线性代数第四章习题-答案~.doc

|习题四答案(A)1 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) (2) 312(3) (4) 021034(5) (6)145321解 （1）矩阵 的特征多项式为A，E)4(21所以 的特征值为 4,21对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解1XAE)2(O系为 ，所以 的属于特征值 2 的全部特征向量为 (),(TA)1,(1kT为任意常数)01k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解42XAE)4(O系为 ，所以 的属于特征值 4 的全部特征向量为),(TA )1,(2k( 为任意常数)T02k（2）矩阵 的特征多项式为|，AE )3(1)(121所以 的特征值为 ， ， 13对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础1XAE)(O解系为 ，所以 的属于特征值-1 的全部特征向量为)0,(TA( 为任意常数)1k1k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解2XE)(O系为 ，所以 的属于特征值 1 的全部特征向量为),(TA( 为任意常数)12k02k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解3XAE)3(O系为 ，所以 的属于特征值 3 的全部特征向量为),0(TA( 为任意常数)13k03k(3) 矩阵 的特征多项式为，AE )4(1)2(201所以 的特征值为 ， ， A143对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解系1XAE)(O为 ，所以 的属于特征值 1 的全部特征向量为)2,(TA( 为任意常数)1k01k|对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解42XAE)4(O系为 ，所以 的属于特征值 4 的全部特征向量为)1,(TA( 为任意常数)2k02k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基3 XAE)2(O础解系为 ，所以 的属于特征值-2 的全部特征向量为),1(TA( 为任意常数)2,3k03k(4)矩阵 的特征多项式为A，E )3(121342所以 的特征值为 （二重） ， A2,13对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解2,1XAE)(O系为 ，所以 的属于特征值 1 的全部特征向量为)(TA( 为任意常数),1k01k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解23XAE)2(O系为 ，所以 的属于特征值 2 的全部特征向量为),0(TA( 为任意常数)12k02k(5)矩阵 的特征多项式为，AE2)(1324所以 的特征值为 ， （二重） A0123,|对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解01XAE)0(O系为 ，所以 的属于特征值 0 的全部特征向量为)2,(TA( 为任意常数)1k1k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础3,2XAE)2(O解系为 ，所以 的属于特征值 2 的全部特征向量为)0(TA2k( 为任意常数),12k2k(6)矩阵 的特征多项式为A，E )3(121342所以 的特征值为 ， （二重） A613,2对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础解1XAE)6(O系为 ，所以 的属于特征值 6 的全部特征向量为),2(TA( 为任意常数)31k01k对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础,2XAE)2(O解系为 ， ，所以 的属于特征值 2 的全部特征向)(T),(3T量为 ( 为不全为零的任意常数)32k0,1(213k32,k2 设 为 阶矩阵，An(1) 若 ，且存在正整数 ，使得 ( 称为幂零矩阵) ，证明: 的OkOAkA特征值全为零；(2) 若 满足 ( 称为幂等矩阵 )，证明: 的特征值只能是 0 或 1；2|(3) 若 满足 ( 称为周期矩阵 )，证明: 的特征值只能是 1 或 AE2 A证明：设矩阵 的特征值为 ，对应的特征向量为 ，即 .