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.第 4 章 真空中的静电场43 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷 q，求半圆中心O处的场强。解：建立如图所示的直角坐标系 o-xy，在半环上任取 dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq=Rd，dq 在 O 点产生的电场强度为, 由对称分析得 Ey=0。xydEij其中 ，则22004qRd20sinsin4xxEE0i4dRR0220q如图，方向沿x轴正向。48 求半径为R，带电量为 q的空心球面的电场强度分布。解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性。则可应用高斯定理求解。在带电球内部与外部区域分别作半径为r 的同心球面S 1与S 2为高斯面，则（1） 2d0SErA得 内(2) rR2204Sqrre外E049 如图所示，厚度为d 的 “无限大”均匀带电平板，体电荷密度为，求板内外的电场分布。解:带电平板均匀带电，产生的电场具有面对称性，因而可以应用高斯定理求解。作一柱形高斯面，其侧面与板面垂直；两底面 s 和板面平行,且到板中心平面的距离相等，用 xd ExyRr0R习题 718 图.表示。(1) 平板内（ ）2dx110SSxEA得 ，方向垂直板面向外。0Ex（2）平板外 （ ）2d2 0SSA，方向垂直板面向外。0 Ed416 两个同心球面的半径分别为R 1和R 2,各自带有电荷Q 1和Q 2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解 1、(1) 先应用高斯定理求各区域的电场强度(a) r12140SEdrA1E(b) 2Rr2 1204SQd12204re(c) rR3212304SEdrA12304rQEe（2）求各区域的电势(a) 1rR.12 21212130044RRRr RRQVEdrEdrdrdr得 2101()4Q(b) 12Rr2 22 211130044RrRrRQVEddrdr得 1202() 4r(c) 2rR121304rrQVEddr得 1230 r2、两球面间的电势差为 22111002()4RRQVEdrdrR 417 一半径为 R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解： 据高斯定理有时：r2110SrlEdlA10nrEe时，V=0，则Rr时：102RRrrVd )(420roQ1Q2 R1 R2习题 716 图习题 710 图ro.时：Rr2220S RlEdrlA20nEer20RrrdVl20空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。R roV.第 5 章 静电场中的导体和电介质51 点电荷+q 处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为 Rl 和 R2，试求，电场强度和电势的分布。解：静电平衡时，球壳的内球面带q、外球壳带 q 电荷1、利用高斯定理和静电平衡条件可得：（rR 2）3204rqe2、利用电势的定义式可求得： 12123012()4RRr RqUEdrEdrR22302RrR3304rqUEdr54 三个平行金属板 A、 B 和 C，面积都是 200cm2，A、B 相距 4.0mm，A、C相距 2.0mm， B、C 两板都接地，如图所示。如果 A 板带正电 3.0×107 C，略去边缘效应（1）求 B 板和 C 板上感应电荷各为多少?（2）以地为电势零点，求 A 板的电势。解：（1）设 A 板两侧的电荷为 q1、q 2，由电荷守恒原理和静电平衡条件，有（1）q21， （2）BC依题意 VAB=VAC,即R2R1习题 81 图q-q qAB C习题 84 图d1d2. 代入（1） （2）式得10dSq2021qdqq11.0×10 -7C，q 22.0×10 -7C，q B1.0×10 -7C，q C=-q22.0×10 -7C，（2） = 2.3×103V10UA20 314708510.510 半径都为 a 的两根平行长直导线相距为 d（d>>a） ， （1）设两直导线每单位长度上分别带电十和一，求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。