2018年度黄冈中学自主招生专业考试数学模拟测试检查题一内容答案.doc

|2017 年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一 一选择题（共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1已知实数 x，y，z 适合 x+y=6，z 2 =xy9 ，则 z=（ ） A±1 B 0 C1 D1 2若关于 x 的一元二次方程 mx 2 2x+1=0 无实数根，则一次函数 y=（m 1）x m 图象不经过（ ） A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知实数 a，b（其中 a0）满足 ，b 2 +b=4 ，则 的值是（ ） A B C D 4在斜边 AB 为 5 的 RtABC 中，C=90° ，两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x 2 （m 1 ）x+m+4=0 的两个实数根，则 m 的值为（ ） A 4 B 4 C8 或4 D8 5已知实数 a，b，若 a b ， ，则 ab 的最大值是（ ） A1 B C2 D 6设关于 x 的方程 ax 2 +（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根 x 1 、x 2 ，且 x 1 1 x 2 ，那么实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 7三角形的两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 7x+12=0 的一个根，则 这个三角形的周长是（ ） A9 B 12 C13 D12 或 13 8已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点 A （1 ，2 ） ，B （2，3）两点，且不经过第一象 限，若 S=a+b c，则 S 的取值范围是（ ） AS 3 B S 2 CS 2DS3|9函数 y=2x 2 +4x 5 中，当3x 2 时，则 y 值的取值范围是（ ） A 3 y 1B 7y1C7y 11 D7y 11 10如图是二次函数 y=ax 2 +bx+c 过点 A （3，0） ，对称轴为 x=1给出四个结论： b 2 4ac，2a+b=0 ；ab+c=0；5ab其中正确结论是（ ） A B C D 二填空题（共8 小题，每小题4 分，共32 分） 11已知 m、n 是方程 x 2 +2 x+1=0 的两根，则代数式 值为 12定义新运算“*” 规则：a*b= ，如 1*2=2， （ ）* = ，若 x 2 +x 1=0 两根为 x 1 ，x 2 ，则 x 1 *x 2 = 13若 +b 2 +2b+1=0，则 a 2 + |b|= 14a 、b 为实数，且满足 ab+a+b8=0 ，a 2 b+ab 2 15=0，则（ab） 2 = 15关于 x 3 ax 2 2ax+a 2 1=0 只有一个实数根，则 a 的取值范围是 16已知二次函数 f （x ）=x 2 2x n 2 n 的图象与 x 轴的交点为（a n ，0） ， （b n ，0 ） ， 则式子 + + + + + = 17若二次函数 y=x 2 +（a+17 ）x+38 a 与反比例函数 y= 的交点是整点（横坐 标和纵坐标都是整数的点） ，则正整数 a 的值是 18函数 y=ax+6 （其中 a，b 是整数）的图象与三条抛物线 y=x 2 +3 ，y=x 2 +6x+7，y=x 2 +4x+5 分别有 2 、l、0 个交点，则（a ，b）= 三解答题（共5 小题，合计58 分。 ） 19已知 m，n 是方程 x 2 +3x+1=0 的两根|（1）求（m+5 ） 的值（2）求 + 的值 （12 分） 20已知 a 2 +b 2 =1， ，求 a+b+ab 的取值范围 （10 分） 21已知 x 1 ，x 2 是一元二次方程（a 6 ）x 2 +2ax+a=0 的两个实数根 （1）是否存在实数 a，使x 1 +x 1 x 2 =4+x 2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在， 请你说明理由； （2）求使（x 1 +1） （x 2 +1 ）为负整数的实数 a 的整数值 （10 分） 23已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 （2k+3）|x+k 2 +3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5 （1）k 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，ABC 是等腰三角形？并求ABC 的周长 （12 分） 24已知二次函数 y=ax 2 4ax+a 2 +2 （a0 ）图象的顶点 G 在直线 AB 上，其中 A（ ，0 ） 、B （0，3 ） ，对称轴与 x 轴交于点 E （14 分） （1）求二次函数 y=ax 2 4ax+a 2 +2 的关系式； （2）点 P 在对称轴右侧的抛物线上，且 AP 平分四边形 GAEP 的面积，求点 P 坐标； （3）在 x 轴上方，是否存在整数 m ，使得当 x 时，抛物线 y 随 x 增大而增大？