2022年对数公式及对数函数的总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 对数运算和对数函数对数的定义若axN a0,且a1)，则 x叫做以 a 为底 N 的对数， 记作xxlog aN ，其中 a叫做底数， N 叫做真数负数和零没有对数。对数式与指数式的互化：xlogaNaN a0,a1,N0)。常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即log10N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中e2.71828 ）对数函数及其性质函数名称y函数ylogax a对数函数1)叫做对数函数1x定义0且aa10aylogaxx1yx1yloga图象O(1,0)O(1,0)xx定义域(0,)值域在 (0,R1时，y0过定点图象过定点 (1,0) ，即当x奇偶性非奇非偶在 (0,) 上是减函数) 上是增函数单调性函数值的logax0 (x1)logax0 (x1)logax0 (x1)logax0 (x1)变化情况logax0 (0x1)logax0 (0x1)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高。类型一、对数公式的应用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 计算下列对数log26log2364c2log2122l o g 21log2(43lg5lg2loglg6 1000)3log2128log224)(log43log83 )(log32log92log 22324log23log8199log35log390log32log227log316lg2lg3 4lglog2alog4blog28log48log83232002log510log50. 252log5253log2642(log2(log2(log265536)2 解对数的值：lg142lg7lg7lg180 lglg52lg2(1)1-1 3221log 2 log 27+2(lg25)的值 0138提示：对数公式的运算如果a0,a1,M0,N0，那么)b（2）减法： logaMalogaNlogaMnn blogaM b0,nR )（1）加法： logaMlogaNlog ( aMNN（3）数乘：nlogaMlogaMn(nR )（4）alog a NN（ 5） logabM（6）换底公式：logaNlogbN(b0,且1)（7）logblogba1（8）logab1blogbaloga类型二、求下列函数的定义域问题1 函数f(x)3x2xlg(3 x1 )的定义域是(11, )。4 ,1,14312 设fxlg2x，则fxf2的定义域为2x2x3 函数f x ( )x2x3 x4的定义域为（(1 0,)(0 1,）lg(1)提示： （1）分式函数，分母不为0，如y1 x x0。（2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，yx,x0（ 3）对数函数，真数大于0，ylogax,x0。类型三、对数函数中的单调性问题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 函数f x ( )lg(x24x3)的单调递增区间为（()1,）2 函数f(x)ln(x22x15)的单调递增区间是(5 ,)0，f(x)在其3 函数ylog05.(x23x2 )的递增区间是（(1, )）4 已知fx2log3x x1,9，则 fx 的最小值为（ -2 ）815 若函数ylog (x2axa 在区间 (,13) 上是增函数，a的取值范围。 22 3,26 不等式log 3(2x1 )1的解集为(1,227 设函数fxlog24xlog22x ，且 x 满足417x4x20，求 fx 的最大值。 12. 提示： （1）在对数函数中f(x)logax中，当a1，f(x)在其定义域上是增函数；当1a定义域上是减函数。（2）在复合函数f(x)logag(x)中，函数的单调性复合同增异减。类型四、对数函数中的大小比较1 已知 logm4log 4 n，比较 m ， n 的大小。 0m1ncaacbc（D）ca。cb2 已知alog3,2blog43,clog54，比较a,b ,c的大小关系cb3 设alog3,blog23,clog32，则a ,b ,c的大小关系abc4 若ab0，0c1，则 B （A）logaclogbc（B）logcblogb（ C）5 若a1，且axlogaxaylogay，则 x 与 y 之间的大小关系是（）xy00提示： 在ylogab比较大小题型中，当a1，x10y0；当1x1ya0，1xy01x0y0类型五、对数函数求值问题1 已知函数f(x)lgx，若f(ab)1，则f(a2)f(b2) 2 (8或x12 解方程(logx)2log2xlog29log380x243 已知ab(1,若logablogba5，abba，则 a ， b 。