定一个长度单位和射线 ox 绕 oz 轴旋转所成角的正方向, 这样就建立了一个球坐标系.|球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。设 P（ x， y， z） 为空间内一点，则点 P 也可用这样三个有次序的数 r， ， 来确定，其中 r 为原点 O 与点 P 间的距离， 为有向线段与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面 xoy 的投影所转过的角，这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影。这样的三个数 r， ， 叫做点 P 的球面坐标，这里 r， ， 的变化范围为 r0,+), 0, 2, 0, . 2.立体角定义:一个任意形状椎面所包含的空间称为立体角。符号： 单位：Sr （球面度）如图所示，A 是半径为 R 的球面的一部分， A 的边缘各点对球心 O 连线所包围的那部分空间叫立体角。立体角的数值为部分球面面积A 与球半径平方之比，即2R单位立体角：以 O 为球心、 R 为半径作球，若立体角 截出的球面部分的面积为 R2，则此球面部分所对应的立体角称为一个单位立体角，或一球面度。对于一个给定顶点 O 和一个随意方向的微小面积 dS ，它们对应的立体角为2cosRdS其中 为 dS 与投影面积 dA 的夹角，R 为 O 到 dS 中心的距离。讲述高端的，真正的物理学4高二·物理竞赛春季班·第 1 讲·学生版例题精讲第一部分：数学描述能力训练【例 1】 （1）某人不喜欢吃苹果皮，但是更懒得削苹果皮。假设苹果是球形的，他将苹果切成等厚度的薄片，求证他在每片苹果上吃到的苹果皮的量是一样多的（2）某个国家的范围是北纬 30 度到北纬 31 度，经度范围是东经 65 度到 66 度，这个国家的领土占地球的比例大约为多少？近似计算,精确到 2 位有效数字。)【例 2】一位盲人将枪端平，开始打靶。由于看不见，他将随机向平面中任意一个方向打出子弹。一面墙在离他的距离为 d。从人到墙做垂线，将垂足记为原点，计算从 x 到 x+dx 的范围内墙面被子弹击中的概率。【例 3】上一题中的盲人跑到了太空站中，向随机的方向打出子弹，墙和他的间距为 d，原点保|持不变，建立平面直角坐标系 x-y，从 x 到 x+dx，y 到 y+dy 的范围内，墙面被子弹击中的概率为多少？【例 4】建立极坐标，在 上定义发向与切向的单位向量 。(,),n（1） 写出从极点到 点的位移矢量，用 ， 表达。,（2） 假设一个质点以角速度 做匀速原周运动，那么 和 一样都是时间的函数。求出,。,dnt（3） 用 和 （及其导数）表达质点的运动速度(),t（4） 用 和 （及其导数）表达质点运动的加速度,n（5） 用以上的方法写出极坐标下的牛顿第二定律的表达形式讲述高端的，真正的物理学6高二·物理竞赛春季班·第 1 讲·学生版第二部分 物理应用【例 5】在匀强磁场 B 中，有一个带点量为 q，质量为 m 的粒子，在垂直于的磁场的平面内运动。粒子初速度为 。0v（1） 利用上一题中的 表达牛顿第二定律，并求出 。,n,dnt（2） 如果粒子受到恒定的于粒子速度方向相反的阻力 ，写出牛顿第二定律，并计算出粒子f的速度随时间的关系。（3） 接(2)计算出粒子运动的轨迹（用参数方程描述）（4） 如果粒子受到的阻力为 ，求出粒子从开始运动到停下来走过的路程。fkv【例 6】一个半径为 的钢球固定在空间中，一束以速度为 运动的质量为 的小粒子撞向钢球，单r vm位时间单位面积上通过的粒子数为 。粒子和钢球之间发成完全弹性碰撞。j（1）某个粒子的初速度的延长线与球心的距离为 ，则这个粒子碰撞后的速度方向改变的夹角b为多少？（2）在距离很远的地方有一堵垂直于粒子束的墙面，在粒子出射角为 的方向，单位墙面上单位时间内单位方向上接受到粒子的数量为多少？|【例 7】如图所示，杆 AB 搁置在半径为 R 的半圆柱上，A 端沿水平面以等速 V 作直线运动，图示瞬间，杆与水平面夹角为 ，杆上 C 点与半圆柱体 D 点相切，（1）此时杆上 C 点的速度大小为多少？（2）此时在圆柱体上 D 点的速度的大小又为多少？（3）C 点加速度多少？【例 8】如图所示，杆 长为 ，可绕过 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点 系着一跨过定OAROA滑轮 、 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块 ，滑轮的半径可忽略， 在 的正上方，BCMBO之间的距离为 。某一时刻，当绳的 段与 之间的夹角为 时，杆的角速度恒定为 ，求OHBA此时物块 的速率 以及加速度 aMMv【例 9】杆 AC 沿槽以匀速 向上运动，并带动杆 AB 及滑块 B。