若存在，求出所有满足条件的 m 值；若不存在，请说明理由 |2017 年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一 参考答案与试题解析一选择题（共10 小题） 1已知实数 x，y，z 适合 x+y=6，z 2 =xy9 ，则 z=（ ） A±1 B 0 C1 D1 【分析】题目中已知 x+y=6 及 xy=z 2 +9，容易得知 x，y 为根的二次方程 t 2 6t+z 2 +9=0 ，再根据根的判别式即可求解 【解答】解：实数 x、y 、z 满足 x+y=6 ，z 2 =xy 9 即 xy=z 2 +9， 以 x，y 为根的二次方程为 t 2 6t+z 2 +9=0 ， 其中=364 （z 2 +9）= 4z 2 0， 所以 z=0 故选 B 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式的运用，难度适中，关 键要掌握 x 1 ，x 2 是方程 x 2 +px+q=0 的两根时，x 1 +x 2 =p，x 1 x 2 =q 2若关于 x 的一元二次方程 mx 2 2x+1=0 无实数根，则一次函数 y=（m 1）x m 图象不经过（ ） A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据判别式的意义得到 m0 且= （2） 2 4m0，解得 m1，然后 根据一次函数的性质可得到一次函数 y=（m 1 ）x m 图象经过第一、三象限，且 与 y 轴的交点在 x 轴下方 【解答】解：根据题意得 m0 且= （2） 2 4m0， 解得 m1 ， m1 0 ，m0 ，|一次函数 y=（m 1 ）x m 图象经过第一、三、四象限 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a0）的根的判别式 =b 2 4ac：当0 ，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实 数根；当0 ，方程没有实数根也考查了一次函数图象与系数的关系 3已知实数 a，b（其中 a0）满足 ，b 2 +b=4 ，则 的值是（ ） A B C D 【分析】先根据 a+ =4 解关于 的一元二次方程即可得出 a，再根据 b 2 +b=4 求出 b，从而得出 的值即可 【解答】解：a+ =4 ，b 2 +b=4 ， 解关于 、b 的一元二次方程可得出 = ，b= ， a0 ， = ，b= ， a= ， = + ， 即 = + 或 = + ， = 或 = ； 故选 B 【点评】本题考查了根与系数的关系，无理方程以及代数式求值、用公式法解 一元二次方程，熟练掌握求根公式是解此题的关键|4在斜边 AB 为 5 的 RtABC 中，C=90° ，两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x 2 （m 1 ）x+m+4=0 的两个实数根，则 m 的值为（ ） A 4 B 4 C8 或4 D8 【分析】根据勾股定理求的 a 2 +b 2 =25，即 a 2 +b 2 =（a+b ） 2 2ab ，然后根据根与 系数的关系求的 a+b=m 1ab=m+4 ；最后由 联立方程组，即可求得 m 的值 【解答】解：斜边 AB 为 5 的 Rt ABC 中，C=90°，两条直角边 a、b， a 2 +b 2 =25， 又a 2 +b 2 = （a+b ） 2 2ab， （a+b） 2 2ab=25， a、b 是关于 x 的方程 x 2 （m1 ）x+m+4=0 的两个实数根， a+b=m 1 ， ab=m+4 ， 由，解得 m=4 ，或 m=8 ； 当 m=4 时，ab=0， a=0 或 b=0， （不合题意） m=8； 故选 D 【点评】本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用解答此题时，需 注意作为三角形的两边 a、b 均不为零这一条件5已知实数 a，b，若 a b ， ，则 ab 的最大值是（ ）|A1 B C2 D 【分析】设 ab=x ，ab=t ，再将 转化成 a b，ab 的形式，从而求出 ab，ab 的值，再确定出 ab 的最大值 【解答】解：设 ab=x ，ab=t ， = ， =b 2 4ac=88t 0 ， t 1 仅当 时，ab=2，ab=1 成立， 故选 A 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式，是基础知识要 熟练掌握6设关于 x 的方程 ax 2 +（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根 x 1 、x 2 ，且 x 1 1 x 2 ，那么实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】方法 1 、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 