第讲等腰三角形与直角三角形.doc

第17讲 等腰三角形与直角三角形考点1 等腰三角形与等边三角形等腰三角形概念有两条边 的三角形是等腰三角形.性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有 条对称轴.2.性质1：等腰三角形的两底角 (简写成“等边对 ”).3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 相互重合(简写成“三线合一”).判定等角对 .等边三角形概念有 条边相等的三角形叫做等边三角形.性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；3.等边三角形是轴对称图形，共有 条对称轴.判定1.三个角都 的三角形是等边三角形；2.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.考点2 直角三角形概念有一个角是 的三角形叫做直角三角形.性质1.直角三角形的两个锐角 .2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 .4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的 等于斜边c的 ，即 =c2.判定1.有一个角是 或两个锐角 的三角形是直角三角形.2.如果三角形一边上的中线等于这条边的 ，那么这个三角形为直角三角形.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 等于第三边的 ，那么这个三角形是直角三角形.【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长. 1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部. 2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.命题点1 等腰三角形的性质与判定例1 (2019·丽水)如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，若AB=6，CD=4，则ABC的周长是20.【思路点拨】因为ABC是等腰三角形，利用三线合一可得BD=CD，即BC=2CD=8，从而求出ABC的周长.方法归纳：解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵由一推二.1.(2019·菏泽)如图，直线lmn，等边ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则的度数为( ) A.25° B.45° C.35° D.30°2.(2019·河南)在ABC中，按以下步骤作图：分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，B=25°，则ACB的度数为 .3.(2019·益阳)如图，将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得ACD，BC的中点E的对应点为F，则EAF的度数是 .命题点2 直角三角形例2 如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，E是AC中点，若DE5，求AB的长.【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线，利用直角三角形的性质可以求出AC的长，从而求出AB的长.【解答】方法归纳：若题中已知直角三角形的中线长时，通常利用直角三角形的性质来求边长.1.如图，在RtABC中，ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( ) A.20 B.10 C.5 D. 2.在RtABC中，A90°，B=60°，BC6.则AB的长为 .3.如图，ABC中，B=60°，C=30°，AM是BC边上的中线，且AM=4.求ABC的周长.(结果保留根号)命题点3 勾股定理例3 (2019·呼和浩特)如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30 m，BC=70 m，CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.【思路点拨】作一条高线CD，构造直角三角形，利用CAB=120°和AC=30 m求出CD和AD；然后在RtCDB中利用勾股定理求出DB的长.【解答】方法归纳：利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形，作垂线构造直角三角形是解决这类问题的关键.1.(2019·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A.4，5，6 B.1.5，2，2.5 C.2，3，4 D.1，32.(2019·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米3.(2019·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为12，则较长的对角线长度是 cm.4.某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长BC=20 cm，宽AB=16 cm的矩形纸片ABCD，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据步骤解答下列问题：(1)找出图中FEC的余角；(2)计算EC的长.第1课时 基础训练1.(2019·毕节)已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )A.16 B.20或16 C.20 D.122.(2019·成都)如图，在ABC中，B=C，AB=5，则AC的长为( )A.2 B.3 C.4 D.53.(2019·宜昌)如图，在ABC中，AB=AC，A=30°,以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则ABD=( )A.30° B.45° C.60° D.90°4.已知：如图，lm，等边ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则的度数为( )A.60° B.45° C.40° D.30°5.