圆锥曲线、导数2018年度全国高考~数学分类真题(含内容答案).doc

|圆锥曲线、导数2018 年全国高考数学分类真题（含答案）一选择题（共7 小题） 1双曲线 y 2 =1 的焦点坐标是（ ） A （ ，0 ） ， （ ，0 ） B （2，0） ， （2，0） C （0， ） ， （0， ） D （0，2 ） ， （0 ，2 ） 2已知双曲线 =1（a0 ，b 0 ）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别 为 d 1 和 d 2 ，且 d 1 +d 2 =6，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 3设 F 1 ，F 2 是双曲线 C ： =1 （a 0b 0 ）的左，右焦点，O 是坐标原 点过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF 1 |= |OP|，则 C 的离心 率为（ ） A B 2 C D 4已知 F 1 ，F 2 是椭圆 C ： =1 （ab0 ）的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，PF 1 F 2 为等腰三角形，F 1 F 2 P=120°， 则 C 的离心率为（ ） A B C D 5双曲线 =1（a 0 ，b 0 ）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） Ay=± xB y=± xCy=± x Dy=± x 6已知双曲线 C： y 2 =1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C|的两条渐近线的交点分别为 M，N 若OMN 为直角三角形，则|MN|=（ ） A B 3 C2 D4 7设函数 f（x）=x 3 +（a1 ）x 2 +ax若 f（x ）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点 （0，0）处的切线方程为（ ） Ay= 2x B y= x Cy=2xDy=x二填空题（共6 小题） 8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 =1（a0，b 0）的右焦点 F（c，0 ）到一条渐近线的距离为 c ，则其离心率的值为 9已知椭圆 M： + =1（ab0 ） ，双曲线 N ： =1 若双曲线 N 的 两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶 点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 10已知点 P（0，1 ） ，椭圆 +y 2 =m（m 1）上两点 A ，B 满足 =2 ，则当 m= 时，点 B 横坐标的绝对值最大 11已知点 M（1，1）和抛物线 C：y 2 =4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ，B 两点若AMB=90°，则 k= 12曲线 y= （ax+1）e x 在点（0，1 ）处的切线的斜率为2，则 a= 13曲线 y=2ln （x+1 ）在点（0，0）处的切线方程为 三解答题（共13 小题） 14设函数 f （x ）=ax 2 （4a+1）x+4a+3e x （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a； （）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围|15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（ ） ，焦点 F 1 （ ，0 ） ，F 2 （ ，0 ） ，圆 O 的直径为 F 1 F 2 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点若OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程 16如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y 2 =4x 上存在不 同的两点 A，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上 （）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴； （）若 P 是半椭圆 x 2 + =1 （x 0 ）上的动点，求PAB 面积的取值范围 17设椭圆 + =1（a b 0）的左焦点为 F ，上顶点为 B 已知椭圆的离心 率为 ，点 A 的坐标为（b ，0） ，且|FB|AB|=6 |（）求椭圆的方程； （）设直线 l：y=kx（k 0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交 于点 Q 若 = sin AOQ （O 为原点） ，求 k 的值 