a 的不等式，求 出 a 的取值范围又存在 x 1 1x 2 ，即（x 1 1） （x 2 1）0，x 1 x 2 （x 1 +x 2 ） +10 ，利用根与系数的关系，从而最后确定 a 的取值范围 方法 2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而 x 1 1 x 2 ， 可以看成是二次函数 y=ax 2 +（a+2 ）x+9a 的图象与 x 轴的两个交点在 1 左右两侧， 由此得出自变量 x=1 时，对应的函数值的符号，即可得出结论 【解答】解：方法 1 、方程有两个不相等的实数根， 则0 ， （a+2） 2 4a×9a= 35a 2 +4a+40 ，|解得 a ， x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 =9， 又x 1 1x 2 ， x 1 10，x 2 1 0， 那么（x 1 1 ） （x 2 1 ）0， x 1 x 2 （x 1 +x 2 ）+1 0 ， 即 9+ +1 0， 解得 a0， 最后 a 的取值范围为： a0 故选 D 方法 2、由题意知，a 0 ，令 y=ax 2 +（a+2）x+9a ， 由于方程的两根一个大于 1，一个小于 1， 抛物线与 x 轴的交点分别在 1 两侧， 当 a0 时，x=1 时，y0 ， a+（a+2 ）+9a 0， a （不符合题意，舍去） ， 当 a0 时，x=1 时，y0 ， a+（a+2 ）+9a 0， a ， a 0， 故选 D 【点评】总结：1 、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0 方程有两个相等的实数根；|（3）0方程没有实数根 2、根与系数的关系为：x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 = 7三角形的两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 7x+12=0 的一个根，则 这个三角形的周长是（ ） A9 B 12 C13 D12 或 13 【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进 而求得三角形周长即可 【解答】解：解方程 x 2 7x+12=0 得第三边的边长为 3 或 4 3第三边的边长9， 第三边的边长为 4 ， 这个三角形的周长是 3+6+4=13 故选 C 【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小 于两边的和8已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点 A （1 ，2 ） ，B （2，3）两点，且不经过第一象 限，若 S=a+b c，则 S 的取值范围是（ ） AS 3 B S 2 CS 2DS3 【分析】将 A、B 两点的坐标代入得出关于 a 、b、c 的方程组，将 a 看做常数解 次方程组得 ，将其代入得 S=a+bc=2a2，结合二次函数的图象与性质知 a0 、c=2a+1 0，据此得出 a 的范围，继而可得 S 的范围，即可得出答案 【解答】解：由题意，得： ， 解得： ， 则 S=a+bc=a+（3a 1 ） （2a+1）=2a 2 ， 由抛物线过点 A（1 ，2） ，B（2，3 ）两点，且不经过第一象限知 a 0，|c=2a+10 ， 解得 a ， S=2a23， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形 与性质是解题的关键9函数 y=2x 2 +4x 5 中，当3x 2 时，则 y 值的取值范围是（ ） A 3 y 1B 7y1C7y 11 D7y 11 【分析】根据 a0，抛物线在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小；抛物线在 对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，可得答案 【解答】解：y=2x 2 +4x 5 的对称轴是 x=1， 当 x=1 时，y 最小 = 7 ， 当 x=3 时，y=2×（3） 2 +4×（3）5=1， 当 x=2 时，y=2×2 2 +2×45=11， 当3 x2 时，则 y 值的取值范围是7y 11 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了函数的增减性：a0，对称轴的 左侧，y 随 x 的增大而减小，对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大10如图是二次函数 y=ax 2 +bx+c 过点 A （3，0） ，对称轴为 x=1给出四个结论： b 2 4ac，2a+b=0 ；ab+c=0；5ab其中正确结论是（ ）|A B C D 【分析】正确根据抛物线与 x 轴有两个交点即可判定 错误根据对称轴 x= 1 即可判定 错误根据 x= 1 时，y 0 即可判定 正确由 b=2a ，a 0，即可判定 5a2a 由此即可解决问题 