概率论与-数理统计题库-(1~).doc

|一、 事件的关系与运算1、设 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为（ A A）（A） “甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B） “甲种产品滞销”.（C ） “乙种产品畅销 ”. （D） “甲种产品滞销，乙种产品畅销”.二、 五大公式：1、已知事件 ， 有概率 ， ，条件概率 ，B4.0)(AP5.0)( 3.0)|(ABP则 0.62 )(AP1、已知事件 ， 有概率 ， ，条件概率 ，.)(.)(B.)|(则 0.78 ；)(B1、已知事件 ， 有概率 ，条件概率 ，则 A4.0)(AP3.0)|(AP)(BAP0.28 ；1、设 、 、 是三个事件，C， ， ，则3/1)()(BP)()(CB4/1)(B3/4（或 0.75） ；A1、设 、 、 是三个事件， ， ， ，则4/1)(AP3/)(A2/)(P1/3 ；)(BP1、设 、 是两个随机事件，且“一”A“一”B， ， ，则 发4/)(3/1)(2/1)(AP一”“一C生的概率为 1/3 ；1、已知 ， ， ，则4/)()(CBAP0)(B6/1)()(BCPA5/12 ；1、设 、 是两个随机事件，且“一”“一”， ， ，则 发生的4/3)(AP3/2)(AB2/1)(BP“一”C概率为 ；1设事件 、 互不相容， ， ，则p)(q)()(BAP|（A） . （B） . （C） . （D） . （ D ）qp)1(pqqp1、若 ，则 （ C ）60)(,40)(,5BAPP)(ABP(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；1、若 ，则 （ C ）2/1)(,3/1)(,/1)(A)(A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；1、 从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语 CET4 培训班集中培训后能超过 425分的概率为 0.8，不参加培训而能超过 425 分的概率为 0.4。假如这次有 70%的同学参加了培训。（1 ）任取我们班一名同学，求该同学超过 425 分的概率？（2 ）如果一名同学得分超过 425 分，则他参加过培训的概率有多大？解：设事件 =“参加培训” ， =“英语 CET4 成绩超过 425 分” ，则AB， ， ，所以8.0)(BP8.0)(4.0)(AP7.0)(3.)(AP（1 ） 。6848（2 ） 。2359.06.7)()(BPA1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占 5%、4%、2%。问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？解：设 表示“螺丝钉由甲台机器生产” ， 表示“螺丝钉由乙台机器生产” ， 1A2A表示“螺丝钉由丙台机器生产” ， 表示“螺丝钉不合格” 。3 B（1）由全概率公式 )()()()( 332211 ABPPP=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； （5 分）（2）由贝叶斯公式 （3 分）6219.0345.0)()(11 BPAA1、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为 0.15。有 0.9 的把握确定朋友会记得换水。问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？解：设 表示“朋友换水” ， 表示“金鱼还活着” ，则 ，AB9.0)(AP|， ， ， ，1.0)(AP85.01.)(B15.0)(ABP2.0)(ABP，8（1）由全概率公式 )()()(P=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785； （5 分）（2）由贝叶斯公式 （8 分）37209.85.01)()( BPAA1、 已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 A“任取一产品，经检验认为是合格品” （2 ）B“任取一产品确是合格品”则（1） ()(|)(|)PABP （3 ）0.95.102.857（2） ()9(|). （2 ）1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现 1，2 ，3 点则选甲盒，若出现 4 点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求：（1 ）取出的球是白球的概率；（2 ）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。