若 AB ，且初瞬时 .求当l0讲述高端的，真正的物理学8高二·物理竞赛春季班·第 1 讲·学生版时，滑块 B 沿滑槽滑动的速度。60o解答： cosBxl对时间求一阶导数，有 sinBlA在坐标系 中，A 点的坐标为OxysincoscosAAAylll代入上式，得 tacosAByxlA代入 ，则有滑块 B 的速度为60A3B其方向沿 轴正向。Ox【例 10】半径为 R 的半圆形凸轮 D，已知其运动的速度为 、加速度为 ，方向如图（a）所DD示。凸轮推动杆 AB 沿铅直方向运动。试求当 时，杆 AB 移动的速度和加速度以及 A 相对凸03轮的速度。 RDBareA 0( a )raAne( b )A earyx( c )raAne( d )图2 - 6确答:取杆 AB 上的 A 点为动点，动系为凸轮 D，定系为地面。动点的绝对运动轨迹为铅垂线，相对运动轨迹为凸轮的轮廓线，即半径为 R 的圆曲线、牵连运动为平动。（1）求速度动点 A 的速度矢量图如图（c）所示。根据速度合成定理，有（1）aer = +1x1yA y1yBCO1x|取投影轴 如图（c）所示。将式（1）分别在 轴上投影，则有,xy ,xy（2） 0:0os,cos3eerr（3）0:intacsearey于是，杆 AB 移动的速度也即动点 A 的绝对速度为 03A杆 AB 相对于凸轮的相对速度为 023r（2）求加速度加速度矢量图如图（d）所示。由动系作平动时的加速度合成定理，有（4）aern=+取投影轴 如图（d）所示。将式（4）分别在 轴方向投影，有, ,n:sicos(5)cin6nera上式中 ，由式（6） ，有 220(/s)4ernRR 2004cos3in3a R所以 2083a由式（5） ，有 200sincos813()3raeaRA于是杆 AB 移动的加速度也即动点 A 的绝对加速度为 2083AaRAB 相对于凸轮的加速度为 2002349raR204rn讲述高端的，真正的物理学10高二·物理竞赛春季班·第 1 讲·学生版课后小练习1.考虑点电荷产生周围的静电场（1） 假设平方反比率不再成立，而是 ，那么高斯定律是否还会成立？在这种情况下一2krE个金属球壳的内部是否一定没有电荷分布？电场是否一定为 0？（2） 假设三维空间变成了二维，要求高斯定律依然成立，则电场分布的形式满足什么形式？一个“金属球壳” （实际上是圆环）内部是否一定没有电荷分布？电场是否一定为 0？趣味物理量子力学史量子理论的主要创立者都是年轻人。1925年，泡利25岁，海森堡和恩里克·费米（Enrico Fermi）24岁，狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器晚成者，36岁。玻恩和玻尔年龄稍大一些，值得一提的是他们的贡献大多是阐释性的。爱因斯坦的反应反衬出量子力学这一智力成果深刻而激进的属性：他拒绝自己发明的导致量子理论的许多关键的观念，他关于玻色-爱因斯坦统计的论文是他对理论物理的最后一项贡献，也是对物理学的最后一项重要贡献。1923年 路 易 ·德 布 罗 意 （ Louis de Broglie） 在 他 的 博 士 论 文 中 提 出 光 的 粒 子 行 为 与 粒 子 的 波动 行 为 应 该 是 对 应 存 在 的 。 他 将 粒 子 的 波 长 和 动 量 联 系 起 来 ： 动 量 越 大 ， 波 长 越 短 。 这 是 一 个 引人 入 胜 的 想 法 ， 但 没 有 人 知 道 粒 子 的 波 动 性 意 味 着 什 么 ， 也 不 知 道 它 与 原 子 结 构 有 何 联 系 。 然 而德 布 罗 意 的 假 设 是 一 个 重 要 的 前 奏 ， 很 多 事 情 就 要 发 生 了 。 1924年 夏 天 ， 出 现 了 又 一 个 前 奏 。 萨 地 扬 德 拉 ·N·玻 色 （ Satyendra N. Bose） 提 出 了 一 种全 新 的 方 法 来 解 释 普 朗 克 辐 射 定 律 。 他 把 光 看 作 一 种 无 （ 静 ） 质 量 的 粒 子 （ 现 称 为 光 子 ） 组 成 的气 体 ， 这 种 气 体 不 遵 循 经 典 的 玻 耳 兹 曼 统 计 规 律 ， 而 遵 循 一 种 建 立 在 粒 子 不 可 区 分 的 性 质 （ 即 全同 性 ） 上 的 一 种 新 的 统 计 理 论 。 爱 因 斯 坦 立 即 将 玻 色 的 推 理 应 用 于 实 际 的 有 质 量 的 气 体 从 而 得 到一 种 描 述 气 体 中 粒 子 数 关 于 能 量 的 分 布 规 律 ， 即 著 名 的 玻 色 -爱 因 斯 坦 分 布 。 然 而 ， 在 通 常 情 况