2022年高等数学函数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数 讨论对象本章内容极限 讨论方法分析基础连续 讨论桥梁§1 函数本节内容 : 一、邻域二、函数的概念三、基本初等函数四、复合函数名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载五、初等函数一、邻域1. 定义 1: 设aR,R , 就a,a第 2 页,共 21 页U a ,x|xa|aU a ,点 a的邻域的中心 , U a ,的半径 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2. 定义 2:U a , x0|xa|a, , a a点 a的去心邻域二、函数的概念f 定义在 D 上的函数 ; x自变量 ; D定义域 ; y因变量 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x0 x0处的函数值 ; 精品资料欢迎下载y yf x,xD 值域 . W留意 : 函数的两个要素 定义域和对应法就 . 补例 1 求以下函数的定义域 . 1 y11; 2 ylnx12. x2三、基本初等函数名师归纳总结 基本初等函数指以下5 类: 第 4 页,共 21 页幂函数yx是常数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 指数函数y精品资料欢迎下载arccotxaxa 是常数,a0 ,a1 对数函数ylog ax a 是常数,a0,a1 三角函数ysin , x ycos , x ytanx ycot ,ysec , x ycsc x反三角函数yarcsin , x yarccos , x yarctanx y一 幂函数1. 幂函数的定义 : 名师归纳总结 yxR第 5 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2. 幂函数的图形与性质 : yyx3yx2y1y1 xy xx21x1O 1O图 1-1 图 1-2 a 取不同值 , 幂函数的定义域与值域均可能不同 ; b 对任意 , 函数图形都过点 1,1; 当 0时, 图形过点 0,0 和1,1; 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - c 当0时, 幂函数在 0,精品资料欢迎下载为单调递增函数 ; 而0时, 幂函数在 0,为单调递减函数 ; d 幂函数为无界函数 . 3. 幂函数的运算性质 : a aaa; ab aa; c aa; ad a b b . 二 指数函数名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1. 指数函数的定义 : yaxa0,且a1;xR2. 指数函数的图形与性质 : a 定义域为 R, 值域为 R ; ; yyy2xb a不论取何值 , 函数图形都过点 0,1 ; c 当a1 时, 指数函数为单调递增函数, 1 x而 0a1时, 指数函数为单调递减函数O 图 1-3 1xd 指数函数为无界函数; 第 8 页,共 21 页e 指数函数是非奇非偶函数. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3. 指数函数的运算性质 : 与幂函数的运算性质相像 , 略. 三 对数函数 1. 对数函数的定义 : ylog axa0,且a1;x0,y1ylog2x其中 a底数 . 一种特别对数 : ylnx. 12. 对数函数的图形与性质 : Olog1 2xxa 定义域为 R , 值域为 R; y名师归纳总结 图 1-4 第 9 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载b a不论取何值 , 函数图形都过点 1,0 ; c 当 a 1 时, 对数函数为单调递增函数 ; 而 0 a 1 时, 对数函数为单调递减函数 ; d 对数函数为无界函数 ; e 对数函数是非奇非偶函数 . 3. 对数函数的运算性质 : a log uv log aulog av; 第 10 页,共 21 页b log au vlog aulog av; 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c log auvvlog au; 精品资料欢迎下载xln lnx a. d log a四 三角函数1. ysin , x ycos x: ycos x余弦函数. 第 11 页,共 21 页ysinx正弦 函数 ; 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ysin , x y精品资料欢迎下载2yy2cosxxcos x的图形与性质 : yysinx211O1O2x1图 1-5 a 定义域均为 R, 值域均为 1,1; b ysin , x ycos x均为非单调函数 ; 第 12 页,共 21 页yc sin , x ycos x均为有界函数 ; yd sinx为奇函数 , ycos x为偶函数 ; 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - e y精品资料欢迎下载cotx 余切 函数. xxsin , x ycos x均为周期函数 .2. ytanx ycotx: ytanx正切函数 ; yytanx ycotx的图形与性质 : yycotyytanx2O23 2x2O2图 1-6 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - a ytanx定义域为Rk精品资料欢迎下载cotx定义域为Rk, 1 , y2值域均为 R; b ytan , x ycotx均为非单调函数 ; 第 14 页,共 21 页c ytanx ycotx均为无界函数 ; d ytan , x ycotx均为奇函数 ; e ytanx ycotx均为周期函数 . 3. ysec ,ycsc x: ysec x1 cos x正割 函数; 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ycsc x1精品资料欢迎下载x余割函数 . sin五 反三角函数1. yarcsinx yarccosx: x反余弦 函数. 第 15 页,共 21 页yarcsinx反正弦 函数 ; yarccosyarcsinx yarccosx的图形与性质 : 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yyarcsinx精品资料欢迎下载y21O21x12yarccosxO1x图 1-7 a yarcsinx yarccosx定义域均为 1,1, b yarcsinx的值域为 2,2, yarccos x的值域为 0,; yarcsinx yarccosx均为单调函数 ; 第 16 页,共 21 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载第 17 页,共 21 页c yarcsinx yarccosx均为有界函数 ; d yarcsinx为奇函数 , yarccos x为非奇非偶函数 . 2. yarctanx yarccotx: yarctanx反正切 函数 ; yarccotx反余切 函数. yarctanx yarccotx的图形与性质 : 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a yyarctanx精品资料欢迎下载yxx2yarccot1O1x221O1图 1-8 yarctanx yarccotx的定义域均为 R, yarctanx的值域为 2,2, yarccotx的值域为 0,; 第 18 页,共 21 页b yarctanx yarccotx均为单调函数 ; c yarctanx yarccotx均为有界函数 ; 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d yarctanx为奇函数 , y精品资料欢迎下载arccotx为非奇非偶函数 . 四、复合函数设ylnu, utanx, 就ylntanx . 1. 定义: 设有函数链yf u ,uD 1第 19 页,共 21 页u ,xD 2, 就且D2D 1函数yf x 称为由yf u 及u x 复合而成的 复合函数 , 其中 u称为中间变量 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2. 写出以下复合函数的复合过程, 并求其定义域 . 1yarctanx2 ; 2ysinx2 ; 3ysin 2. 五、初等函数1.定义: 由常数及基本初等函数经过有限次四就运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数 . 如: ysinxlnx, y11, ylnx12,. x2摸索题 : y|x 是否是初等函数 . 小结: 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载邻域的定义 ; 函数的定义及定义域 ; 五类基本初等函数的图形与性质; ; 复合函数的定义与复合函数的分解初等函数的定义 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页