《等比数列的前n项和》.doc
等比数列的前n项和 课型:新授课课时:第一课时赵红 【教材分析】本节内容选自人教A版必修5第二章第五节,是一节重要的基础内容,主要学习运用错位相减法对等比数列进行求和,错位相减法是一种重要的数学思想方法,是求解混合数列前n项和的重要方法。本节内容是对等差数列的前n项和与等比数列的知识的巩固与延续,可以通过类比等差数列来学习,而等比数列实质上是一种特殊的函数,所以本节内容也是对之前函数知识的巩固与延续,还为后继数列的深入学习提供了知识基础,本节具有非常重要的承上启下的作用。【学情分析】从知识起点看,学生已经深入学习了函数、等差数列及其前n项和等知识,有助于本节内容与等差数列前n项和进行类比。从能力上看,学生具备了一定的分析和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但缺乏冷静,思维具有不严谨的特点,对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。而且本节的公式推导的计算量很大,对q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,对等比数列求和的推导过程,学生可能会遇到困难。【重难点】重点:等比数列的前n项和公式及其初步应用难点:公式的推导方法【三维目标】1.知识与技能 理解等比数列的前n项和公式的推导方法掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题2.过程与方法 感受公式探求过程中从特殊到一般的数学思想方法 渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想3.情感、态度与价值观通过对公式的探索过程,激发求知欲,感受思维的奇妙、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美【教法】引导发现教学法【教学过程】一、 创设情境 教师向学生讲述一个故事,从而引进教学。传说在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,国王大为赞赏,要奖励西萨,问他有什么要求, 西萨说:“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”国王说:“简单!来人,快办。”然而,过几天,手下急匆匆跑来,不好啦,不好啦!你猜怎么了?你知道西萨要多少粒小麦吗?【设计意图】以故事引题,激发学习兴趣与热情,调动学习积极性,领悟数学应用价值。二、 探索新知教师列举一个题目,请同学们做题。例题求解S64=1+2+22+23+263=?解:法1:观察类比 S1=1 S2=1+2=3 S3=1+2+22=7 S4=1+2+22+23=15 依此类推,S64=2641法2:提取公比2,解方程 法3:错位相减法 S64= 1+2+22+23+263 2S64= 2+22+23+24+264相减得 S64=1264 S64=2641 经测算,需要麦粒1.84×1019粒,约7000亿吨,这么多小麦沿地球表面可铺3厘米厚,能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,大约是全世界一年粮食产量的459倍,古印度国王显然无法满足西萨的要求。【设计意图】通过引言实例的探究解决,使学生感受数学的应用价值,同时也为下面的学习作好铺垫,在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法,激励学生模仿创新,作好认知准备。三、 提升新知 一般化,等比数列前n项和怎么求呢?法1: 于是(1q)Sn=当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。法2:提取公比q 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。法3:类比归纳 S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2) Sn=a1+a2+an=a1(1+q+q2+qn-1)当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1法4: =q由等比定理 当q1时,Sn= 当q=1时, Sn=na1。1)推理成果 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na12)公式的理解 知三求二:n q a1 an Sn n的含义:项数(通项公式是qn1) q的含义:公比(注意q=1,分类讨论) 错位相减法:乘公比(作用是构造许多相同项)后错开一项后再减。【设计意图】发挥学生学习主体性和参与积极性,从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力。多种方法推导,扩展学生思维视野,变式教学有利于培养学生发散思维和创新精神。剖析公式中的基本量及结构特征,识记公式,及时总结、巩固、强化探究成果,提高认知的深度。四、巩固提高1等比数列中a1=4,q=,则Sn= 2等比数列中a1=,q=,则Sn= 3= 4 5 例1:已知an为等比数列, a1=1,ak=243,q=3,求Sk。 a3=,S9=,求a1和q。a1=4,q=,an=,求Sn。例2: 数列1,2,22,23,2n,中,求第5项到第10项的和。 法1:所求和等于S10S4,再用公式计算。 法2:第5项到第10项构成首项为16,公比为2的数列,共有6项,再用公式计算。例3:求数列n+的前n项和。 变式1:求数列n+an的前n项和。变式2:求1+ +。【设计意图】直接和变式套用公式, 强化对公式的理解和识记,通过分类讨论思想的渗透,提升思维层次。进一步研究公式特点,增强公式的应用,促进学生数学认知结构的形成,深化对公式的认识和理解。一题多解及变式教学,有利于提高学生思维的梯度、深度和灵活性。五、总结反思1数学公式:等比数列前n项和 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na12数学计算方法:错位相减法(乘以公比)3数学思想方法:分类讨论【设计意图】整理、归纳所学知识,完善学生认知结构和知识体系,明确本节学习内容。六、布置作业书本p58页“感受·理解”中第1、2、7题【设计意图】巩固知识