概率论一二章习题详解.doc

|习题一（A）1. 用三个事件 的运算表示下列事件：,BC（1） 中至少有一个发生；,A（2） 中只有 发生；（3） 中恰好有两个发生；,BC（4） 中至少有两个发生；A（5） 中至少有一个不发生；,（6） 中不多于一个发生.BC解：（1） （2） (3) AABCABC(4) (5) (6) 2. 在区间 上任取一数 ， 记 0,x1|,2x，求下列事件的表达式：13|42Bx（1） ； A（2） ；(3) .解：（1） |14213xx或（2） （3） |0或3. 已知 ，求 .().4,()0.2,()0.1PABPCA()PABC解： , .20.1()()()()()C APBCPABPBCABPC|0.42.1074. 已知 ，求 与(),()5,().25PABPAB()PBA.()B解： , ,)()0.()0.1,( 25PABP)()1()()ABP0.4.0.5.将 13 个分别写有 的卡片随意地排成一行，求恰,CEHIMNT好排单词“ ”的概率.MATHIN解： 2381!3!p6. 从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰好有 1 件次品的概率.解：1254309Cp7. 某学生研究小组共有 12 名同学，求这 12 名同学的生日都集中在第二季度（即 4 月、5 月和 6 月）的概率.解： :123p8. 在 100 件产品中有 5 件是次品，每次从中随机地抽取 1 件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率.解：设 表示第 次取到次品， ，iAi1,23i12394()0.68P9. 两人相约 7 点到 8 点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.解： 14p10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要 6 小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.解： 226371()1()611. 任取两个不大于 的正数，求它们的积不大于 ，且它们和不大于 1 的概率.29|解： ， ，所以 ，29xy1y13x2231ln9pdx12. 设 证明： .(),(),PAaBb1(|)abPAB证明： ()()1()abPB13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为 .若0.3,21,4坐火车来，迟到的概率是 ；若坐船来，迟到的概率是 ；若坐汽车来，迟到的概率0.250.3是 ；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.01解： 3.31.04514. 设 10 个考题签中有 4 个难答，3 人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；（3）甲、乙、丙均抽到难签.解；（1） 42105p（2） 69（3） 3815. 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“”和“ ” .由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台未必收到信号“” ，而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号“”和“ ”；同样，当发出信号“ ”时，收报台分别以 0.9 和 0.1 收到信号“ ”和“”.求：（1）收报台收到信号“”的概率；（2）当收到信号“”时，发报台确实是发出信号“”的概率.解：（1） 068.401.52（2） 2.5316. 设 相互独立， ，求 .,AB().6,()0.4PAB()PA解： ()0.6P B, .24()1()3|17. 两两独立的三事件 满足 并且,ABC,.1()()2P若 ，求 .9()16PABC解： ,23()A216()()30PA)4P舍 ）18、证明：（1）若 ，则 .(|)(B(|)(B（2）若 ，则事件 与 相互独立.|)PAA证明：（1） ,()(B()P)( ()()BAA(2) , ()()PB()1()PAB19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7. 又飞机中 1 弹，2 弹，3 弹而坠毁的概率分别为 0.2，0.6，1. 若三人各向飞机射击一次，求：（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中 2 弹的概率.解：（1）0.(4.5036503.650.7)6.47.450.7.2.18 （2） 0.5420. 三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.解： 0.53.02.60.753.676453204.|0.35.970.15.90.52.60.1521. 在试验 中，事件 发生的概率为 ，将试验 独立重复进行三次，若EA()PApE在三次试验中“ 至少出现一次的概率为 ”，求 .1927解： ，033319(1)()27Cp22. 已知某种灯泡的耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个该型号的灯泡在使用 1000 小时以后至多有一个坏掉的概率.解： 3120.80.3.804.123. 