复变函数论第三版课后习题-答案~[1].doc

|第一章习题解答（一）1设 ，求 及 。32izzArc解：由于 3ie所以 ， 。z2,01,rck2设 ，试用指数形式表示 及 。12,1i2z1解：由于 6412,3iizezie所以 ()64641212iii i。5()461226i iiizee3解二项方程 。40,()a解： 。1244,0,123kiize4证明 ，并说明其几何意义。221112()zz证明：由于 1Re22112()所以 1zzz其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5设 z1，z 2，z 3三点适合条件： 0321, 1321z。证明 z1，z 2，z 3是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。证 由于 321，知 321z的三个顶点均在单位圆上。因为 z213212121 zzzz所以， 2121z，又 )()( 1212121 zzz3221zz故 321z，|同理 3231zz，知 321z是内接于单位圆 1z的一个正三角形。6下列关系表示点 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1） ；121,()解：点 的轨迹是 与 两点连线的中垂线，不是区域。zz2（2） ；4解：令 zxyi由 ，即 ，得()i22(4)xyy2x故点 的轨迹是以直线 为边界的左半平面（包括直线 ） ；不是区域。z（3） 1解：令 ，zxyi由 ，得 ，即 ；122(1)()x0故点 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴） ；是区域。z（4） ；0arg(1),2Re34z且解：令 zxyi由 ，得 ，即0arg(1)42Re3z0arg1423yx0123yx故点 的轨迹是以直线 为边界的梯形（包括直线 ；,xy2,3x不包括直线 ） ；不是区域。0,1y（5） ；2zz且-3解：点 的轨迹是以原点为心，2 为半径，及以 为心，以 1 为半径的两闭圆外部，3z是区域。（6） ；Im1,z且解：点 的轨迹是位于直线 的上方（不包括直线 ） ，且在以原点Im1zIm1z|为心，2 为半径的圆内部分（不包括直线圆弧） ；是区域。（7） ；,0arg4zz且解：点 的轨迹是以正实轴、射线 及圆弧 为边界的扇形（不包括边界） ，arg4z1z是区域。（8） 131,22izzi且解：令 xyi由 ，得123zi21()43xy故点 的轨迹是两个闭圆 的外部，是区域。z22131(),()44xyxy7证明：z 平面上的直线方程可以写成 Cza（ a 是非零复常数，C 是实常数）证 设直角坐标系的平面方程为 将AB代入，得11Re(),Im()22xzzyzziCzBAzBA)i()i(21令)i(a，则)i(21a，上式即为 Cza。反之：将 ，代入 za,zxyii得 ()()aac则有 ；即为一般直线方程。AxByC8证明： 平面上的圆周可以写成z0.zc其中 A、C 为实数， 为复数，且 。,2AC|证明：设圆方程为 2()0AxyBDyC其中 当 时表实圆；0,24A将 代入，得2 11,(),()22xyzxzyzi1()()02AzBDiBic即 0.zc其中11(),()22iDi且 ；44BDAC反之：令 代入,zxyiabi 20()zzcAC得 其中2()0,A2,Bab即为圆方程。10求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。（1） tzi)(； （2） tbtazsinco；（3） ti； （4） 2it，解（1） ttyxtyxz ,)i1(i。即直线 xy。（2）20,sincosincoi ttbatbtaz，即为椭圆 12byax；（3） tyxtyxz1ii，即为双曲线 1xy；（4） 221ii tyxtyxz，即为双曲线 1xy中位于第一象限中的一支。|11函数 zw1将 z 平面上的下列曲线变成 w平面上的什么曲线 ivuwiyxz,？（1） xy； （2） 12yx解 221iyxiz， 22,yxvxu，可得（1）vyxu222是 w平面上一直线；（2） 211222 yxyx，于是 u，是 w平面上一平行与 v 轴的直线。13试证 )arg(rzz在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在 z 平面上处处连续。证 设 zfr)(，因为 f(0)无定义，所以 f(z)在原点 z=0 处不连续。当 z0为负实轴上的点时，即 0(0xz，有xyzyxyxzarctnlimtliargli000所以 zzrli0不存在，即 zrg在负实轴上不连续。而 argz 在 z 平面上的其它点处的连续性显然。14 设0z ,0,623yxxyzf求证 zf在原点处不连接。证 由于 01limlilim42062400 xxzfxxyz|21limli 6003 yzfyyxz可知极限 fz0li不存在，故 zf在原点处不连接。16. 试问函数 f(z) = 1/(1 z )在单位圆| z | 0，故 f(z)在单位圆| z | 0，N +，使得n > N，有| z n z0 | 0，N1 +，使得 n > N1，有| x n x0 | N2，有| y n y0 | N，有 n > N1 且 n > N2，故有| z n z0 | = | (xn x0) + i (yn y0) | | xn x0 | + | yn y0 | 0，K +，使得 n > K，有| z n z0 | K 时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + . + (zn z0) |/n ( | z1 z0 | + | z2 z0 | + . + | zn z0 |)/n = ( | z1 z0 | + . + | zK z0 |)/n + ( | zK +1 z0 | + . + | zn z0 |)/n M/n + (n K)/n · ( /2) M/n + /2因 lim n (M/n) = 0，故 L +，使得n > L，有 M/n K 时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n z0 | M/n + /2 0 | (1 z)/(1 + z) | 0 点 z 在 y 轴右侧 点 z 在点1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的右侧 点 z 在点1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的与 1 同侧的那一侧 点 z 到点1 的距离大于点 z 到点 1 的距离 |1 + z | > | 1 z | | (1 z)/(1 + z) | | 1 z | |1 + z |2 > | 1 z |2 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2 2Re(z) Re(z) > 0由本题结论，可知映射 f(z) = (1 z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出，映射 f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？ f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？· § §AAAAAAA m +，m +， 1, 2, ., n lim n，+n > 0， u n， n 1 un，m A， > 0， > 0， 【解】 0, 2 l 2 dx，f(x) = (, +), 1 k n un，0, 2