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， 0 ，即 b 2 4ac 0， b 2 4ac，故正确 对称轴 x=1， =1 ， b=2a， 2ab=0，故错误， x=1 时，y 0 ， ab+c 0，故错误， b=2a，a O， 5a2a ，即 5a b ，故正确， 故选 B|【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系、解题的关键是熟练掌握基本 知识，读懂图象信息，充分利用图象信息解决问题，属于中考常考题型二填空题（共8 小题） 11已知 m、n 是方程 x 2 +2 x+1=0 的两根，则代数式 值为 3 【分析】根据一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a 0）的根与系数的关系得到 m+n=2 ，mn=1 ，再变形 得 ，然后把 m+n=2 ，mn=1 整 体代入计算即可 【解答】解：m、n 是方程 x 2 +2 x+1=0 的两根， m+n=2 ，mn=1 ， = = =3 故答案为：3 【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若 方程两根分别为 x 1 ，x 2 ，则 x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 = 也考查了二次根式的化简求 值12定义新运算“*” 规则：a*b= ，如 1*2=2， （ ）* = ，若 x 2 +x1=0 两根为 x 1 ，x 2 ，则 x 1 *x 2 = 【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算 x 1 *x 2 的值则可|【解答】解：在 x 2 +x1=0 中， a=1，b=1，c=1， b 2 4ac=50 ， 所以 x 1 = ，x 2 = 或 x 1 = ，x 2 = ， x 1 *x 2 = * = ， 故答案为 【点评】本题考查了运用公式法解一元二次方程，注意定义运算规则里的两种 情况13若 +b 2 +2b+1=0，则 a 2 + |b|= 1 【分析】首先利用完全平方公式变形得出 +（b+1） 2 =0 ，利用非负数的 性质得出 a=1 ，b=1，进一步代入求得答案即可 【解答】解： +b 2 +2b+1=0， +（b+1） 2 =0 ， a1=0 ，b+1=0， a=1，b= 1 ， a 2 + |b|=1 故答案为：1 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公 式是解本题的关键14a 、b 为实数，且满足 ab+a+b8=0 ，a 2 b+ab 2 15=0，则（ab） 2 = 13 【分析】根据已知条件推知 ab、a+b 是方程 x 2 8x+15=0，即（x 3） （x 5）=0 的|两个根，然后通过解方程求得ab=3，a+b=5 ；ab=5 ，a+b=3；最后将所求的 代数式转化为完全平方和的形式，并将分别代入求值 【解答】解：a、b 为实数，且满足 ab+a+b8=0 ，a 2 b+ab 2 15=0， ab+（a+b）=8 ，ab （a+b）=15， ab 、a+b 是方程 x 2 8x+15=0，即（x 3） （x 5 ）=0 的两个根， x=3 或 x=5； 当 ab=3，a+b=5 时， （ab ） 2 =（a+b） 2 4ab=25 12=13，即（a b） 2 =13； 当 ab=5，a+b=3 时， （ab ） 2 =（a+b） 2 4ab=9 20=110，即（a b ） 2 0，不合 题意； 综上所述， （ab ） 2 =13； 故答案是：13 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相 结合解题是一种经常使用的解题方法注意：解答此题需要分类讨论15关于 x 3 ax 2 2ax+a 2 1=0 只有一个实数根，则 a 的取值范围是 【分析】先把方程变形为关于 a 的一元二次方程的一般形式：a 2 （x 2 +2x ） a+x 3 1=0 ，然后利用求根公式解得 a=x1 或 a=x 2 +x+1；于是有 x=a+1 或 x 2 +x+1a=0 ，再利用原方程只有一个实数根，确定方程 x 2 +x+1a=0 没有 实数根，即0 ，最后解 a 的不等式得到 a 的取值范围 【解答】解：把方程变形为关于 a 的一元二次方程的一般形式：a 2 （x 2 +2x ） a+x 3 1=0 ， 则= （x 2 +2x） 2 4 （x 3 1）= （x 2 +2） 2 ， a= ，即 a=x1 或 a=x 2 +x+1 所以有：x=a+1 或 x 2 +x+1 a=0 |关于 x 3 ax 2 2ax+a 2 1=0 只有一个实数根， 方程 x 2 +x+1 a=0 没有实数根，即0 ， 14 （1 a）0 ，解得 a 所以 a 的取值范围是 a 故答案为 a 【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a0，a ，b，c 为常数）根的判 别式当0 ，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数 