解：设 =“选中的为甲盒” ， =“选中的为乙盒” ， =“选中的为丙盒” ，AAC=“取出一球为白球” ，已知D312(),(),()66PBP， (3 分)12(|),(|,|3PDBC（1 ）由全概率公式 (2 分)31234)669（2 ）由 Bayes 公式 (2 分)(|)489PA|1、发报台分别以 0.6 和 0.4 的概率发出信号“·” 和“” ，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·” ，而是分别以概率 0.8和 0.2 收到信号“·”和“” ，同样当发出信号“”时，收报台分别以概率 0.9 和 0.1 收到信号“”和“·” ，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。解：设 =“发出信号 ”， =“发出信号 ”， =“收到信号ABC·”，已知 ， ， ， 6.0)(P4.0)(8.0)(ACP1.0)(B(3 分)（1）由全概率公式 (2 分)52.1.6.)()( BAC（2）由 Bayes 公式 (2 分)3.08)(CPA三、 三大概型( 古典、几何、伯努利)2、设 10 件中有 3 件是次品。今从中随机地取 3 件，则这三件产品中至少有 1件是次品的概率为 ；)24/17(/1307一C2、已知 10 件产品中由 2 件次品，在其中任取 2 次，每次任取一件，作不放回抽样，则其中一件是正品，一件是次品的概率为 16/45 ；1、同时抛掷 3 枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为（ C ）(A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8；1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则在第 4 次p射击时恰好第 2 次命中目标的概率为（ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) ；2)(4p22)1(3p2)1(p3)1(1、袋中有 5 个球（3 个红球，2 个白球） ，每次取 1 个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) ；4032、已知某型电子器件寿命 (以天计) 的概率密度函数为 X.10,)(2xf（1）求 的分布函数 ).(xF（2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取 10 只，以 表示寿命大于 15 天的Y器件的只数，求 的分布律。|解：（1）因为 当 时， ，当 时，10x0)(xdF1x，故 （4 分）dxxF100)(121 .,1)(x（2 ）因为任意一只器件寿命 大于 15 天的概率为 ，X32)15(Fp又各器件损坏与否相互独立，所以 服从 ，概率分布律为Y)32,0(b（8 分）.1,31200kkXPk2、已知随机变量 的概率密度函数为 .,0,cos1)(一xxf（1）求 的分布函数X).(xF（2）现对 独立地重复观察 4 次，以表示大于 的次数，求 的分布律。Y6/Y解：（1）因为 当 时， ，当 时，0x0)(xdx，当 ， ，故2sini2cos10)( 0dxdxF 1)(F（4 分）.1,sin)(x一一（2 ）因为 大于 的概率为 ，所以 服从X6/ )12/sin()6/(1FpY，概率分布律为 )/sin(,4b（4 分）.4,30,)2/sin()/si(1 4kkPk四、 一维随机变量的分布及性质5设随机变量 ，令 ，则 的分布律为)2,1(UX.0,1XYY321kpX|4、随机变量 X 的分布函数是 ，则 X 的分布律是 xxF3,16.01,4)(， 0.4 ；4.02.31kp)1(P9、设随机变量 的概率密度为 ，令 ，则 的分布律X.1,0,)(2xf .4,2,1XYY为 ；4132kpY4、随机变量 的分布函数是 ，则 0.4 XxxF3,18.01,6)( )3(XP；2设离散型随机变量 的分布律为 ， 且 ，则参数XkXP,210（A） （B ） （C） （D）不能确定 （ C ）112、设离散型随机变量 