18已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中 点为 M （1，m ） （m 0 ） （1）证明：k ； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = 证明： | |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差 19设抛物线 C ：y 2 =4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8 （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 20设椭圆 C ： +y 2 =1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2 ，0 ） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明： OMA=OMB 21记 f （x ） ，g （x ）分别为函数 f （x ） ，g （x ）的导函数若存在 x 0 R，满足 f（x 0 ）=g（x 0 ）且 f（x 0 ）=g（x 0 ） ，则称 x 0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x ）=x 2 +2x2 不存在“S 点”； （2）若函数 f（x）=ax 2 1 与 g （x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）=x 2 +a，g（x ）= 对任意 a 0 ，判断是否存在 b0 ，使函数 f（x ）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由 22已知函数 f （x ）= lnx （）若 f（x）在 x=x 1 ，x 2 （x 1 x 2 ）处导数相等，证明：f （x 1 ）+f （x 2 ） 88ln2；|（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯 一公共点 23已知函数 f （x ）=a x ，g（x）=log a x，其中 a1 （）求函数 h（x）=f（x ）xlna 的单调区间； （）若曲线 y=f（x）在点（x 1 ，f （x 1 ） ）处的切线与曲线 y=g （x ）在点 （x 2 ，g （x 2 ） ）处的切线平行，证明 x 1 +g（x 2 ）= ； （）证明当 ae 时，存在直线 l ，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x ）的切线 24已知函数 f （x ）= （2+x+ax 2 ）ln （1+x）2x （1）若 a=0 ，证明：当1x0 时，f （x ）0 ；当 x 0 时，f（x）0； （2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a 25已知函数 f （x ）=e x ax 2 （1）若 a=1 ，证明：当 x0 时，f（x ）1 ； （2）若 f（x）在（0，+ ）只有一个零点，求 a 26已知函数 f （x ）= x+alnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x 1 ，x 2 ，证明： a2|圆锥曲线、导数2018 年全国高考数学分类真题（含答 案） 参考答案与试题解析一选择题（共7 小题） 1双曲线 y 2 =1 的焦点坐标是（ ） A （ ，0 ） ， （ ，0 ） B （2，0） ， （2，0） C （0， ） ， （0， ） D （0，2 ） ， （0 ，2 ） 【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a 2 =3，b 2 =1， 由此可得 c= =2， 该双曲线的焦点坐标为（±2，0） 故选：B 2已知双曲线 =1（a0 ，b 0 ）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别 为 d 1 和 d 2 ，且 d 1 +d 2 =6，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y= ，即 bx ay=0 ，F （c，0） ， ACCD，BD CD ，FE CD，ACDB 是梯形， F 是 AB 的中点，EF= =3 ， EF= =b，|所以 b=3，双曲线 =1 （a0 ，b 0 ）的离心率为 2，可得 ， 可得： ，解得 a= 则双曲线的方程为： =1 故选：C3设 F 1 ，F 2 是双曲线 C ： =1 （a 0b 0 ）的左，右焦点，O 是坐标原 点过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF 1 |= |OP|，则 C 的离心 率为（ ） A B 2 C D 【解答】解：双曲线 C： =1 （a0 b 0）的一条渐近线方程为 y= x， 点 F 2 到渐近线的距离 d= =b ，即|PF 2 |=b， |OP|= = =a，cos