根；当0 ，方程没有实数根同时考查了转化得思想方法在解方程中的应 用16已知二次函数 f （x ）=x 2 2x n 2 n 的图象与 x 轴的交点为（a n ，0） ， （b n ，0 ） ， 则式子 + + + + + = 【分析】根据题意得到 x 2 2x n 2 n=0 的两根为 a n ，b n ，再根据根与系数的关系得 到 a n +b n =2 ，a n b n =n 2 n=n（n+1） ，则 a 1 +b 1 =2，a 1 b 1 = 1×2，a 2 +b 2 =2，a 2 b 2 = 2×3，然后把原式分别通分得到原 式= + ，则原式= + + = 2×（1 + + ）= 2×（1 ） 【解答】解：二次函数 f（x ）=x 2 2x n 2 n 的图象与 x 轴的交点为（a n ，0） ， （b n ，0） ， x 2 2xn 2 n=0 的两根为 a n ，b n ， a n +b n =2 ，a n b n =n 2 n=n（n+1） ， a 1 +b 1 =2，a 1 b 1 = 1×2，a 2 +b 2 =2，a 2 b 2 = 2×3，|原式= + + + + + = + = + + =2×（1 + + ） =2×（1 ） = 故答案为 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数 y=ax 2 +bx+c（a，b，c 是 常数，a0）与 x 轴的交点坐标，令 y=0 ，即 ax 2 +bx+c=0，解关于 x 的一元二次 方程即可求得交点横坐标二次函数 y=ax 2 +bx+c（a ，b，c 是常数，a0）的交 点与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 根之间的关系：=b 2 4ac 决定抛物线与 x 轴的交 点个数；=b 2 4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 2 4ac=0 时，抛物线 与 x 轴有 1 个交点；=b 2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点17若二次函数 y=x 2 +（a+17 ）x+38 a 与反比例函数 y= 的交点是整点（横坐 标和纵坐标都是整数的点） ，则正整数 a 的值是 39 或 12 【分析】先联立两方程，得到关于 x 的一元二次方程，把此方程分解为两个因 式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解 【解答】解：联立方程组 ， 消去 y 得，x 2 +（a+17 ）x+38a= ， 即 x 3 +（a+17）x 2 +（38a ）x56=0 ， 当 x=1 时，x 3 +（a+17）x 2 +（38a）x56=0 ，|式子 x 3 +（a+17）x 2 +（38a）x56 中含有因式（x1） ， 分解因式得（x1 ）x 2 +（a+18）x+56=0， （1） 显然 x 1 =1 是方程（1 ）的一个根， （1 ，56 ）是两个函数的图象的一个交点 因为 a 是正整数，所以关于 x 的方程 x 2 +（a+18 ）x+56=0， （2） 其判别式=（a+18） 2 2240，它一定有两个不同的实数根 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数， 因此它的判别式=（a+18 ） 2 224 应该是一个完全平方数 设（a+18 ） 2 224=k 2 （其中 k 为非负整数） ，则（a+18） 2 k 2 =224，即（a+18+k） （a+18k ）=224 显然 a+18+k 与 a+18 k 的奇偶性相同，且 a+18+k18，而 224=112×2=56×4=28×8， 所以 或 或 ， 解得 或 或 而 a 是正整数，所以只可能 或 故答案为：a=39 或 a=12 【点评】本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数 的奇偶性，涉及面较广，难度较大18函数 y=ax+6 （其中 a，b 是整数）的图象与三条抛物线 y=x 2 +3 ，y=x 2 +6x+7，y=x 2 +4x+5 分别有 2 、l、0 个交点，则（a ，b）= （2，3） 【分析】把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于 x 的一元二次方程，然 后利用根与系数的关系分别列式得到关于 a、b 的不等式与方程，把方程变形可 得 4b=（a 2 12a+8 ） ，分别代入不等式组成关于 a 的不等式组，求解得到 a 的取 值范围，再根据 a、b 是整数求出 a、b 的值|【解答】解：根据题意得，x 2 +3=ax+b ，x 2 +6x+7=ax+b，x 2 +4x+5=ax+b， 直线与三条抛物线的交点的个数分别是 2 ，1，0， 1 =a 2 4×1×（3 b）=a 2 +4b120， 2 = （6 a ） 2 4×1×（7 b）=a 2 12a+4b+8=0， 3 = （4 a ） 2 4×1×（5 b）=a 2 8a+4b 40 ， 由得，4b= （a 2 