实数综合以及其~提高.doc

|实数综合与提高|一、实数的概念及分类 1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0； 另一种分类是：有理数、无理数 将两种分类进行组合：负有理数，负无理数， 0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 等；（2 ）有特定意义的数，如圆3,7周率 ，或化简后含有 的数，如 +8 等；（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如 sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对|值。 （|a|0） 。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1 。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。表示方法：记作“ ”，读作根号 a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。表示方法：正数 a 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号a”。|性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。0a注意 的双重非负性：a03、立方根一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根） 。表示方法：记作 3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33a四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数，|,0baba0（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数， ;1;1;1baba（4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 。ba（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则 。ba2五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） )0()(2a)0(a（2） 2)(（3） （ ）0,(baab )0,(baba（4） （ ）),3、运算结果若含有“ ”形式，必须满足：（1 ）被开方数的a因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序|先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 ab加法结合律 )()(cc乘法交换律 乘法结合律 )()(bca乘法对加法的分配律 例题例 1 已知一个立方体盒子的容积为 216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？例 2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。例 3 下列说法中：无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无理数；实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例 4 （1 ） 已知 2()0,()yxyxyzxz求 的 平 方 根 。(2)设 2a2的 整 数 部 分 为 ， 小 数 部 分 为 b， 求 -16a8b的 立 方 根 。(3)若, 3523204,4xymxymxy适 合 于 关 系 式 试 求 的 算 术 平 方 根 。（4 ） 设 a、b 是两个不相等的有理数，试判断实数 是有理数还是无理数，并说明理3ab|由。例 5 （1 ）已知 2m-3 和 m-12 是数 p 的平方根，试求 p 的值。（2 ） 已知 m，n 是有理数，且 ，求 m，n 的值。(52)(35)70mn（3 ） ABC 的三边长为 a、b、c，a 和 b 满足 ，求 c 的取值范围。214ab（4 ）已知 ，求 x 的个位数字。19332()4axa分类讲解一、二次根式的非负性1若 ，则 =_204205aa2042已知： ，求 的值181xy 2xyxy3已知 、 为实数，且 ，求 的值x 49y二、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方1化简 ，所得的结果为 _221()n（拓展）计算 22222 041314311 2化简： 3化简553yy241864化简： 5化简：361325735|6化简： 23610432（二）分母有理化1计算： 的值4974917515 2分母有理化： 3计算：32613三、二次根式的应用（一）无理数的分割1设 为 的小数部分， 为 的小数部分，则a53b363的值为（ ）b2（A） （B） （C） （D）164112822设 的整数部分为 ，小数部分为 ，试求 的值5xyxy3设 的整数部分为 ，小数部分为 ，试求 的值1983ab1ab（二）最值问题1设 、 、 均为不小于 3 的实数，则 c2|的最小值是abc_2实数 满足 ，则 的最， 2 21610|3|2|aab2ab大值为_（三）性质的应用1设 、 、 均为正整数，且 ，则 =_mxy yxm28mx2已知 ，则 的值为 22519x21593已知 ，求 的值3xy， 45xy4已知 ， ，求 的值72.17.50.2（四）有二次根式的代数式化简|1已知： ， ，求： 的值78x78yyx22已知 ，求 的值31aaa22113已知： ， 为实数，且 求 的ab22a22ab值（五）比较数的大小1设 ab cd0 且， 则xabcdyabdzabc， ，x、y、z 的大小关系2比较 与 的大小 572133比较 与 的大小mn1979n4比较 与 的大小 196565比较 与 的大小 200126比较 与 的大小3a4|实数拓展提高训练题1 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。其中正确的说法的个数是（ ）A1 B2 C3 D42如果 a 有算术平方根，那么 a 一定是（ ）A正数 B0 C非负数 D非正数