设有两箱同种零件，在第一箱内装 50 件，其中有 10 件是一等品；在第二箱内装有 30 件，其中有 18 件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次 1 个，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品， ，第二次取出的零件也是一等品的概率.解： （1） 018.4523(2) 975197262()0.8644（B） 1.箱中有 个白球和 个黑球，从中不放回地接连取 次球，每次1()k1 个.求最后取出的是白球的概率.解： (1)(2)()k2. 一栋大楼共有 11 层，电梯等可能地停在 2 层至 11 层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有 6 位乘客，并且乘客在 2 层至 11 层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率：（1）某一层有两位乘客离开；（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开；（3）至少有两位乘客在同一层离开.解：（1）42426619()010C（2） 1!P|(3) 610!P3.将线段 任意折成 3 折，求此 3 折线段能构成三角形的概率.(,)a解： ，0,0xyyaxy，(,),22Aa 214ap4. 设平面区域 由四点 围成的正方形，现向 内随机投 10 个D(0,)1,(), D点，求这 10 个点中至少有 2 个落在由曲线 和直线 所围成的区域 的概率.2yxyx1解： ，10()6pxd0191055()C0910()6628751.245. 设有来自三个地区的 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7 份、5 份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（ 1） 31752900（2） 89436116. (Banach 问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有 根，每次使用时，他在任一盒中取N一根，问他发现一空盒，而另一盒还有 根火柴的概率是多少.k解： 222()()kNNkpCC|习题二（ A ）1同时抛掷 3 枚硬币，以 表示出现正面的枚数，求 的分布律。XX解： , , ,108PX38328P182. 一口袋中有 6 个球，依次标有数字 ，从口袋中任取一球，设随机变1,量 为取到的球上标有的数字，求 的分布律以及分布函数.解： 1326PX0,126()4,31xFx3.已知随机变量 的分布函数为X，21,0()4,xF求概率 12PX解： 13()4F4.设随机变量 的分布函数为 求：0,;()sin21,.xxA（1） 的值；A（2）求 .|6PX解：由于 在点 处右连续，所以 ,即()Fx2()0)2F，sin1A。|()666PXXFPX1025. 设离散型随机变量 的分布律为(1) (3),1,;iPXia(2) 2i分别求出上述各式中的 .解：（1） ，48397a23a(2) ，2()()1a 126.已知连续型随机变量 的分布函数为X，0,;()1,.xFxkb求常数 和 。kb解： ， ， 。01kb7.已知连续型随机变量 的概率密度为X，2()()1kfxx求常数 和概率 .kP解： ，21dxk121Xdx8.已知连续型随机变量 的概率密度为，,0()1,fxx其 他求 的分布函数。X|解： 20,1()(),2x xFftdx9.连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于 0.99.解： ， ，1()0.92n1()0.2n1lg()l0.2n7l10 .设每分钟通过某交叉路口的汽车流量 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆X通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.解： , ， 。01PXe12020.64Pe11.设每次射击命中目标的概率为 0.001，共射击 5000 次，若 表示命中目标的次数。X（1）求随机变量 的分布律；X（2）计算至少有两次命中目标的概率.解：（1） 5050(.1).9kkkPC（2） ,PX5np10.67.30.956X 12.设随机变量 的密度函数为 .|(),xfAe（1）求常数 ；A（2）求 的分布函数。（3）求 .01PX解：（1） ，00()()2xxfxdedA1（2） 00,0()() 1,22txxttxxeFfted|（3） 10102xePXde13.证明：函数 （ 为正常数）是某个随机变量 的密度,;()0.xcfcX函数.证明：由于在 内， ，且(,)()fx，2200) 1ccfxdede 所以， 是某随机变量的概率密度。()f14.设随机变量 的概率密度为 ，求：X3201,x(x)f)其 他（1） 的分布函数；（2）求 .20P解：（1） ,20,()()1()xxFftd（2） .009PXF15.某种显像管的寿命 （单位：千小时）的概率密度为 ，3,0,().xkef（1）求常数 的值；k（2）求寿命小于 1 千小时的概率.解：（1） 30(),xkfxde（2） 。1330xp16.设 ，(,)XN:（1）求 ， ， .1.96,1.96PX|1.96PX2PX（2）已知 ， , ，求常0.7a|024b0981c