PF 2 O= ， |PF 1 |= |OP|， |PF 1 |= a， 在三角形 F 1 PF 2 中，由余弦定理可得|PF 1 | 2 =|PF 2 | 2 +|F 1 F 2 | 2 2|PF 2 |F 1 F 2 |COS PF 2 O ， 6a 2 =b 2 +4c 2 2×b×2c× =4c 2 3b 2 =4c 2 3（c 2 a 2 ） ， 即 3a 2 =c 2 ， 即 a=c， e= = ， 故选：C4已知 F 1 ，F 2 是椭圆 C ： =1 （ab0 ）的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，PF 1 F 2 为等腰三角形，F 1 F 2 P=120°， 则 C 的离心率为（ ） A B C D 【解答】解：由题意可知：A（a ，0） ，F 1 （c ，0） ，F 2 （c，0） ， 直线 AP 的方程为：y= （x+a） ， 由F 1 F 2 P=120°，|PF 2 |=|F 1 F 2 |=2c，则 P（2c ， c ） ， 代入直线 AP ： c= （2c+a） ，整理得：a=4c， 题意的离心率 e= = 故选：D|5双曲线 =1（a 0 ，b 0 ）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） Ay=± xB y=± xCy=± x Dy=± x 【解答】解：双曲线的离心率为 e= = ， 则 = = = = = ， 即双曲线的渐近线方程为 y=± x=± x， 故选：A6已知双曲线 C： y 2 =1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N 若OMN 为直角三角形，则|MN|=（ ） A B 3 C2 D4 【解答】解：双曲线 C： y 2 =1 的渐近线方程为：y= ，渐近线的夹角为： 60°，不妨设过 F（2 ，0）的直线为：y= ， 则： 解得 M（ ， ） ， 解得：N （ ） ， 则|MN|= =3 故选：B 7设函数 f（x）=x 3 +（a1 ）x 2 +ax若 f（x ）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点 （0，0）处的切线方程为（ ） Ay= 2x B y= x Cy=2xDy=x|【解答】解：函数 f（x）=x 3 +（a1）x 2 +ax ，若 f（x ）为奇函数， 可得 a=1 ，所以函数 f（x）=x 3 +x ，可得 f （x）=3x 2 +1， 曲线 y=f（x）在点（0，0 ）处的切线的斜率为：1， 则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x 故选：D二填空题（共6 小题） 8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 =1（a0，b 0）的右焦点 F（c，0 ）到一条渐近线的距离为 c ，则其离心率的值为 2 【解答】解：双曲线 =1（a 0，b 0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近 线 y= x 的距离为 c， 可得： =b= ， 可得 ，即 c=2a， 所以双曲线的离心率为：e= 故答案为：2 9已知椭圆 M： + =1（ab0 ） ，双曲线 N ： =1 若双曲线 N 的 两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶 点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 2 【解答】解：椭圆 M： + =1（a b 0） ，双曲线 N： =1 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的 顶点，|可得椭圆的焦点坐标（c，0） ，正六边形的一个顶点（ ， ） ，可得： ，可得 ，可得 e 4 8e 2 +4=0，e（0，1） ， 解得 e= 同时，双曲线的渐近线的斜率为 ，即 ， 可得： ，即 ， 可得双曲线的离心率为 e= =2 故答案为： ；2 10已知点 P（0，1 ） ，椭圆 +y 2 =m（m 1）上两点 A ，B 满足 =2 ，则当 m= 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大 【解答】解：设 A（x 1 ，y 1 ） ，B（x 2 ，y 2 ） ， 由 P（0 ，1 ） ， =2 ， 可得x 1 =2x 2 ，1 y 1 =2 （y 2 1） ， 即有 x 1 =2x 2 ，y 1 +2y 2 =3， 又 x 1 2 +4y 1 2 =4m ， 即为 x 2 2 +y 1 2 =m ， x 2 2 +4y 2 2 =4m， 得（y 1 2y 2 ） （y 1 +2y 2 ）=3m， 可得 y 1 2y 2 = m ， 解得 y 1 = ，y 2 = ， 则 m=x 2 2 +（ ） 2 ， 即有 x 2 2 =m（ ） 2 = = ， 即有 m=5 时，x 2 2 有最大值 16，|即点 B 横坐标的绝对值最大 故答案为：5 