解：（1）两直导线的电电场强度大小为 0()Exd两直导线之间的电势差为 01()2dalUdx 0lna（2）求此导线组每单位长度的电容为=Cadln0511 如图，C 1=10F，C 2=5F，C 3=5F，求（1）AB 间的电容；（2）在 AB 间加上 100V 电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果 C1 被击穿，问 C3 上的电荷量和电压各是多少？解：（1）AB 间的电容为=3.75F；2015)(3213C（2）在 AB 间加上 100V 电压时，电路中的总电量就是 C3 电容器上的电荷量，为643.750.7qCV4126123125V7503CVCq461 10.22ABC1C3C2习题 811 图x0 p -.（3）如果 C1 被击穿，C 2 短路，AB 间的 100V 电压全加在 C3 上，即 V3=100V，C3 上的电荷量为 Vq463 10.5105第 6 章 恒定电流62 在半径分别为 R1 和 R2（R 1< R2）的两个同心金属球壳中间，充满电阻率为的均匀的导电物质，若保持两球壳间的电势差恒定为 V，求（ 1）球壳间导电物质的电阻；（2）两球壳间的电流；（3）两球壳间离球心距离为 r 处的场强。解：（1）球面间任一薄层的电阻为： 24d整个球壳间导电物质的电阻为： )1221 RrR（2） )(412RVI（3） 2sjdjr1224()Ij由 1jE1212 ()()VRrR613 在如图所示的电路中，E13.0V ，r 1=0.5，E 21.0V ，r 2=1.0，R 1=4.5.，R 2=19，R 3=10.0，R 4=5.0，试求电路中的电流分布。解：设各电流如图2322 141)(0RIrIR2R3E2,r2E1,r1R1习题 613R4I1 I3I2.解得 与图中所示方向相反10231IIAI14.026.32615 在如图所示的电路中E16.0V ，E 2=2.0V，R 1=1.0.，R 2=2.0，R 3=3.0.，R 4=4.0，试求（1）通过各电阻的电流；（2）A、B 两点间的电势差。解： 7434ARI 85.01263421VV.785.034,AI961AI36.04.1RAB 5.1E2 R1R4A BR3E1R2习题 615.第 7 章 稳恒磁场72 一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，圆弧半径 R=3cm，导线中的电流I=2A， 如图所示，求圆弧中心 O 点的磁感应强度。解：两半无限长电流在 O 点产生的磁感应强度大小相同，方向相同，叠加为 方 向 4201RIBO3/4 圆电流在 O 点产生的磁感应强度为则圆弧中心 O 点的合磁感应强度为 021-7-5231 (- )44 .80 TIBR方 向77 如图所示，两根导线沿半径方向引到铜圆环上 A、B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求圆环中心处的磁感应强度。解：O 点处在两直线电流的延长线上， ，0Idlr故两直电流在 O 处产生的磁感应强度为 0。I1 与 I2 为并联电流，其在 O 处产生的磁感应强度分别为：02 IlBR方 向因为并联电流电压相同有： ，所以21lI120OB IOR习题 72 图习题 77 图I1l2I2l102 I方 向01 l方 向.79 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有 N 匝线圈，线圈中通有电流 I，试求（1）环内离轴线为 r 处的磁感应强度；（2）通过螺线管截面的磁通量。解：（1）环形螺线管内的磁场具有对称性，可根据安培环路定理求解。在环形螺线管内作一半径为 的圆形回路 ,则有：rL0dNILBlA)2( 22 1200 drrIIr （2）环内离轴线为 r 处取一宽度为 ，高为 的矩形面积元 ，则通过面积元dhs的磁通量为ds 0dBSsNIr=120Ihrd 12lnd710 一对同轴的无限长空心导体直圆筒，内、外筒半径分别为 R1 和 R2（筒壁厚度可以忽略） ，电流 I 沿内筒流出去，沿外筒流回，如图所示。 （1）计算两圆筒间的磁感应强度。 （2）求通过长度为 l 的一段截面（图中画斜线部分）的磁通量。解：（1）电流分布具有对称性，因此两圆筒间的磁感应强度也具有对称性，利用安培环路定理求解磁场强度。在两圆筒间作一半径为 的圆形回路 ,则有：rL0dILBlA)( 22210 RrrIr（2）在两圆筒间离轴线为 r 处取一宽度为 ，长为 的矩形面积元 ，则通过面积dlds元 的磁通量为ds0IdslB=210IlrR 021 lnR