函数反函数映射.doc

§2.1 函数、反函数、映射【一线名师精讲】基础知识要点（一）映射1、映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB2、对于映射f：AB，允许B中元素没有原象，但A中每一个元素必有唯一的象。对于A中的不同元素，在B中可以有相同的象。（二）函数1、函数是一种特殊的映射f：AB，其中A、B必须是非空数集，其象的集合是B的子集。2、函数有三要素定义域、对应法则和值域，其中对应法则是核心，定义域是函数的灵魂。三要素都相同的两个函数才是同一个函数。3、函数的三种表示方法列举法、解析法和图象法。若函数在其定义域的不同子集上，对应法则分别不同或用几个不同式子来表示，这种形式的函数叫做分段函数。4、如果y=f（u），u=g（x），那么y=f【g（x）】叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内层函数，f（u）为外层函数。（三）反函数1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。因此，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应是原函数的值域。3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤是：（1）从y=f（x）中反解出x；（2）x与y互换；（3）写出y=f1（x）的定义域（即y=f（x）的值域）。4、f1(a)=bf(b)=a，要善于利用它解题。5、掌握下列一些结论:（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数。（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数。（5）原函数与它的反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。基本题型指要题型一：映射与函数【例1】设f：AB是集合A到集合B的映射，其中A=R，B=R，f：xx22x1，求A中元素的象和B中元素1的原象。思路导引：根据象与原象的概念，列式或列方程解之。解析：当x=1时，x22x1=0，所以1的象是0。当x22x1=1时，x=0或x=2 01的原象是2。点评：对于给定的映射，求指定元素的象用代入法，求指定元素的原象用解方程（组）的方法。【例2】集合A=a，b，c，B=1，0，1，从A到B的映射f满足条件f（a）=f（b）+f（c），那么这样的映射f的个数是（ ）（A）2 （B）7 （C）5 （D）4思路导引：本题既考查了映射的定义，同时也考查学生对数学语言的理解能力以及综合分析问题的能力。解析：由已知f（a）=0=1+（1）=f（b）+f（c），f（a）=0=1+1= f（b）+f（c），f（a）=0=0+0=f（b）+f（c），f（a）=1=1+0= f（b）+f（c），f（a）=1=0+1= f（b）+f（c），f（a）=1=1+0= f（b）+f（c），f（a）=1=0+（1）= f（b）+f（c） 所以满足条件的映射共有7个，故选（B）。点评：准确地掌握映射的定义，即可推出f（a）=0时，0=1+1，0=1+（1），0=0+0，从而一一列出，得出结论，同时考查了枚举法的解题思路。题型二：函数的三要素【例3】下列函数中表示同一函数的是（ ）（A）f（x）=x ，g（x）=2 （B）f（x）=x ， g（x）=（）2（C）f（x）=1 ，g（x）=x0 （D）f（x）= ， g（x）=思路导引：两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则在实质上（不必在形式上）完全相同。解析：对于（A） ，f（x）=x与g（x）=的对应法则不同；对于（B），g（x）的定义域为与f（x）的定义域为R不同；对于（C），g（x）的定义域为与f（x）的定义域为R也不同。故选（D）。点评：定义域、对应法则和值域被称为函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以也可以说函数只有定义域和对应法则两大要素。【例4】设 是方程4x24mx+m+2=0（xR）的两个实数根，当m为何植时，2+2有最小值？并求出这个最小值。错解：由根与系数的关系得 +=m， =。 错因：本例结果一看便知此题解错了，因为0，其错误原因在于忽略了“方程有实数根”的条件“0”如何更正？正解：由根与系数的关系得：+=m， =。+=（+）22=（m）又、是原方程的两个实根 =16m2-16(m+2)0 m2或m-1，由图象知：当m=1时，函数f（m）=2+2有最小值。题型三：求函数的反函数【例5】求函数y=x+2x的反函数。思路导引：先将它写成分段函数的形式，再分别求每段上的反函数。解析：原函数可化为 当x0时，则y0，由当x<0时,则y<0,由点评：分段函数的反函数应先分段求解，再合并；在表示反函数的解析式时，必须写出反函数的定义域（即原函数的值域）题型四：原函数与反函数之间的关系【例6】若点（1，2）既在函数f（x）=的图象上，又在其反函数 f 1（x）的图象上，求f（x）的解析式。思路：抓住原函数与反函数图象间的对称关系，建立方程组求解。