如图所示，在RtABC中，C=90°,A=30°,BD是ABC的平分线，CD=5 cm,则AB的长为( )A.5 cm B. cm C.10 cm D. cm6.(2019·南充)如图，在ABC中，ABAC，且D为BC上一点，CDAD，ABBD，则B的度数为( )A.30° B.36° C.40° D.45°7.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm8.(2019·乐山)如图，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D.则CD的长为( )A. B. C. D. 9.(2019·绵阳)如图，AC、BD相交于O，ABDC，AB=BC，D=40°，ACB=35°，则AOD= .10.(2019·聊城)如图，在等边ABC中，AB=6，点D是BC的中点.将ABD绕点A旋转后得到ACE，那么线段DE的长度为 .11.(2019·黔西南)如图，ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 度.12.(2019·桂林)如图，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，则AE= .13.(2019·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 .14.(2019·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.(=1.4)15.(2019·衡阳)如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F.求证：BEDCFD.16.(2019·菏泽)在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB5，求线段DE的长.17.已知：如图，在RtABC中，BAC=90°,点D在BC边上，且ABD是等边三角形.若AB=2,求ABC的周长.(结果保留根号)18.(2019·襄阳)如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.19.如图1，ABC中，ABC、ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F.(1)请写出图1中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由.(2)如图2，ABC中ABC的平分线与ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F.这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由.第2课时 能力训练1.等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 .2.已知等腰ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，则ABC底角的度数为( )A.45° B.75° C.45°或15°或75° D.60°3.(2019·荆门)如图，在第1个A1BC中，B30°，A1BCB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3A2E，得到第3个A2A3E，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( )A.()n·75° B.()n-1·65° C.()n-1·75° D.()n·85°4.(2019·荆门)如图1，正方形ABCD的边AB、AD分别在等腰直角AEF的腰AE、AF上，点C在AEF内，则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度(0°<<90°)后，连接BE、DF.请在图2中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？请说明理由.5.(2019·自贡)如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BEBF，EF与BC交于点G.(1)求证：AECF；(2)若ABE55°，求EGC的大小.6.(2019·泰安)如图ABC90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：FMC=FCM;(2)AD与MC垂直吗？并说明理由.7.(2019·牡丹江)在ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向ABC外作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.8.某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析.如图所示，在讨论中得到了B=C=60°，B、F、H、C都在线段BC上，EFGHAC，PHGFAB的正确结论.接着又有两位同学各自提出了如下一个结论：甲：ABC、BEF、FGH、HPC均为等边三角形.乙：线路BAC与线路BEFGHPC一样长.(1)请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确？(2)将(1)中你认为正确的结论给予证明.9.(2019·河南)(1)问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为 ；线段AD、BE之间的数量关系是 .(2)拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE.请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.10.如图1，在ABC中，AEBC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC.(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由.(2)如图2，若将DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由.(3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由.