第2章函数概念与基本初等函数 21函数的概念和图象.docx

第2章函数概念与基本初等函数2.1函数的概念和图象1.已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x的一次函数.分析：应写出y+b与x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k0.整理，得y=kx+(kab).因为k0且kab是常数，故y=kx+(kab)是x的一次函数式.2.填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a0，b0且bc0，则此直线经过第（）象限.分析：先把ax+by+c=0化为.因为a0，b0，所以.又bc0，即0，故0.相当于在一次函数y=kx+l中，k=0，l=0，此直线与y轴的交点(0，)在x轴上方.且此直线的向上方向与x轴正方向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.3.一次函数图象与反比例函数y=的图象的交点坐标分别是P(m，4)，Q(1，m)(A)y=4x+3 (B)y=4x+3 (C)y=x+3 (D)y=4x3分析：把P，Q两点坐标代入反比例函数式y=，得即P点坐标是 (14，4)，Q点坐标是(1，1).设一次函数式的解析式是y=kx+b.把P，Q坐标代入，得.所求直线为y=4x+3.先(A).4.把反比例函数y=与二次函数y=kx2(k0)画在同一个坐标系里，正确的是( ).答：选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同.5.对于二次函数y=x22ax+2a+3.分别满足下列条件，求系数a的值.(1)图象与x轴没有交点；(2)函数式为完全平方；(3)函数的最小值为零；(4)当x5时，y随x增大而增大，且x5时，y随x增大而减小；(5)图象的顶点位置最高，并求这个顶点的坐标；(6)图象在x轴上截得的线段长是3.解：(1)令y=0，则二次函数y=x22ax+2a+3变为二次方程x22ax+2a+3=0.函数图象与x轴没有交点，相当于二次方程没有实数解.由=(2a)24(2a+3)=4(a22a3).令0，即a22a30.用图象法解此二次不等式.设y=a22a3(这里把a看作自变量).此图象与横轴交点的横坐标是方程a22a3=0的解.即a1=3，a2=1.使函数y=a22a3的纵坐标为负值，即图象在横轴下方，这时的横坐标a应满足1a3.所以1a3时，y=x22ax+2a+3的图象与x轴没有交点；(2)对于二次三项式ax2+bx+c(a0)，当且仅当b24ac=0时，ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)=(xx1)2，这个二次三项式是完全平方.由=(2)24(2a+3)=0，得a1=3，a2=1.故a=3或a=1时y=x22ax+2a+3是完全平方；(3)把函数y=x22ax+2a+3配方成y=(x+h)2+k的形式，y=x22ax+a2+(a2+2a+3)=(xa)2+(a2+2a+3).因为y(xa)2+(a2+2a+3)a2+2a+3.所以y最小值是a2+2a+3.由已知最小值为0，令a2+2a+3=0，得a=3，a=1;(4)由已知可知，此图象的对称轴为5，即=5，得a=5；(5)要使图象的顶点位置最高，应求顶点纵坐标的最大值.顶点纵坐标.用配方法求最大值.a2+2a+3=(a22a+11)+3=(a1)2+44.所以当a=1时，顶点纵坐标最大值是4，而顶点横从标为=a.故最高的顶点坐标是(1，4)；(6)图象与x轴两个交点的横坐标就是方程x22ax+(2a+3)=0的两个根.设这两个根为x1，x2.由x1x2=3，得(x1x2)2=9，即(x1+x2)24x1x2=9. 又x1+x2=2a，x1x2=2a+3，代入，得(2a)24(2a+3)=9，即4a28a21=0.所以a1=72，a2=32.又a1，a2都满足0.答：当a=或a=时，图象在x轴上截得的线段长为3.6.已知一次函数 y=ax+b (a，b是整数) 二次函数 y=x2+3， 二次函数 y=x2+6x+7， 二次函数 y=x2+4x+5， 如果：与的图象有两个交点；与的图象只有一个交点；与的图象没有交点.求整数a，b的值.解：由的x2ax+(3b)=0.因为图象有两个交点，所以此二次方程的根的差别式=(a)24(3b)0. 由.即x2+(6a)x+(7b)=0.=(6a)24(7b)=0.答：所求整数为a=2，b=3.7.k取什么值时，二次函数y=x22(k+4)x+2(k22)的图象与x轴的两个交点都在y轴的右侧.分析：交点的横坐标，就是方程x22(k+4)x+2(k22)=0.的两个根x1，x2.两个交点都在y轴右方，相当于方程两根都是正值.所以应满足以下三个条件；0，x1+x20，x1x20.答：时，函数y=x22(k+4)x+2(k22)的图象与x轴的两个交点都在y轴的右侧.8.画出y=x22x3的图象.分析：为了去掉绝对值符号，应分x0，x0讨论.解：x0时，x=x，所以y=x2x3;当x0时，x=x，所以y=x2+2x3，用分段函数表示为的顶点为(1，4)，与y轴交点为(0，3)，与x轴交点横坐标为方程x22x3=0的解x1=3，x2=1(舍去).y=x2+2x3的顶点为(1，4)，与y轴交点为(0，3)与x轴交点横坐标为方程x2+2x3=0的解x1=3，x2=1舍去.函数图象是图中的实线部分.9.如图已知二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交于点A，B与y轴交于C.顶点是M.(1)试确定a，b，c的正负号；(2)如果线段OA的长与OC的长相等，求证：ac=b1.解：(1)因为抛物线开口向下，所以a0.又抛物线与y轴交点为(0，c)，而此点在x轴上方，故c0.又顶点在y轴右侧，所以0.而a0，所以b0.故y=ax2+bx+c中，a0，b0，c0;(2)设A点坐标为(x1，0)则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 由点A在y轴左侧，得x10.又点C与y轴交点为(0，c)且C点在x轴上方，所以c0.又由OC长与OA长相等，所以c=x1.即x1=c.又因为x1是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以x1=c适合此方程.即a(c)2+b(c)+c=0.ac2bc+c=0.由c0，式可除以c，得acb+1=0.故ac=b1.