的分布律为 ， ，则参数 （ XkXP,21D ）(A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；3、设连续型随机变量 的概率密度为 ，则参数 （ xAxf,1)(2 AD ）(A) 0 ； (B) 1； (C) ； (D) ；/2、设随机变量 的概率分布律为 ，则参数X ,21,0kbkXPk（ C）(A) 的任意实数； (B) ； (C) ；(D) ；01b五、 连续型概率密度与分布函数的相关计算|5、连续型随机变量的分布函数为 ，则概率密度函数为0,1)(xexF；0,)(xexf4、随机变量 的分布函数是 ，则随机变量 的概率密度X.1,0,)(2xFX函数为 ；.,0,12)(其 他 xxf4、随机变量 的分布函数是 ，则随机变量 的概率密度X.1,0,)(xFX函数为 ；.,0,1),2/(1)一xxf5、设随机变量的概率密度为 ，若 ，.,0,14)(3一xf aXP则 ；a42/17、随机变量 在 内服从均匀分布，则关于 的方程K)5,0( x有实根的概率为_3/5（或 0.6）_；42x3、 随机变量 的概率密度为X1,02,().axf其 它求（1）常数 a； （2） 的分布函数 ； （3）X)(F)31(XP解：（1）因为 ，所以 . （3 分）)()(0dxdxf 2/a（2）因为 （4 分） .2,1,0,.2,10,)(,)()( 20 xxdtdtfxFx（3 ）因为 为连续型随机变量， 。或X 41)()3(FXP|3211(1)()()4xPxfxdd（4 分）2、随机变量 的概率密度为X，xAefx,)(求（1）常数 ； （2） ； （3） 的分布函数 。A10XPX)(xF解：（1） ，Aededdxf xxx 22)( 00 （2 分）（2） （2 分）.21100xeXP（3）当 时， ，当 时，x xxtedtfF1)()( 0，xttxtt eedtfF 21212)()( 0000X的分布函数为 （3 分）.,21xx2、设连续型随机变量 的分布函数为 求X ,1.1,arcsin,0)( xxBAF（1） 和 ；（2） ；（3）概率密度函数 ;（4） .AB2/1P)(f)(XE解：（1） ， . (2 分)01()arcsin()01(FFA,2BA(2) (2 分) 5.2/2/X（3） (2 分).1,0,)(2xxf（4） (2 分)01)(2dxxXE六、 一维随机变量的函数的分布求法3、设随机变量 的分布函数为 ，则 的分布函数为（ A ）()Fx31YX（A） ；（B） ；（C） ；（D ；1()3Fy31y()y1()3Fy|3、设随机变量 的概率密度为 ，则 的概率Xxxf,)1()2XY2密度为（ B ）（A） ；（B） ； （C） ；（D ） ；)41(2y)4(2y)1(2yyarctn14、设圆的半径 ，求圆的面积 的分布密度。,0(UR2RS解：因为 ，)1,.,其 它 rrf当 ， ；当 ，0s0(sSPsFs sdrsRPsRR s 02 10)(；当 ，s1)(sSs所以 .,02)('其 它 Ff1、设长方形的长 ，已知长方形的周长为 2，求长方形面积的数学期)1,(UX望和方差。解：因 ，故 （1 分）),0(其 他 ；,0,1)(xxf面积为 ，所以1XA（2 分）61)()(1)()( 10 dxdxfxE，301022222f（3 分）18360)()2AAD2、若 ， ，求 的概率密度函数。1,0NXXeY解：因为当 时， 是不可能事件，所以 ；yy0)(yYPFY又当 时， （5 分） )(lnl)( XyePF XXY |所以 的概率密度函数 （3 分）Y.0,012)(')( )(ln2yeyFf yYY1、设 ，求 的概率密度。)1,0(NXX解：设随机变量 和 的分布函数分别为 、 ，先求 的分布函数Y)(xFX)(yY。由于 ，故当 时， （1 分）)(yFY0y0Y当 时，有 ，0 )()( yFyPYPy XY 将 关于 求导数，即得 的概率密度为)(yFY（4 分）.0,2.0,),()2)( yeyfff yXY 1、设 ，求 的概率密度。)1,(N2Y解：设随机变量 和 的分布函数分别为 、 ，先求 的分布函数 。X)(xFX)yY )(yFY由于 ，故当 时， （2 分）02Yy0yY当 时，有y，)()()(2 yFyXyPXyPF XXY 将 关于 求导数，即得 的概率密度为Y（4 分） .0,21.0, 0),()(21)( 2yeyyffyf yXXY 1、设随机变量 ，求 的分布密度函数 。)1,(UXeY2 )(fY解：因 ，故 （1 分）,0X一,0,1xxfX