无穷小与无穷大.doc

无穷小与无穷大 无穷小1无穷小量的定义定义：如果x x0 或x 时, 函数f (x) 的极限为零 ,那么把f (x) 叫做当x x0或x 时的无穷小量，简称无穷小。例如：因为，所以函数x-1是x1时的无穷小。因为，所以函数是当x1时的无穷小。因为，所以函数是当x时的无穷小。以零为极限的数列xn，称为当n时的无穷小， 都是n时的无穷小。注：不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在xx0或x时，极限仍为常数本身，并不是零。常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在xx0或x时，极限是零。在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数与仍是无穷小无穷多个无穷小之与不一定是无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。常数与无穷小的乘积仍是无穷小。无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。例1求解：，是有界函数， 而有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。03函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之与；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之与，那么该常数就是该函数的极限。4无穷小的比拟例：当x0时，x, 3x， x2, sinx, 都是无穷小。观察各极限： x2比3x要快得多 sinx 与x大致一样 sinx比x2慢的多 不存在 不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度是多样的。得到以下结论：设与都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小如果0，那么称是比高阶的无穷小如果，那么称是比低阶的无穷小如果kk0，那么称与是同阶的无穷小如果1，那么称与是等价无穷小，记为。例2比拟当x0时，无穷小与x2阶数的上下。解：因为所以 x2例3当x1时，无穷小1x与1-x3是否同阶，是否等价？解：故同阶但不等价。常用的等价无穷小：当x0时，sinx x ； arcsinx x ； tanx x ；arctanx x ； 1-cosx ，ln(1+x)x ; ex-1x ；(1+x)a1-ax无穷大1无穷大量的定义如果当x x0 或x 时, 函数f (x) 的绝对值无限增大,那么函数f (x) 叫做当x x0或x 时的无穷大量，简称无穷大。注：说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数是当x 0 时的无穷大，当x 时，它就不是无穷大，而是无穷小了。不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在xx0(或x)时极限为常数本身，并不是无穷大。2无穷小与无穷大的关系定理：在自变量的同一变化过程中，假设f(x)为无穷大，那么为无穷小；反之，假设f(x)为无穷小，且f(x)0，那么为无穷大。例4求解：当x1时，分母x2-5x+40，因此不能直接使用商的极限法那么，但f(x)的倒数的极限由无穷大与无穷小的关系可得15函数的连续性函数连续性的概念1函数的增量定义：在函数y=f (x)中，当x由x0初值变化到x1终值时，终值与初值之差x1-x0叫做自变量的增量或改变量，记为x= x1-x0.相应的，函数终值f (x)与初值 f (x0)之差y，叫做函数的增量。注意：增量x可正、可负；增量y可正、可负或为零。2函数y=f (x) 在x0的连续性先观察两个函数的图像的特点当x0时，y0。 当x0时，y不趋向于零。定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量x趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是或定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即那么就称函数f(x)在点x0处连续。函数f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：函数f(x)在点x0及其左右近旁有定义；存在；例5 试证函数，在x0处连续。证明：函数在x0及其左右近旁有定义 f(0)=0 函数在x0处连续。3函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数在区间(a，b内有定义，如果左极限存在且等于，即，就说函数在点b左连续。设函数在区间a，b内有定义，如果左极限存在且等于，即，就说函数在点a右连续。定理：函数在点x0处连续在点x0处既左连续又右连续在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。4复合函数的连续性设函数在点处连续，函数在点处连续，且，那么复合函数在点处连续，即例6 求解：原式可以推出：当时，152函数的连续点 函数在点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，那么称在点不连续或连续，并称点为的不连续点或者连续点。连续点的分类：第一类连续点：，但，或者无意义。不是第一类连续点的其他连续点都称为第二类连续点。 闭区间上连续函数的性质性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值。注意：假设区间是开区间，定理不一定成立。假设区间内有连续点，定理不一定成立。推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。性质2 如果函数在上连续，且0，那么至少存在一点(a,b)，使得。对于方程0，假设满足性质2中的条件，那么方程在(a,b)内至少存在一个实根，又称为函数的零点。例7 证明方程在区间0，1内至少有一个根。证明：设，在上是连续的，又因为10 20根据性质2，至少存在一点0，1，使即 从而证得方程在区间0，1内至少有一个根。判断命题是否正确：如果函数在上有定义，在(a,b)内连续，且0，那么 在(a,b)内必有零点。解答：不正确。例如函数在0，1内连续，·2e0，但在0，1内无零点。第 10 页