12a+8 ） ， 分别代入、得， ， 整理得 ， 解得 a3， a 是整数， a=2， 4b=（2 2 12×2+8 ）=12 ， 解得 b=3， 故答案为（2 ，3） 【点评】本题综合考查了二次函数的性质，根与系数的关系，非负数的性质； 根据题意得出三个式子是解题的关键三解答题（共6 小题） 19已知 m，n 是方程 x 2 +3x+1=0 的两根 （1）求（m+5 ） 的值 （2）求 + 的值 【分析】 （1 ）首先求出 m 和 n 的值，进而判断出 m 和 n 均小于 0，然后进行分 式的化简，最后整体代入求值；|（2）根据 m 和 n 小于 0 化简 + 为 （ ） ，然后根据 m+n=3 ，mn=1 整体代值计算 【解答】解：（1 ）m，n 是方程 x 2 +3x+1=0 的两根， m= ，n= ， mn0 ， 原式= = =6 2m = m，n 是方程 x 2 +3x+1=0 的两根， m 2 +3m+1=0 ， 原式=0； （2）m0，n0， + =m n = + = （ ） ， m+n=3，mn=1， 原式=92=7 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知 识，解答本题的关键是能求出 m 和 n 的判断出 m 和 n 均小于 0，此题难度一 般20 （1）如果不等式组 的整数解只有 1 和 2，求适合这个不等式组的|整数 a 与 b 的值 （2）已知：关于 x 的方程 2x 2 kx+1=0 的一个解与 的解相同，求 2x 2 kx+1=0 的另一个解 【分析】 （1 ）首先确定不等式组的解集，先利用含 a，b 的式子表示，根据整数 解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 a，b 的不等式， 从而求出 a，b 的值 （2）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，即方程 2x 2 kx+1=0 的一个解； 根据两根之积= 即可求得另一根 【解答】解：（1 ） 不等式的解集是 x ， 不等式的解集是 x ， 因为不等式组的整数解仅为 1，2， 即本不等式组不但有解，而且有 2 个整数解，根据“公共部分”的原则， 易知 0 1 ，即 a 取 1，2，3，4，5 ，6 六个整数； 并且 2 3 ，即 b 取 11 ，12，13 ，14 ，15 五个整数 （2）由 ，解得 x=0.5， 经检验 x=0.5 是方程的解 方程的一个根为 0.5，则设它的另一根为 x 2 ，则有： 0.5x 2 = ， 解得 x 2 =1 故 2x 2 kx+1=0 的另一个解为 1 【点评】考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定 ， 的范围，是解决本题的关键求不等式组的解集，应遵循以下原则：同 大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了同时考查方程解|的意义，及同解方程、解方程等知识注意运用根与系数的关系使运算简便21已知 a 2 +b 2 =1， ，求 a+b+ab 的取值范围 【分析】由 a 2 +b 2 = （a+b ） 2 2ab ，a 2 +b 2 =1 得到 ab= ，设 a+b=t，则 t ，于是得到=a+b+ab= +a+b= （t 2 1）+t，配成顶点式为 y= （t+1） 2 1，根据二次函数的最值问题和性质得到 t=1 时，y 有最小值为1；t= 时，y 有最大值，此时 y= （ +1） 2 1，由此得到 a+b+ab 的取值范围 【解答】解：a 2 +b 2 = （a+b） 2 2ab ，a 2 +b 2 =1， ab= ， 设 a+b=t，则 t ， y=a+b+ab= +a+b= （t 2 1）+t= t 2 +t = （t+1） 2 1， t=1 时，y 有最小值为1， t= 时，y 有最大值，此时 y= （ +1 ） 2 1= ， 1 y ， 即 a+b+ab 的取值范围为1a+b+ab 【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式： y=a（xh） 2 +k，当 a 0 时，x=h，y 有最大值 k；当 a 0，x=h，y 有最小值 k也考查了二次函数的性质22已知 x 1 ，x 2 是一元二次方程（a 6 ）x 2 +2ax+a=0 的两个实数根 （1）是否存在实数 a，使x 1 +x 1 x 2 =4+x 2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在， 请你说明理由；|（2）求使（x 1 +1） （x 2 +1 ）为负整数的实数 a 的整数值 【分析】根据根与系数的关系求得 x 1 x 2 = ，x 1 +x 2 = ；根据一元二次方程 的根的判别式求得 a 的取值范围； （1）将已知等式变形为 x 1 x 2 =4+（x 2 +x 1 ） ，即 =4+ ，通过解该关于 a 的方 程即可求得 a 的值； （2）根据限制性条件“（x 1 +1） （x 2 +1）为负整数” 求得 a 的取值范围，然后在取 值范围内取 a 的整数值 【解答】解：x 1 ，x 2 是一元二次方程（a 