（1）因 ，而 故 .又因 ，故 ，得k,OAkkO0k.0（2）因 ，而 故 ，即2A,2 2A又因 ，故 ，得 或 1.)(O0（3）同（2）可得 ，即 又因 ，2A.)1(2O故 ，得 或 .0113 设 分别为 阶矩阵 的属于不同特征值 和 的特征向量，证明:2,n12不是 的特征向量21A证明：反证法.若 是 的特征向量，相应的特征值为 ，则有21A，)()(2121即 .又因 分别为矩阵 的属于特征值 和 的2121A,A12特征向量，即 ， ，则2A，即 .121O21)()(因 是矩阵 的属于不同特征值的特征向量,故 线性无关，于是可得21,，即 ，矛盾.02214 证明定理 4.4.若 是 阶矩阵 的特征值，则nA(1)设 ，则 是 的特征值，其中mxaaxf10)( )(fAf；EAf10)( (N|(2)若 可逆，则 ，且 是 的特征值， 是 的伴随矩阵 的A01A|A*特征值证明：设矩阵 属于特征值 的特征向量为 ，即 .（1）因 )()()10 10faa af mm 故 是 的特征值.)(fAf（2）因 可逆，故 .而 为 的特征值之积，故 的特征值 .用|AA0左乘 两端得1.111因 ，故 ，即 是 的特征值.01AA因 ，故 是 的伴随矩阵 的特征值*| *5 证明:矩阵 可逆的充分必要条件是 的特征值全不等于零证明：因矩阵 可逆，故 .由 是 的全部特0|nn,(|11A征值）得 ，故 .01n ),(ii6 已知三阶矩阵 的特征值为 1，2，3，求 的特征A*12,3E值解：由矩阵的特征值的性质得的特征值为 ， ， ；A32412102182的特征值为 ；1E34,因 的特征值为 .62|*A26,17 是三阶矩阵，已知 ，求0|,|0| AEE|4|AE解：因 ，故三阶,0|)1(|3AE0|3|,2| AE矩阵 的全部特征值为1，2，3.因此 的特征值为4于是 .,74,6,3)(4 1267|8 已知向量 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量，)1,(kT21A1A求常数 的值k解：因 是 的特征向量，故也是 的特征向量.设对应的特征值为 ，于1A 是由 可得，21k解得 或 .2k19 证明:如果矩阵 可逆，则 ABA证明：因 ，且 可逆，则 B)()(1 BA10 如果 ，证明：存在可逆矩阵 ，使得 PP证明：因 ，故存在可逆矩阵 ，使得 .将上式两端右乘，1得 ，即 .PAP)(11B11 如果 ， ，证明: BDCDOC证明：因 ， ，故存在可逆矩阵 ，使得QP,.A11,于是有|. DOBQPCOAPQOCAP11而 可逆，故 .QODB12 已知 为二阶矩阵，且 ，证明: 存在可逆矩阵 ，使得A0|AP为对角矩阵AP1证明： 为二阶矩阵，且 ，故 必有两个不等特征值，因此必存在可|逆矩阵 ，使得 为对角矩阵113 已知矩阵 与矩阵 相似，求xA402121yB(1) 常数 和 的值；xy(2) 可逆矩阵 ，使得 P1解：（1）因 ，故 有相同的特征值.而 的特征值为 ，故BA与B2,1y1，2 也是 的特征值.而.E 4)2()(14020 xx将 代入上式中得 .于是可得 ，故有13)1(2AE的特征值为 ，因此 .A2,y（2）由（1）知 的特征值为 ， （二重） A123,对应 的无关特征向量为 ，对应 的无关特征向)0(T3,量为 ， ，令)0,4(2T)4,(3T|，401P则 可逆，且 .PBA114 设三阶矩阵 的特征值为 1， 2， 3， 对应的特征向量分别为 )1,(， ， ，求(1) ；(2) T),0(T),(TnA解：（1）令 ，则 .而10P321P01P则 .412321PA（2）因 ，所以 ，故311PA 1032101 nnPA.123nnn15 判断第 1 题中各矩阵是否可以对角化?若可以对角化，求出可逆矩阵 ，P使得 为对角阵AP1解：由第 1 题结果知|(1) 可以对角化， ；1P(2) 可以对角化， ；0(3) 可以对角化， ；21P(4) (5) 不可以对角化；(6) 可以对角化， 10316 证明正交矩阵的实特征值只能是 1 或 证明：设 为正交矩阵，则 .设矩阵 的特征值为 ，对AATEA应的特征向量为 ，即 .将上式两端取转置得 .将上面两TT式左右相乘得 ，即 .而 为非零常数，故TT2T2.1,217 设 ，求正交矩阵 ，使得 为对角阵APA1解：矩阵 的特征多项式为，E)3(112所以 的特征值为 （二重） ， A02,13对于 ，解对应齐次线性方程组 ，可得它的一个基础2,1XAE)0(O