a4 b22(1)4，则f4 已知函数fx)alog2xblog3f2014)x2，若的值为 _0_2014提示： 在对数函数求值过程中，主要用到对数公式 类型六、对数函数中的分段函数问题1 设函数fx2 ex1，x12，x2，则ff2的值为（ 2 ）第 3 页，共 16 页log3x2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 已知f x ( )(1)x，x0，则f(8)f(log21)_7_. f x f x1)，则f(2log 3)1 2424log2x，x0，3 已知函数f x 满足：当x4，则f x 1 ( )2x ；当x4时提示： 分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题 类型七、对数函数中含参数问题1 若loga1211，则 a 的取值范围是4，+1a1 或1a2）a2 若关于 x 的方程lg(ax)lg(ax2)4的所有解都大于1，求 a 的取值范围。(0 ,1)1003 函数f(x)logax (a0且a0)，当x2,)时，|f(x)|1，则 a 的取值范围是 （24 设a1，函数f x ( )log ax 在区间 , 2 a 上的最大值与最小值之差为1，则 a 4 2提示： 对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。类型八、对数函数中的图像问题1 当af1时，函数f(x)logax和f(x)1(a)x的图象只可能是() x)xlog2x2 函数(的大致图象是 () x3 图 2-2-2 中的曲线是对数函数ylogax的图象， 已知 a 取3,4,3,1四个值。 则相应c 1,c 2,c3,c4的 a 值依次3510为（4,3,1,3）3105提示： 函数的图像题型，先看奇偶性再看单调性，然后用特指排除。名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型九、对数函数中的奇偶性问题1 若函数f(x)loga(xax22 a2)是奇函数，则a2。am的值 2 22 若函数f(x )xln(xx2)为偶函数，则a 1 3 若函数fxlne 3x1max是偶函数，则a_3_. 24 若函数f(x )logax是偶函数，且在24,上最大值为2，则f(x)，然后求参数。提示： 偶函数必有f(x )类型十、对数函数中的绝对值问题1 已知函数f(x )lnx，若f(a)f(b)，求ab的取值范围(2,)f(a)f(b)，且2 已知函数f(x )lg(x)1，若ab且f(a )f(b)，则ab的取值范围是（ ，）3 已知函数f(x)lgx, 若0ab, 且f(a)f(b ), 则a2 b的取值范围是 (3,)提示： 已知对数函数f(x )logax的图像，只需要把x 轴下方的图像翻到x 轴上方。如果当ab，必有0a,1b1，以及ab1。类型十一、对数函数中的综合问题1 若函数f(x)axloga(x1 )在01,上的最大值和最小值之和为a ，则 a 的值为 (2) 2 若log (3a4 )log2ab ，则 ab的最小值为（74 3）3 设点 P 在曲线y1ex上，点 Q 在曲线yln(2x)上，则 PQ 的最小值为（2 1ln 2）24 已知两个函数f(x )logax，g(x)ax，(1) 若h(x)f(x)g(x )，在,14 的最大值为18，求 a 值； (2)对任意的x,14时，f(x)g(x )，求 a的取值范围。【答案】（1）a2；（2）a(0 1, )2,)。提示： 对数函数中可以和不等式，单调性，导数等进行综合，解答中需要多个知识点相结合多种考虑。习题类型一、关于对数公式的应用1 求下列各式中的4x 的值：2x9；(4)52x125； (5)72x11；（6）(log29)(log3100)(lg4)(1)3x1； (2)x1；(3)3642 化简下列各式：(1)4lg2433lg5lg1 5；(2)1 11 2 2 3lg9lg240；(3)lg3 7lg70lg3；(4)lg22lg5lg20192785log1lg27lg36 5(5)(1)log(1)log54(6)3log1410log0. 0127log12(7)25log5249log73100lg6(8)2log4123log2533745(9)(log43log8)3(log32log92)；(10)(1log63 )2log62log618 log46（11）log9第 5 页，共 16 页log32名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 设 2a5 bm ，且1 a12，则 m10的值。 