11已知点 M（1，1）和抛物线 C：y 2 =4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ，B 两点若AMB=90°，则 k=2 【解答】解：抛物线 C：y 2 =4x 的焦点 F（1 ，0 ） ， 过 A ，B 两点的直线方程为 y=k （x 1 ） ， 联立 可得，k 2 x 2 2（2+k 2 ）x+k 2 =0 ， 设 A （x 1 ，y 1 ） ，B （x 2 ，y 2 ） ， 则 x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 =1 ， y 1 +y 2 =k（x 1 +x 2 2）= ，y 1 y 2 =k 2 （x 1 1） （x 2 1）=k 2 x 1 x 2 （x 1 +x 2 ）+1= 4， M（ 1 ，1） ， = （x 1 +1 ，y 1 1 ） ， =（x 2 +1，y 2 1 ） ， AMB=90°=0， =0 （x 1 +1） （x 2 +1 ）+（y 1 1 ） （y 2 1 ）=0 ， 整理可得，x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）+y 1 y 2 （y 1 +y 2 ）+2=0 ， 1+2+ 4 +2=0， 即 k 2 4k+4=0 ， k=2 故答案为：212曲线 y= （ax+1）e x 在点（0，1 ）处的切线的斜率为2，则 a= 3 |【解答】解：曲线 y=（ax+1）e x ，可得 y=ae x +（ax+1）e x ， 曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2， 可得：a+1=2，解得 a=3 故答案为：313曲线 y=2ln （x+1 ）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 【解答】解：y=2ln （x+1） ， y= ， 当 x=0 时，y=2 ， 曲线 y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 故答案为：y=2x三解答题（共13 小题） 14设函数 f （x ）=ax 2 （4a+1）x+4a+3e x （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a； （）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解答】解：（）函数 f（x ）=ax 2 （4a+1 ）x+4a+3e x 的导数为 f（x ）=ax 2 （2a+1）x+2e x 由题意可得曲线 y=f（x）在点（1 ，f（1） ）处的切线斜率为 0， 可得（a2a 1+2）e=0， 解得 a=1 ； （）f（x ）的导数为 f （x）=ax 2 （2a+1）x+2e x = （x2） （ax1）e x ， 若 a=0 则 x 2 时，f （x）0，f（x ）递增；x 2，f（x）0，f （x）递减 x=2 处 f（x ）取得极大值，不符题意； 若 a0，且 a= ，则 f （x）= （x2 ） 2 e x 0，f （x ）递增，无极值； 若 a ，则 2，f （x ）在（ ，2）递减；在（2，+） ， （， ）递增，|可得 f（x ）在 x=2 处取得极小值； 若 0a ，则 2，f （x ）在（2 ， ）递减；在（ ，+） ， （，2）递增， 可得 f（x ）在 x=2 处取得极大值，不符题意； 若 a0，则 2，f （x ）在（ ，2 ）递增；在（2，+） ， （， ）递减， 可得 f（x ）在 x=2 处取得极大值，不符题意 综上可得，a 的范围是（ ，+） 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（ ） ，焦点 F 1 （ ，0 ） ，F 2 （ ，0 ） ，圆 O 的直径为 F 1 F 2 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点若OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程 【解答】解：（1 ）由题意可设椭圆方程为 ， 焦点 F 1 （ ，0 ） ，F 2 （ ，0） ， ，又 a 2 +b 2 =c 2 =3， 解得 a=2 ，b=1 椭圆 C 的方程为： ，圆 O 的方程为：x 2 +y 2 =3|（2）可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限， 可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0 ，m0 ） 由圆心（0 ，0）到直线 l 的距离等于圆半径 ，可得 由 ，可得（4k 2 +1）x 2 +8kmx+4m 2 4=0 ， = （8km） 2 4（4k 2 +1） （4m 2 4）=0 ， 可得 m 2 =4k 2 +1，3k 2 +3=4k 2 +1，结合 k0 ，m0，解得 k= ，m=3 将 k= ，m=3 代入 可得 ， 解得 x= ，y=1 ，故点 P 的坐标为（ 设 A （x 1 ，y 1 ） ，B （x 2 ，y 2 ） ， 由 k 联立直线与椭圆方程得（4k 2 +1）x 2 +8kmx+4m 2 4=0， |x 2 x 1 |= = ， O 到直线 l 的距离 d= ， |AB|= |x 2 x 1 |= ， OAB 的面积为 S= = = ， 解得 k= ， （正值舍去） ，m=3 y= 为所求|16如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y 2 =4x 上存在不 同的两点 A，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上 （）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴； （）若 P 是半椭圆 x 2 + =1 （x 0 ）上的动点，求PAB 面积的取值范围 【解答】解：（）证明：可设 P （m，n） ，A （ ，y 1 ） ，B（ ，y 2 ） ， AB 中点为 M 的坐标为（ ， ） ， 抛物线 C：y 2 =4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上， 可得（ ） 2 =4 ， （ ） 2 =4 ， 化简可得 y 1 ，y 2 为关于 y 的方程 y 2 2ny+8mn 2 =0 的两根， 可得 y 1 +y 2 =2n，y 1 y 2 =8m n 2 ， 可得 n= ， 则 PM 垂直于 y 轴；|（）若 P 是半椭圆 x 2 + =1 （x 0 ）上的动点， 可得 m 2 + =1，1m0，2n 2 ， 由（）可得 y 1 +y 2 =2n，y 1 y 2 =8m n 2 ， 由 PM 垂直于 y 轴，可得 PAB 面积为 S= |PM|y 1 y 2 | = （ m） = （4n 2 16m+2n 2 ） m = （n 2 4m） ， 可令 t= = = ， 可得 m= 时，t 取得最大值 ； m=1 时，t 取得最小值 2 ， 即 2t ， 则 S= t 3 在 2 t 递增，可得 S6 ， ， PAB 面积的取值范围为6 ， 17设椭圆 + =1（a b 0）的左焦点为 F ，上顶点为 B 已知椭圆的离心|率为 ，点 A 的坐标为（b ，0） ，且|FB|AB|=6 （）求椭圆的方程； （）设直线 l：y=kx（k 0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交 于点 Q 若 = sin AOQ （O 为原点） ，求 k 的值 【解答】解：（）设椭圆 + =1（a b0 ）的焦距为 2c， 由椭圆的离心率为 e= ， = ； 又 a 2 =b 2 +c 2 ， 2a=3b， 由|FB|=a，|AB|= b ，且|FB|AB|=6 ； 可得 ab=6， 从而解得 a=3 ，b=2 ， 椭圆的方程为 + =1； （）设点 P 的坐标为（x 1 ，y 1 ） ，点 Q 的坐标为（x 2 ，y 2 ） ，由已知 y 1 y 2 0 ； |PQ|sin AOQ=y 1 y 2 ； 又|AQ|= ，且OAB= ， |AQ|= y ， 由 = sinAOQ ，可得 5y 1 =9y 2 ； 由方程组 ，消去 x，可得 y 1 = ， 直线 AB 的方程为 x+y 2=0 ；|由方程组 ，消去 x，可得 y 2 = ； 由 5y 1 =9y 2 ，可得 5（k+1 ）=3 ， 两边平方，整理得 56k 2 50k+11=0 ， 解得 k= 或 k= ； k 的值为 或 18已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中 点为 M （1，m ） （m 0 ） （1）证明：k ； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = 证明： | |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差 【解答】解：（1 ）设 A（x 1 ，y 1 ） ，B （x 2 ，y 2 ） ， 线段 AB 的中点为 M （1，m） ， x 1 +x 2 =2 ，y 1 +y 2 =2m 将 A ，B 代入椭圆 C ： + =1 中，可得 ， 两式相减可得，3 （x 1 +x 2 ） （x 1 x 2 ）+4 （y 1 +y 2 ） （y 1 y 2 ）=0， 即 6（x 1 x 2 ）+8m（y 1 y 2 ）=0， k= = = 点 M（1，m ）在椭圆内，即 ， 解得 0m| （2）证明：设 A（x 1 ，y 1 ） ，B（x 2 ，y 2 ） ，P（x 3 ，y 3 ） ， 可得 x 1 +x 2 =2 ， + + = ，F （1，0 ） ，x 1 1+x 2 1+x 3 1=0 ，y 1 +y 2 +y 3 =0， x 3 =1 ， m0 ，可得 P 在第一象限，故 ，m= ，k= 1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex 1 =2 x 1 ，|FB|=2 x 2 ，|FP|=2 x 3 = 则|FA|+|FB|=4 ，|FA|+|FB|=2|FP|， 联立 ，可得|x 1 x 2 |= 所以该数列的公差 d 满足 2d= |x 1 x 2 |= ， 该数列的公差为± 19设抛物线 C ：y 2 =4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8 （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【解答】解：（1 ）方法一：抛物线 C：y 2 =4x 的焦点为 F（1，0） ，当直线的斜 率不存在时，|AB|=4，不满足； 设直线 AB 的方程为：y=k（x1） ，设 A （x 1 ，y 1 ） ，B（x 2 ，y 2 ） ， 则 ，整理得：k 2 x 2 2（k 2 +2 ）x+k 2 =0 ，则 x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 =1 ， 由|AB|=x 1 +x 2 +p= +2=8 ，解得：k 2 =1 ，则 k=1， 直线 l 的方程 y=x 1 ；|方法二：抛物线 C：y 2 =4x 的焦点为 F（1 ，0 ） ，设直线 AB 的倾斜角为 ，由抛 物线的弦长公式|AB|= = =8 ，解得：sin 2 = ， = ，则直线的斜率 k=1， 直线 l 的方程 y=x 1 ； （2）过 A，B 分别向准线 x=1 作垂线，垂足分别为 A 1 ，B 1 ，设 AB 的中点为 D，过 D 作 DD 1 准线 l ，垂足为 D，则|DD 1 |= （|AA 1 |+|BB 1 |） 由抛物线的定义可知：|AA 1 |=|AF|，|BB 1 |=|BF|，则 r=|DD 1 |=4 ， 以 AB 为直径的圆与 x= 1 相切，且该圆的圆心为 AB 的中点 D， 由（1）可知：x 1 +x 2 =6，y 1 +y 2 =x 1 +x 2 2=4， 则 D （3 ，2） ， 过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程（x3 ） 2 +（y2） 2 =16 20设椭圆 C ： +y 2 =1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2 ，0 ） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明： OMA=OMB |【解答】解：（1 ）c= =1， F （1 ，0 ） ， l 与 x 轴垂直， x=1， 由 ，解得 或 ， A （1. ） ，或（1， ） ， 直线 AM 的方程为 y= x+ ，y= x ， 证明：（2 ）当 l 与 x 轴重合时， OMA=OMB=0° ， 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，OMA=OMB， 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k （x 1） ，k 0， A（x 1 ，y 1 ） ，B （x 2 ，y 2 ） ，则 x 1 ，x 2 ， 直线 MA ，MB 的斜率之和为 k MA ，k MB 之和为 k MA +k MB = + ， 由 y 1 =kx 1 k ，y 2 =kx 2 k 得 k MA +k MB = ， 将 y=k（x 1 ）代入 +y 2 =1 可得（2k 2 +1 ）x 2 4k 2 x+2k 2 2=0 ， x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 = ， 2kx 1 x 2 3k （x 1 +x 2 ）+4k= （4k 2 4k 12k 2 +8k 2 +4k ）=0 从而 k MA +k MB =0 ， 故 MA，MB 的倾斜角互补， OMA=OMB， 综上OMA=OMB21记 f （x ） ，g （x ）分别为函数 f （x ） ，g （x ）的导函数若存在 x 0 R，满足|f（x 0 ）=g（x 0 ）且 f（x 0 ）=g（x 0 ） ，则称 x 0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x ）=x 2 +2x2 不存在“S 点”； （2）若函数 f（x）=ax 2 1 与 g （x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）=x 2 +a，g（x ）= 对任意 a 0 ，判断是否存在 b0 ，使函数 f（x ）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由 【解答】解：（1 ）证明：f（x ）=1，g（x）=2x+2， 则由定义得 ，得方程无解，则 f（x ）=x 与 g（x）=x 2 +2x2 不存在“S 点”； （2）f （x）=2ax ，g（x ）= ，x 0， 由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x= ， f（ ）= =g（ ）= lna2 ，得 a= ； （3）f （x）= 2x ，g（x）= ， （x 0 ） ， 由 f（x 0 ）=g（x 0 ） ，得 b = 0，得 0 x 0 1， 由 f（x 0 ）=g（x 0 ） ，得x 0 2 +a= = ，得 a=x 0 2 ， 令 h（x）=x 2 a= ， （a0 ，0x1） ， 设 m（x ）= x 3 +3x 2 +axa ， （a0，0x 1） ， 则 m（0 ）=a0 ，m（1）=20，得 m （0）m （1）0， 又 m（x ）的图象在（0，1）上连续不断， 则 m（x ）在（0，1）上有零点， 则 h（x）在（0 ，1）上有零点， 则 f（x）与 g （x ）在区间（0，+）内存在“S” 点|22已知函数 f （x ）= lnx （）若 f（x）在 x=x 1 ，x 2 （x 1 x 2 ）处导数相等，证明：f （x 1 ）+f （x 2 ） 88ln2； （）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯 一公共点 【解答】证明：（）函数 f（x ）= lnx， x0，f （x ）= ， f（x）在 x=x 1 ，x 2 （x 1 x 2 ）处导数相等， = ， x 1 x 2 ， + = ， 由基本不等式得： = ， x 1 x 2 ，x 1 x 2 256 ， 由题意得 f（x 1 ）+f （x 2 ）= = ln （x 1 x 2 ） ， 设 g （x ）= ，则 ， 列表讨论：x （0 ，16 ） 16 （16，+）g（x） 0 +g （x） 24ln2 g （x）在256，+）上单调递增， g （x 1 x 2 ）g （256 ）=88ln2 ， f（x 1 ）+f（x 2 ）8 8ln2 （）令 m=e （|a|+k ） ，n= （ ） 2 +1 ，|则 f（m ）kma |a|+kka0， f（n ）kn a n （ k）n（ k）0 ， 存在 x 0 （m ，n） ，使 f（x 0 ）=kx 0 +a， 对于任意的 aR 及 k（0，+） ，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点， 由 f（x）=kx+a，得 k= ， 设 h（x）= ，则 h（x ）= = ， 其中 g（x ）= lnx ， 由（1）知 g（x ）g （16） ， 又 a34ln2 ，g （x ）1+ag（16 ）1+a= 3+4ln2+a 0， h（x ）0，即函数 h （x ）在（0，+）上单调递减， 方程 f（x ）kxa=0 至多有一个实根， 综上，a34ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共 点23已知函数 f （x ）=a x ，g（x）=log a x，其中 a1 （）求函数 h（x）=f（x ）xlna 的单调区间； （）若曲线 y=f（x）在点（x 1 ，f （x 1 ） ）处的切线与曲线 y=g （x ）在点 （x 2 ，g （x 2 ） ）处的切线平行，证明 x 1 +g（x 2 ）= ； （）证明当 ae 时，存在直线 l ，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x ）的切线 【解答】 （）解：由已知，h（x）=a x xlna ，有 h （x）=a x lnalna， 令 h（x ）=0，解得 x=0 由 a1，可知当 x 变化时，h（x） ，h（x）的变化情况如下表：x 0 |（ ，0 ） （0，+ ）h（x） 0 +h（x） 极小值 函数 h（x）的单调减区间为（ ，0 ） ，单调递增区间为（0，+） ； （）证明：由 f（x ）=a x lna，可得曲线 y=f （x ）在点（x 1 ，f （x 1 ） ）处的切线 的斜率为 lna 由 g（x）= ，可得曲线 y=g （x ）在点（x 2 ，g（x 2 ） ）处的切线的斜率为 这两条切线平行，故有 ，即 ， 两边取以 a 为底数的对数，得 log a x 2 +x 1 +2log a lna=0， x 1 +g（x 2 ）= ； （）证明：曲线 y=f（x）在点（ ）处的切线 l 1 ： ， 曲线 y=g （x ）在点（x 2 ，log a x 2 ）处的切线 l 2 ： 要证明当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f （x ）的切线，也是曲线 y=g（x ）的切线， 只需证明当 a 时，存在 x 1 （ ，+） ，x 2 （0，+）使得 l 1 与 l 2 重合， 即只需证明当 a 时，方程组 由得 ，代入得： ， 因此，只需证明当 a 时，关于 x 1的方程存在实数解|设函数 u（x）= ，既要证明当 a 时，函数 y=u（x）存在零点 u（x）=1 （lna） 2 xa x ，可知 x（，0）时，u（x ）0；x（0，+）时， u（x）单调递减， 又 u（0 ）=10 ，u = 0， 故存在唯一的 x 0 ，且 x 0 0，使得 u（x 0 ）=0 ，即 由此可得，u（x）在（ ，x 0 ）上单调递增，在（x 0 ，+）上单调递减， u（x）在 x=x 0 处取得极大值 u （x 0 ） ，故 lnlna1 = 下面证明存在实数 t，使得 u（t）0 ， 由（）可得 a x 1+xlna ，当