函数图像的切线问题.doc

|函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线 yf(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点 P(x0，f(x 0)，求 yf(x)在点 P 处的切线方程：切线方程为 yf(x 0)f(x 0)(xx 0).(2)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程：设切点为 P(x0，y 0)，通过方程 kf(x 0)解得 x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求 yf(x)的切线方程：设切点为 P(x0，y 0)，利用导数将切线方程表示为 yf(x 0)f(x 0)(xx 0)，再将A(s,t)代入求出 x0.2两个函数图像的公切线函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点 P(x0，y 0)，则有 Error!若切点分别为(x 1,f(x1),(x2,g(x2),则有 . 2121 )()(xgfxgf 题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例 1.求过点 与已知曲线 相切的切线方程.(2,)P3:Syx解：点 不在曲线 上.设切点的坐标 ，则 ，函数的导数为 ，0,x300 2'3yx切线的斜率为 ， ，02'xky000()(切 线 方 程 为点 在切线上， ，又 ，二者联(2,)P200(3)(x3yx立可得 相应的斜率为 或001,3,x或 k96|切线方程为 或 .2y963(2)x例 2. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为2fxgyg1,，则曲线 在点 处的切线方程为_21yxy1,f解析：由切线过 可得： ，所以 ，另一方面，, 324f，且 ，所以 ，从而切线方程为：'g''2fxgx''1g414yy例 3. 已知直线 与曲线 切于点 ，则 的值为_kx3yxab(,3)b解析：代入 可得： ， ，(,3)2' 2f所以有 ，解得'1fab13b题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例 4.已知函数 ，则：ln2fxx（1）在曲线 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 平行420xy（2）在曲线 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 垂直fx 3解：设切点坐标为 由切线与 平行可得：0,y'012fx420xy'001242fx0ln1yf切线方程为：1ln4l2yxx|（2）设切点坐标 ，直线 的斜率为0,xy'012fx30xy1而'00123f0,不在定义域中，舍去03x不存在一点，使得该点处的切线与直线 垂直30xy例 5.函数 上一点 处的切线方程为 ，2lnfxabx,2Pf 32lnyx求 的值,ab思路：本题中求 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解， 在直线, P上， ，即 ，得到32lnyx32ln2l4y2=ln4f的一个等量关系，在从切线斜率中得到 的导数值，进而得到 的另一个等量,abx,ab关系，从而求出 ,ab解： 在 上，P32lnyx23ln2l4f2l4f又因为 处的切线斜率为 3' 2afxb, '24afbln4l2132ab例 6.设函数 ，若曲线 的斜率最小的切线与直3910fxaxyfx线 平行，求 的值126y|思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为 ，进而可得导函数12的最小值为 ，便可求出 的值12a解： 2' 22139393993fxxaxa直线 的斜率为 ，依题意可得：' 2min1ffa6xy121933a03a题型三 公切线问题例 7.若存在过点(1,0)的直线与曲线 和 都相切,则 等于( )3yx21594xaA. 或 B. 或 C. 或 D. 或125641247674思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 含有参数，所以考虑21594yax先从常系数的曲线 入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线3yx求出 的值.设过 的直线与曲线 切于点 ,切线方21594yaxa1,03yx30,x程为 ，即 ，因为 在切线上，所以解得：3200x230yx1,0或 ，即切点坐标为 或 .当切点 时，由 与0x0,7,8,0y相切可得21594yax|，同理，切点为 解得2152549064aa 327,81a答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与 求 的过程中，由于曲线 为抛21594yaxa21594yax物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的 来求解，减少了运算量.通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：0一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例 8.若曲线 21xyC： 与曲线 xaeyC：2存在公切线，则 a的最值情况为（ ）A最大值为 28e B最大值为 4 C最小值为 28e D最小值为 24e解析：设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，由 可121,x22,xa''xya得： ，所以有 ，所以2211xxae2112xae，即 ，设 ，则 .可知24xae24xe4xf '4xfe在 单调递增，在 单调递减，所以f1,max2f|2422018161412108642246830 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30aex2422018161412108642246830 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30aexx2la12108642246810122 1 10 1 1 20O题型四 切线方程的应用例 9.已知直线 与曲线 有公共点，则 的最大值为 .ykxlnyxk解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， 取得最大值.设切点坐标为 ，则 ， ， 切线方程为0,0l'yx'x， 原点在切线上， ， 斜率的最大值为01ln()yxx0lne.e例 10.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xye2,A. B. C. D. 2e224e2e思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出'xfe切线方程 所以切线方程为： 即 ，'22yex220ey与两坐标轴的交点坐标为 21,021S例 11.一点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取P3yxP值范围是( )|A. B. C. D. 0,230,243,43,24思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来. ，对于曲线' 1yx上任意一点 ，斜率的范围即为导函数的值域： ，所以倾斜角的P'2=31,yx范围是 .答案：B30,24例 12.已知函数 ，若过点 存在 3 条直线与曲线 相切，3fxx1,Pt yfx求 的取值范围t思路：由于并不知道 3 条切线中是否存在以 为切点的切线，所以考虑先设切点，切线斜率为 ，则满足 ，所以切线方程为0,xyk300' 26yxkf，即00kx，代入 化简可得： ，所320263yx1,Pt32046tx以若存在 3 条切线，则等价于方程 有三个解，即 与32046txyt有三个不同交点，数形结合即可解决24gxx解：设切点坐标 ，切线斜率为 ，则有：0,yk切线方程为：30' 206yxkf32000263yxxx因为切线过 ，所以将 代入直线方程可得：1,Pt1,t3200023txx6x|2333200006246xxxx所以问题等价于方程 ，令46t32g即直线 与 有三个不同交点yt32gxx' 211gx令 解得 所以 在 单调递减，在 单调递'0xgx,010,1增1, 3gx极 大 值 极 小 值所以若有三个交点，则 31t所以当 时，过点 存在 3 条直线与曲线 相切3,t,Pt yfx例 13. 已知曲线 C:x2=y，P 为曲线 C 上横坐标为 的点，过 P 作斜率为 k(k0)的直线交1C 于另一点 Q，交 x 轴于 M，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N，问是否存在实数 k，使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点 ，则可求出1,，从而与抛物线方程联立可解得 ，以及 点坐标，:1Pykx 2kM从而可写出 的方程，再与抛物线联立得到 点坐标.如果从 坐标入手得到QNN,N方程，再根据相切 求 ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于 为切点，M0k考虑抛物线 本身也可视为函数 ，从而可以 为入手点先求出切线，再利2xy2yx用切线过 代入 点坐标求 ，计算量会相对小些.k解：由 在抛物线上，且 的横坐标为 1 可解得 PP,P|设 化简可得： :1PQykx1ykx1,0kM消去 ： 2xy2012,1k2,1k设直线 即2:QNyx21ykxk联立方程：21ykxk210xk11QNNkxk21,k由 可得： 2yx'yx切线 的斜率 MN' 1|2Nxkk21:yxkkk代入 得：,0|2111kkk, 20k52小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算 简便（2）本题在求 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知N的横坐标求出 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已Q知一交点求另一交点的问题.例 14.设函数 f(x)x 32ax 2bxa，g(x)x 23x2，其中 xR，a、b 为常数，已知曲线 yf(x)与 yg(x)在点(2,0)处有相同的切线 l.(1)求 a、b 的值，并写出切线 l 的方程；(2)若方程 f(x)g(x)mx 有三个互不相同的实根 0、x 1、x 2，其中 x10，即 m> .14又对任意的 xx 1，x 2，f(x)g(x)0，x 1x22m>0，故 0<x1<x2.