2023年高一数学集合与函数知识点总结.doc

高中课程复习专题数学集合与函数专题一、集合相关概念1、集合中元素的特性 元素的拟定性：组成集合的元素必须是拟定的。 元素的互异性：集合中不得有反复的元素。 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。2、集合的表达方法 列举法：将集合中元素一一列出。 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。 解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。 图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。3、集中特殊数集的表达方法 自然数集： N 正整数集：N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 空集：二、集合间的基本关系子集与真子集1、自反性任何一个集合都是它自身的子集：AA。2、假如AB 且 AB，则，A是B的真子集。3、传递性：假如AB，BC，则AC。4、假如AB且BA，则A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n 个元素的集合，有 2n 个子集，有2n-1 个真子集。三、集合间的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集（AB）。即AB=xxA且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集（AB）。即AB=xxA或xB设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中不属于A的元素组成的集合称为S中A的补集（CSA）。即CSA = xxS且xA 图示性质AA=AA=AB=BAABAABBAA=AA=AAB=BAAABBABCSA CSB= CS（AB）CSACSB= CS（AB）ACSA=SACSA=四、函数的相关概念 1、函数：设A、B为非空集合，假如按照某个特定的相应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一拟定的数f(x)和它相应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，xA，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相相应的y的值叫做函数值，函数值的集合B=f(x)xA 叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思绪： 若x处在分母位置，则分母x不能为0。 偶次方根的被开方数不小于0。 对数式的真数必须大于0。 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 指数为0时，底数不得为0。 假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都故意义的x值组成的集合。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题故意义。3、相同函数 表达式相同：与表达自变量和函数值的字母无关。 定义域一致，相应法则一致。4、函数值域的求法 观测法：合用于初等函数及一些简朴的由初等函数通过四则运算得到的函数。 图像法：合用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 配方法：重要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2 +b 的形式。 代换法：重要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。5、函数图像的变换 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 伸缩变换：在x前加上系数。 对称变换：高中阶段不作规定。6、映射：设A、B是两个非空集合，假如按某一个拟定的相应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的拟定的y与之相应，那么就称相应f：AB为从集合A到集合B的映射。 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 集合A中的不同元素，在集合B中相应的象可以是同一个。 不规定集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。7、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 各部分自变量和函数值的取值范围不同。 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函数：假如（uM），u=g(x) （xA）,则，y=fg(x)=F(x) （xA），称为f、g的复合函数。五、函数的性质 1、函数的局部性质单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，假如相应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在区间D上是增函数，D是函数y=f(x)的单调递增区间；当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。 函数区间单调性的判断思绪 在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2D，且x1< x2。 做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。 判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。 复合函数的单调性 复合函数y=fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”；多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。 注意事项 函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，假如函数在区间A和B上都递增，则表达为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表达为AB。 2、函数的整体性质奇偶性 对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(-x)，则f(x)就为偶函数； 对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =-f(x)，则f(x)就为奇函数。 奇函数和偶函数的性质 无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。 函数奇偶性判断思绪 先拟定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。 拟定f(x) 和f(-x)的关系： 若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，则函数为偶函数； 若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，则函数为奇函数。 3、函数的最值问题 对于二次函数，运用配方法，将函数化为y=(x-a)2 +b的形式，得出函数的最大值或最小值。 对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观测最值。 关于二次函数在闭区间的最值问题 判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接，若不在区间内，则接。 若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值；后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。 若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性 若函数在a，b上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b)；若函数在a，b上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。六、指数和对数 1、指数的性质 根式：假如xn=a，则x叫做a的n次方根，记作 （n>1，nN+） 负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0。 当n为奇数时=a ，当n是偶数时= a 分数指数幂 = （a>0，m、nN+，n>1） 负指数幂 = （a>0，m、nN+，n>1） 0的正分数指数幂为0,0的负指数幂没故意义。 实数指数幂的运算性质ar as = ar+s (a>0，r、sR)(ar)s = ars (a>0，r、sR)(ab)r = arbr (a、b>0，rR) 2、对数的性质 对数：假如ax=N (a>0，a1)，那么，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中a为底数，N为真数。 注意底数a的取值范围：a>0且a1。 常数对数：以10为底的对数 lgN； 自然对数：以e=2.71828为底的对数lnN。 对数的运算性质：假如a>0且a1，M>0，N>0loga(MN)=logaM + logaNloga=logaM logaN logaMn = nlogaM (NR) 对数的换底公式 logab = logcb / logca (a>0且a1, c>0且c1，b>0) 则 = logab = 1/ logba七、基本初等函数 1、指数函数：函数y=ax (a>0且a1)叫做指数函数a 的取值a>10<a<1图像定义域xRxR值域y(0，+)y(0，+)单调性全定义域单调递增全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点（0,1）（0,1）注意： 由函数的单调性可以看出，在闭区间a,b上，指数函数的最值为： a>1时，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1时，最小值f(b)，最大值f(a)。 对于任意指数函数y=ax (a>0且a1)，都有f(1)=a。 2、对数函数：函数y=logax(a>0且a1)，叫做对数函数a 的取值a>10<a<1图像定义域x(0，+)x(0，+)值域yRyR单调性全定义域单调递全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点(1,0)(1,0) 3、幂函数：函数y=xa (aR)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。 所有幂函数都在(0，+)区间内有定义，并且过定点(1,1)。 a>0时，幂函数图像过原点，且在(0，+)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。 a<0时，幂函数在(0，+)区间为减函数。 当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴； 当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。幂函数总图