你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由.参考答案考点解读相等 一 相等 等角 中线 高 等边 三 60° 三相等 60° 直角 互余 一半 一半 平方和 平方 a2+b2直角 互余 一半 平方和 平方各个击破例1 20题组训练 1.C 2.105° 3.60°例2 ADBC，E是AC中点，DE5，AC=2DE=10.AB=AC，AB=10.题组训练 1.C 2.33.B=60°，C=30°，CAB=180°-B-C=90°.又AM是BC边上的中线，AM=BC.又AM=4，BC=2AM=8.在RtABC中，C=30°，AB=BC=4，AC=4.ABC的周长为AB+BC+AC=12+4.例3 过点C作CDAB，垂足为D.AC=30 m，CAB=120°，AD=15 m，则CD=15 m.在RtBDC中，BD=65(m)，AB=BD-AD=65-15=50(m).题组训练 1.B 2.B 3.4.(1)CFE、BAF.(2)设EC=x cm.则EF=DE=(16-x)cm，AF=AD=20 cm.在RtABF中，BF=12 cm，FC=BC-BF=20-12=8(cm).在RtEFC中，EF2=FC2+EC2，(16-x)2=82+x2，解得x=6.EC的长为6 cm.整合集训第1课时 基础训练1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.C 9.75° 10. 11.15 12.3 13.10 14.1715.证明：DEAB，DFAC，BED=CFD=90°.AB=AC，B=C.在BED和CFD中，BEDCFD.16.AD平分BAC，EADCAD.DEAC，CADADE，EADADE，AEDE.BDAD，ADB=90°，EADABD90°，ADEBDEADB=90°，ABDBDE.DEBE，DEAB×52.5.17.ABD是等边三角形，B=60°.在RtBAC中，C=30°，AB=2，BC=2AB=4，AC=2,ABC的周长为AB+BC+AC=2+4+2=6+2.18.(1)；.(2)选证明如下，证明：OB=OC，OBC=OCB.又EBO=DCO，ABC=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB，ABC=ACB，AB=AC，即ABC是等腰三角形.19.(1)EF=BE+CF.理由如下：OB平分ABC，ABO=OBC.EFBC，EOB=OBC，ABO=EOB，EO=BE.同理可证：OF=CF.EF=BE+CF.(2)EF=BE-CF.理由如下：理由：OB平分ABC，ABO=OBC.EFBC，EOB=OBC,ABO=EOB.EO=BE.同理可得：OF=CF.EF=OE-OF=BE-CF.第2课时 能力训练1.8或或 2.C 3.C4.补全图形如图所示.DF=BE还成立，理由是：正方形ABCD和等腰AEF，AD=AB,AF=AE,FAE=DAB=90°.FAD=EAB.在ADF和ABE中，ADFABE(SAS)，DF=BE.5.(1)证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC90°.BEBF，EBF90°，ABECBF.AB=BC，ABECBF，BEBF，ABECBF,AECF.(2)BEBF，EBF90°，BEF45°.ABC90°，ABE55°，GBE35°,EGCGBE+BEF80°.6.（1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，DFAE,DF=AF=EF.又ABC=90°，DCF,AMF都与MAC互余，DCF=AMF.又DFCAFM90°，DFCAFM.CF=MF,FMC=FCM.(2)ADMC.理由如下：由(1)知MFC=90°,FD=FE,FM=FC，FDE=FMC=45°,DECM，ADMC.7.AC=4，BC=2，AB=2，AC2+BC2=AB2，即ACB为直角三角形，且ACB=90°.分三种情况：如图1，过点D作DECB，垂足为点E.易证ACBBED，易得CD=2.如图2，过点D作DECA，垂足为点E.易证ACBDEA，易得CD=2.如图3，过点D作DECB，垂足为点E，过点A作AFDE，垂足为点F.易证AFDDEB，易得CD=3.8.(1)甲、乙的结论都正确.(2)证明：甲的结论：B=C=60°，则A=60°.ABC是等边三角形.又EFAC，EFB=60°，B=60°，则BEF=60°.BEF是等边三角形，同理可证FGH、HPC是等边三角形.乙的结论：BEF、FGH、HPC都是等边三角形，BE+EF=2BF，FG+GH=2FH，HP+PC=2HC，BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC.又ABC为等边三角形，AB+AC=2BC，AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC.即甲、乙的结论都正确.9.(1)60°AD=BE.(2)AEB90°；AE=2CM+BE.理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90°,AC=BC,CD=CE,ACB-DCB=DCE-DCB,即ACD=BCE,ACDBCE,AD=BE,BEC=ADC=135°,AEB=BEC-CED=135°-45°=90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，CM=DM=ME,DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE.10.(1)BD与AC的位置关系是：BDAC，数量关系是BD=AC.理由如下：如图1，延长BD交AC于点F.AEBC于E，BED=AEC=90°.又AE=BE，DE=CE，DBECAE，BD=AC，DBE=CAE，BDE=ACE.BDE=ADF,ADF=ACE.ACE+CAE=90°，ADF+CAE=90°，BDAC.(2)如图2，AEB=DEC=90°，AEB+AED=DEC+AED，即BED=AEC.AE=BE，DE=CE，BEDAEC,BD=AC，BDE=ACE，DBE=CAE.BFC=ACD+CDE+BDE=ACD+CDE+ACE=90°，BDAC.(3)BD与AC的数量关系是：BD=AC.ABE和DCE是等边三角形,AEB=ABE=60°，AE=BE，DEC=DCE=60°，DE=CE，AEB+AED=DEC+AED，即BED=AEC,BEDAEC.BD=AC.BD与AC的夹角度数为60°或120°.新课标第一网系列资料 第 15 页