1，5，9 b4 计算log8643llog32(32)0(2)1( 33)1的值 2.3385 计算：0.02712107log 2 3lg214lg 34lg 6lg 0.02的值253336 计算：lg 22lg5 lg 20201600.027212的值 102337 计算：(lg2lg5)(log11)(log12)11 -1 4248 计算：log35log315log2 3513的值是 (0 ) log59 计算：(log32log23)2log32log23的值是 ( 2 ) log23log3210 已知x,y ,z为正数，且3x4y12，求使1 x1的值。 1 y11 已知 lg a ， lg b 是方程2x24x10的两个根，则(lga)2的值是（2 ）b12 已知 4 a8m， 2n 96，且1 m1b，则 1.2 a 与 0.8 b 的大小关系 _1.2 a0.8 b _2 n13 设方程x210x20的两个根分别为,，求log42)22的值1(214 已知lgxlgy2lg(x2y)，求log2x的值。 4 y15 实数a,b,c(bc)，且2lg(b1 )lg(a1 )lg(c1 )，2 bac ,abc15，求a,b,camlogan，16 已知m,n为正整数，a0且a1，且logamloga(11)loga( 1m1) 1logmn求m,n的值。m ，n2.类型二、对数函数的应用1 函数f(x)log1x)1的定义域是 _( ,12 _ 2 函数f(x)12log6x的定义域为(0,6 . 23 函数f(x)(log2x)4的定义域是 (16 ,) 4 函数fxlg 4x的定义域 _(,3 )(,34 )_。第 6 页，共 16 页x3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 若f x ( )log (x)，则f x 的定义域为（(, )）6 函 数 f ( x ) 1的 定 义 域 是 ( ( 31, )7 求 函 数 f ( x ) l o g x 1的 定 义l o g 5.0 ( 4 x )3 4 l o g ( 3 x 2 )域( 0 1, ) ( ,1 ) 8 函数 f ( x ) lg( x 1 ) 4 3 x x 2的定义域为 ( ( 1,1 ) 2 29 函 数 f ( x ) ln ( x x 2 )的 定 义 域 是 （( ,1 0 ) ( 0 , 2 )） 10 函 数 f ( x ) 25 x 的 定 义 域 是x lo g a ( 3 x 2 )（( 2 1, ) ( ,1 5 ）11 函数 f ( x ) log ( 2 x 1 ) ( x 26 x 8 ) 的定义域是 （( 1 1, ) ( ,1 2 ) ( 4 , )）3 2112 函数 f ( x ) log 2 (log .0 5 x ) 4 的定义域是（( 0 , )）1613 函数 f (x ) 的定义域是 ,1 2 ，则函数 f (log 2 x ) 的定义域是 _ 14, _214 函数 f ( x ) log .0 5 x 1的定义域是（( ,0 1 ) ( 1 , 1 )）4 x 1 4 4 215 函数 f ( x ) log ( x 1 ) ( 16 4 x) 的定义域是（( 0,1 ) ( 0 , 2 )） 16 函数 f ( x ) log ( 3 x 1 ) 2 x 1 的定义域是x 1（ 1, 2) ( 2 , )）17 函数 y log x 2 5 x 的定义域是（2,3 3,5）2 3 3218 已知函数 f ( x ) 2 log 1 x 的值域为 1,1 ，则函数 f (x ) 的定义域是 ( , 2 )2 2219 函数 y log 5.0 ( x 2 ) 的值域是（( , 1）20 函数 y log 5 x 2 ( x 5 ) 的值域是 ( 5, ) ) 221 函数 f ( x ) log 2 x 在 1 , 2 上的值域是 ( 2 1, ) 422 函数 y log 2 x 3 ( x 1 ) 的值域是（ ,3 )）x23 函数 y log 2 ( 3 4 ) 的值域是 ( ( 2 , ) ).24 函数 y log 2 ( x 2 4 x 6 ) 的值域是 ( ,1 ) ).25 函数 y log 1 ( x 24 x 6 ) 的值域是 ( ( , 1 ).226 函数ylog3x22x 的单调减区间是（f,0）31, )第 7 页，共 16 页27 若函数f(x )x )loga(x3ax)(a0,a1 )在区间(10,)内单调递增，则a 的取值范围是24f(log2(x22x2 )，使28 已知函数(x)是单调增函数的x 值的区间是 ( ,1) ) 29 如果函数f(x)(3a)x与g(x)logax的增减性相同，则a 的取值范围是 _,1(2 )_名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 30 函数ylog1(x24x12 )的单调递减区间是_(2,2)_331 函数ylog3(x22x3 )是单调增函数的区间是( (3 ,)D先减后增32 函数f(x)loga(a)1x1 在定义域上 (A) A 是增函数B是减函数C先增后减33 已知0a,10b1，如果alogb(x3 )1，则 x 的取值范围是 _(,34 )_A ）34 设偶函数f(x )loga|xb|在(0,)上单调递减，则f(b2)与f(a1 )的大小关系是（A. f(b2)f(a1 )B. f(b2 )f(a1 )C. f(b2)f(a1 )D. 