解析：依题意有： 解之得 点评：因为互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，所以点（1，2）在反函数f1（x）的图象上，其关于直线y=x的对称点（2，1）必在原函数的图象上。【阅卷老师评题】【例7】（2002年新课程理13）函数的图象与其反函数图象的交点坐标为 . 命题目的：本题主要考查反函数的性质和求曲线交点坐标等基础知识，以及计算能力和综合应用知识解决问题的能力。考情分析：该题本来是一个容易题，但由于部分考生计算能力较差，所以仍未得分。解析1：因为函数与反函数的两个图象关于直线y=x对称，所以题设中两个图象的交点坐标满足方程组 消去y得x2x=0解得x1=0，x2=1，对应得y1=0，y2=1所以两个图象的交点坐标为（0，0），（1，1）解析2：由反函数的概念，所要求的交点坐标满足方程组 解之得因此，所求的交点坐标为（0，0），（1，1）【好题优化训练】 基础巩固1、 映射f：MN是定义域M到值域N上的函数，则下面四个结论中正确的是（ ）（A）N中的元素不一定有原象（B）M中不同元素在N中有不同的象（C）N可以是空集（D）以上结论都不对答案：（D）解析：对于（A），由于N是值域，因此N中的元素一定有原象；对于（B），由于映射允许多对一；对于（C），对函数而言，定义域、值域非空。2、 下列四组函数中，图象相同的是（ ）（A）y=x-1与y=（B）（C）y=4lgx与y=2lgx2（D）y=lgx-2与y=lg答案：（D）解析：因为y=x-1与y=的对应法则不同，故排除（A）；的定义域不同，故排除（B）；y=4lgx（x>0）与y=2lgx2（x0）的定义域不同，故排除（C）；故选（D）。3、（1999年全国3）若函数y=f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab0，则g（b）等于（ ）（A）a （B）a-1 （C）b （D）b-1答案：（A）解析：由已知得点（a，b）在函数y=f（x）图象上，又由原函数与反函数的图象的对称性可知，点（b，a）在其反函数y=g（x）图象上，即g（b）=a4、设f：AB是从A到B的映射，其中A=B=（x，y）x，yR，f：（x，y）（x+y，x-y），那么A中元素（1，3）的象是 ; B中元素（1，3）的原象是 .答案：（4，-2）；（2，-1）解析：求（1，3）的象用代入法即得，求（1，3）的原象应建立方程组求解。5、已知函数y=f（x）在定义域（-，0）内存在反函数，且f（x-1）=x2-2x，f-1（-）= .答案：-解析：f（x-1）=x2-2x=（x-1）2-1 y= f（x）=x2-1（x<0） B、技能培训6、（1999年全国2）已知映射f：AB，其中集合A=-3，-2，-1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是,则B中元素的个数是（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7答案：（A）解析：对A中元素取绝对值即得结论。7、已知集合M=-1，1，2，4，B=0，1，2，给出下列四个对应法则：（1）y=x2 （2）y=x+1 （3）y=2x （4）y=log2， 其中能构成从M到N的函数的是（ ）（A）（1） （B）（2） （C）（3） （D）（4）答案：（D）解析：由函数的定义可得。8、（2003北京春季）若f（x）=则方程f（4x）=x的根是（ ）（A）-2 （B）2 （C）- （D）答案：（D）解析：由题意有9、要使函数y=x2-2ax+1在1，2上存在反函数，则a的取值范围是（ ）（A）a1 （B） a2 （C）a2 或a1 （D）1a2答案：（C）解析：要存在反函数，则该函数在1，2上应为单调函数，即对称轴大于等于2或小于等于1，则a2 或a1 10、设函数f（x）=函数g（x）的图象与y=f-1（x+1）的图象关于直线y=x对称，那么g（1）等于（ ）（A）- （B）-1 （C） - （D）0答案：（A）解析：先求出f-1（x）=然后求得f-1（x+1）= 令 =1 得x= 所以g（1）=11、（2003年新课程理5）函数y=ln（A） （B） （C） （D）答案：（B）解析： 12、函数f（x）=则f-1（0） . 答案：1解析：令f（x）=0解得x=1，则f-1（0）=113、已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，则f（36）= . 答案：2（p+q）解析：f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（2×3）=2f（2）+f（3）=2（p+q） C、思维拓展14、（2002年全国理16）已知函数那么 = 。答案： 解析： 15、已知函数f（x）=求证： （1）f（x）存在反函数，并求其解析式； （2）f（x）的反函数的图象与直线y=x无交点。 解析：（1）f（x）的定义域为x|x0设 < f（x）在 （0，+）上是增函数 f（x）存在反函数。 （2）因为原函数的图象与反函数的图象关于直线y=x对称，若反函数的图象与直线 y=x无交点，则原函数的图象与直线 y=x也无交点 。于是只需证明方程组 无解。 当0<x<1时,此时方程组无解;当x1时,方程组也无解,y=f（x）的图象与直线y=x无交点,即y=f1(x) 的图象与直线y=x无交点.