6 ）x 2 +2ax+a=0 的两个实数根， 由根与系数的关系可知，x 1 x 2 = ，x 1 +x 2 = ； 一元二次方程（a6 ）x 2 +2ax+a=0 有两个实数根， =4a 2 4（a6）a0，且 a60 ， 解得，a0，且 a6 ； （1）x 1 +x 1 x 2 =4+x 2 ， x 1 x 2 =4+（x 1 +x 2 ） ，即 =4 ， 解得，a=240； 存在实数 a，使x 1 +x 1 x 2 =4+x 2 成立，a 的值是 24； （2）（x 1 +1） （x 2 +1 ）=x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）+1= +1= ， 当（x 1 +1） （x 2 +1 ）为负整数时，a 6 0 ，且 a6 是 6 的约数， a6=6 ，a 6=3，a6=2 ，a6=1， a=12，9，8 ，7； 使（x 1 +1） （x 2 +1 ）为负整数的实数 a 的整数值有 12，9，8，7 【点评】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式注意：一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a 、b 、c 是常数）的二次项系数 a 0 |23已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 （2k+3） x+k 2 +3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5 （1）k 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，ABC 是等腰三角形？并求ABC 的周长 【分析】 （1 ）根据题意得出 AB、AC 的长，再由根与系数的关系得出 k 的值； （2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论： AB=AC，AB=BC，BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与 系数的关系得出 k 的值 【解答】解：（1 ）ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC=5 ， AB 2 +AC 2 =25， AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 （2k+3）x+k 2 +3k+2=0 的两个实数根， AB+AC=2k+3，ABAC=k 2 +3k+2， AB 2 +AC 2 =（AB+AC ） 2 2ABAC， 即（2k+3 ） 2 2 （k 2 +3k+2）=25 ， 解得 k=2 或5 （不合题意舍去） ； （2）ABC 是等腰三角形； 当 AB=AC 时，=b 2 4ac=0， （2k+3 ） 2 4 （k 2 +3k+2）=0 解得 k 不存在； 当 AB=BC 时，即 AB=5， 5+AC=2k+3，5AC=k 2 +3k+2， 解得 k=3 或 4 ， AC=4 或 6|ABC 的周长为 14 或 16 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，以及实际应用，注意分论讨论思 想24已知二次函数 y=ax 2 4ax+a 2 +2 （a0 ）图象的顶点 G 在直线 AB 上，其中 A（ ，0 ） 、B （0，3 ） ，对称轴与 x 轴交于点 E （1）求二次函数 y=ax 2 4ax+a 2 +2 的关系式； （2）点 P 在对称轴右侧的抛物线上，且 AP 平分四边形 GAEP 的面积，求点 P 坐标； （3）在 x 轴上方，是否存在整数 m ，使得当 x 时，抛物线 y 随 x 增大而增大？若存在，求出所有满足条件的 m 值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1 ）根据点 A、B 的坐标利用待定系数法可求出直线 AB 的关系式，利 用配方法可找出抛物线顶点 G 的坐标为（2 ，a 2 4a+2） ，根据一次函数图象上点 的坐标即可求出 a 值，将 a 值代入二次函数关系式中即可得出结论； （2）设点 P 的坐标为（t，t 2 +4t+3） ，根据 2S AEP =S 四边形 GAEP ，即可得出关于 t 的一元二次方程，解之取大于 2 的值，将其再代入点 P 的坐标中即可得出结论； （3）将 y=0 代入二次函数关系式中可求出点 C、D 的坐标，利用二次函数的性 质结合 x 时抛物线 y 随 x 增大而增大，即可得出关于 m 的一元一 次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，找去其内的整数，再根据 即可确定 m 的值|【解答】解（1 ）设直线 AB 的关系式为 y=kx+b ， 将点 A （ ，0 ） 、B （0，3）代入 y=kx+b 中， ，解得： ， 直线 AB 的关系式为 y=2x+3 抛物线 y=ax 2 4ax+a 2 +2=a（x2） 2 +a 2 4a+2 ， 点 G（2，a 2 4a+