不能确定35 函数ylg|x|（B ）A. 是偶函数，在区间(,0 )上单调递增B. 是偶函数，在区间(, 0)上单调递减C. 是奇函数，在区间(,0)上单调递增D. 是奇函数，在区间(,0)上单调递减36 已知函数f(x)lg(x1 ), 若0f( 12x)f(x)1，求 x 的取值范围；2 3x1 337 设f x ( )lg(12xa )是奇函数，则使f x ( )0的 x 的取值范围是（( 1,0)）38 若logm2logn20，那么m,n满足的关系（0nm1）39 三个数0 3,log3,1log13的大小关系是（30l o g 31l o g 13）3340 如果loga2logb20，那么下面不等关系式中正确的是( ab1 ) 41 设alog32,blog31,clog56，则a ,b ,c的大小关系 (cab) 242 若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是C （A）a1blog 2ab（B）blog2aba1ba 2a 2babc）（C）a1log2abb（D）log2aba1bb2aba 243若x(e1，alnx，b2lnx，cln3x，则a,b ,c的大小关系 （ b <a <c）44 若a20.5，blog 3，clog sin2，则a,b ,c的大小关系 （ abc）545 设alg , e b(lg2 e ) ,clge 则a ,b ,c的大小关系 acb46 设a,b,c均为正数， 且2alog1a，1blog1b，1clog2c. 则a,b ,c的大小关系 （222247 已知a5 log 3.4 2,blog 543.6,c1log 0.3 3,则a ,b ,c的大小关系acb548 若aln 2,bln 3,cln5,则a ,b,c的大小关系abc235第 8 页，共 16 页49 已知alog2,3blog34,clog45，比较a ,b ,c的大小关系abc名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 50 若1xd，令a(logdx)2，blogdx2，clogd(logdx)，则a ,b ,c的大小关系 ( bac)51 已知g(x )fx ex0,则gg(1)_1_.2 ）1 ，3）lnxx03352 已知函数log1x，x0，若fa1，则实数 a 的取值范围是（x3232x，x053 已知函数f(x )2x1,1x11, 若f(a)1, 则f( 1a)（log2(3x),x54 函数fxf3x2x22x2，若fa1, 则 a 的值是（ 2 ）log3x1(1)x，x4，则f(2log23 )_1 24_(x)55 已知函数2（ ），f x 1156 已知log log (log2x )0，那么x22 2 .1,log3557 设函数f x ( )1 log (2x x1, ,f( 2)f(log 12)( 9 ) x 21,x1,58 已知函数f(x )2x122)1x1，且f(a)3，则f(6a)=-7 4log(xx159 已知函数f x ( )x 313,x11，则满足不等式f m )f( ) 19的实数 m 的取值范围为logx,0x9360 已知函数f(x )2xxx1，若f(x)1，求 x 的值log 81x1第 9 页，共 16 页461 函数ylog2x4x(x2,4)的最大值是 _5_.log 262 若2log 3x1，则 x_1 _9463 若f(x)log3x1 )，使f(a)2，那么 a_10_ 64 若f(x)log3(x1 )2x1，使f(a)5，那么 a_2_65 已知函数f(x )log5x，求f(3)f(25)f(5)的值33266 已知函数f(x)log2x1 )，若f()1,则= 167 对数函数的图象过点(8,3)，则此函数的解析式为_f(x)log2x_名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 68 设 a 0 且 a 1，函数 y log a x 和 y log a 1的图象关于 ( A ) xA x 轴对称 By 轴对称 Cyx 对称 D原点对称69 已知函数 f ( x ) log 2 1 x 的图象关于原点对称，则实数 a 的值为 _1_a x70 已知函数 f ( x ) log 2 1 x2 xa 2 x 的图象关于原点对称，则实数 a 的值为 _1_a x71 函数 y lg 21 的图象关于（原点）对称1 x72 若 log a 2 1，则实数 a 的取值范围是 ( ( 1,0 ) ( 2 , ) )73 若 log a ( 4 a ) 1，则实数 a 的取值范围是 ( ( 0 1, ) ( 2 , 4 ) )74