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桂林理工大年夜学线性代数试卷参考答案20122013学年度第二学期课程名称：线性代数命题者：试题库A卷题号一二三四五六七八九总分得分一、20分设矩阵，试求1.；2.；3.解:1.6分2.,14分.16分3.20分二、10分设A为三阶矩阵，为的伴随矩阵，且，求.解：因，故5分7分10分三、4分设矩阵，求.解.四、10分(工科做,文科不做)判定二次型的正定性，并求该二次型的秩。解：二次型对应的矩阵为(4分)；(8分)因此矩阵的秩为3，即二次型的秩为3(10分)五、12分求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系跟此方程组的通解。解：解：4分基础解系为，8分令，得一特解：10分故原方程组的通解为：其中12分此题结果表示不唯一，只要精确可以给分。系部：专业班级：密封线学号：姓名：答题留空不足时，可写到纸的背面装订线留心保持装订残缺，试卷撕开无效六、10分求以下向量组的秩跟一个最大年夜有关组,并将其余向量用最大年夜有关组线性表示解：=(4分)故为一个极大年夜有关组.(6分)设，解得，.(8分)那么有，(10分)七、12分曾经明白方程组有无穷多解，求以及方程组的通解。解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式.3分即或。事前，该方程组的增广矩阵(8分)因此，方程组有无穷多解。分不求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，10分事前增广矩阵，现在方程组无解。(12分)解法二：起首使用初等行变卦将其增广矩阵化为路径形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法逐个样。系部：专业班级：密封线学号：姓名：答题留空不足时，可写到纸的背面装订线留心保持装订残缺，试卷撕开无效八、工科做(12分)设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵.文科做(12分)求矩阵的特色值跟特色向量工科做解：1由得的特色值为，。4分2的特色向量为，的特色向量为，的特色向量为。7分3由于特色值不相当，那么正交。9分4将单位化得，11分5取612分文科做解：特色方程从而,事前，(4分)由得基础解系，(5分)即对应于的全部特色向量为(6分)事前，由得基础解系，(10分)即对应于的全部特色向量为(12分)九、证明题10分假定设且向量组线性有关，线性有关，证明向量组线性有关.证明：设存在，使得(3分)也即(4分)化简得(6分)又由于线性有关，那么(8分)解得因此，线性有关.(10分)系部：专业班级：密封线学号：姓名：答题留空不足时，可写到纸的背面装订线留心保持装订残缺，试卷撕开无效