历年概率论与-数理统计试题-分章整理.doc

|历年概率论与数理统计试题分章整理第 1 章一、选择与填空11 级1、设 ， ，则 35。()0.5PA()=0.2B()PA1、设 为随机事件，则下列选项中一定正确的是 D 。,C(A) 若 ，则 为不可能事件(B) 若 与 相互独立，则 与 互不相容(C) 若 与 互不相容，则AB()1()PAB(D) 若 ，则()0PCA10 级1. 若 为两个随机事件，则下列选项中正确的是 C 。,(A) AB(B) B(C) (D) A1. 某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为 ，则此人第 4 次射)10(p击恰好是第 2 次命中目标的概率为 。22)1(3p2. 在 中随机取数 ，在 中随机取数 ，则事件 的概率为 。0,1x1,y32xy8709 级1. 10 件产品中有 8 件正品，2 件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 .16452. 在区间 中随机地取两个数，则事件两数之和大于 的概率为 .1,0 5417251. 设 为两个随机事件，若事件 的概率满足 ，且有等式AB,AB0(),0()PAB<<成立，则事件 C .()()P=,(A) 互斥 (B) 对立(C) 相互独立 (D) 不独立08 级1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为 B 。(A) 0(B) 103(C) 109(D) 811、在区间 之间随机地投两点，则两点间距离小于 的概率为 。,L 2L3407级1、10 把钥匙中有 3 把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。7152、在区间 之间随机地取两个数，则事件两数的最大值大于 发生的概率为 。1,0 39二、计算与应用|11 级有两个盒子，第一个盒子装有 2 个红球 1 个黑球，第二个盒子装有 2 个红球 2 个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。（1）求这个球是红球的概率；（2）重复上述过程 10 次，记 表示出现取出的球为红球的次数，求 。X2()EX解答：（1）令事件 A取得一个红球 ，事件 iB从第 i 个盒子中取得一个红球 ， 1,i，于是 121()34PB， 12()PB，12()6， 12()A34PB， 0PB由全概率公式有 12121212()()()A12121212()()PBAPBA7.4 分（2）(0,)12XB735(0126EX75()012DX8)4D.4 分10 级1. 已知 为两个随机事件，且 ， ， ，求：BA, 21)(AP53)(B54)(AP（1） ；（2） ；（3） 。)(PB解答：（1） 2 分4()52 分127()()0ABPA（2） 2 分(PB（3）方法 1： 2 分()61)1()17PBA方法 2： 2 分()()PAB09 级1. 设 为两个随机事件，且有 ，计算：,A0.4,.,()0.5PB（1） ； （2） ； （3） .()P()BA解答：（1） ； 1 分10.6PA（2） ，故 ； 2 分()().5()B()0.3|（3） ()()1()1PBAPBAPBA. 3 分(3)708 级1、设 为两个事件， ， ， ，求：, 3.0)(4.0(5.0)(BAP（1） ； （2） ； （3） .)(APB)解答： 1().7.5.2PA()()() PAB0.1765407级2、设 为三个事件，且 ， ， ，CBA, 3CPBA0AB61CP，求：18P（1） ； （2） ； （3） 至少有一个发生的概率。()()P,解答：（1） ；12A（2） ；()()5() 6CBCP（3） P 至少有一个发生, ()PAB。()()()APAC117036824第 2 章一、选择与填空11 级2、设随机变量 服从正态分布 ， 为其分布函数，则对任意实数 ，有X2(,)N(Fxa1 。()()Fa10 级3. 设随机变量 与 相互独立且服从同一分布： ，则概率Y 13kPXkY(0,)的值为 。PX9508 级2、设相互独立的两个随机变量 ， 的分布函数分别为 ， ，则 的分XY)(xFX)(yY),max(YXZ布函数是 C 。(A) )(,maxzFzFZ(B) ,mazzZ(C) )(YX(D) )(YX3、设随机变量 ， ，且 与 相互独立，则 A 。1,4N0,1|(A) 2(1,8)XYN(B) 2(1,6)XYN(C) (D) 07 级1、已知随机变量 X 服从参数 ， 的二项分布， 为 X 的分布函数，则 D 2n13p()Fx(1.5)F。(A) 9(B) 49(C) 59(D) 89二、计算与应用11 级1、已知随机变量 的概率密度函数为X21,1()0, .xfx他求：（1） 的分布函数 ； （2）概率 。X)(FP解答：（1） ()()xxPftd当 x时， ()0ft .1 分当 时， 211(arcsin)2xxFtx .2 分当 1x时，()()xftddt.1 分综上，0,()(arcsin),12,xF（2）11()22PXXF11arcsin()arcsin()3.3 分2、设连续型随机变量 的概率密度函数为 2,01()xf，其 他 .求随机变量 的概率密度函数。3YX解法 1：由于 所以 3()xhy， .1 分213,0()(),YX yfyfhy他.6 分|解法 2：3()YFyPXy当 0时： 0 1 分当 1时：3323 330()()yyY XPfxdx.5 分当 y时： y .1 分故 ()YfFy132, 01y其 他10 级2. 已知连续型随机变量 的概率密度函数 ，求：X()()xfCe（1）常数 C； （2） 的分布函数 ；（3）概率 。XFx13PX解答：（1） 1 分()1fxd1 分xe（2）当 时，0()FxPXx12xxed当 时，x001 2xe故 的分布函数 4 分X1 ,2(), xeF（3） 2 分13()1P)(231e3. 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求随机变量 的概率密度函数 。0, 2XY)(yfY答： 2 分, ()20 Xxfx其 他方法 1： 的反函数为 ，故 yy2 分()(),0()0,XXYfff 4 分1, 0424, yy其 他方法 2： 2 分2()YFPX当 时：0y0y当 时：42 分2 01()()2yyY XXfxdx当 时：y()1YFy|故 2 分()YfyF1, 044y其 他09 级2. 设有三个盒子，第一个盒装有 4 个红球，1 个黑球；第二个盒装有 3 个红球，2 个黑球；第三个盒装有 2 个红球，3 个黑球. 若任取一盒，从中任取 3 个球。（1）已知取出的 3 个球中有 2 个红球，计算此 3 个球是取自第一箱的概率；（2）以 表示所取到的红球数，求 的分布律；XX（3）若 ，求 的分布律.YsinY解答：（1）设 “取第 箱” ， “取出的 个球中有 个红球” ，则iBi(1,)iA3222123 343 31 5551()()iii CPAPA . 2 分11()()（2） ，35003XC，12123510P， ，2()A1126PXPX因此， 的分布律为X0313262 分（3） ， ，136PYX10PYX，80215因此， 的分布律为 P6815302 分3. 设连续型随机变量 的分布函数为X20,()11,.XxFxab（1）求系数 的值及 的概率密度函数 ；,abf（2）若随机变量 ，求 的概率密度函数 .2Y()Yy解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数 是连续函数，因此：xF Y10P6853|， ，即得 ，0lim()xF1li()xF0,1ab3 分2,0,Xf 其 他 .（2） （方法 1）对任意实数 ，随机变量 的分布函数为：yY2()PyXy当 时： ，0y()0YFy当 时： ，PX()XF当 时： ，12()Yy当 时：y01y于是， . 3 分,()YfF其 他(方法 2) ()(),01)0, .XXYfyfyyf ，其 他3 分12,01,.y，其 他 ,其 他 .08 级2、已知连续型随机变量 的分布函数为X，30, ()1, xFc求：（1）常数 c； （2） 的概率密度函数； （3）概率 。X12PX解答：（1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故 ；1c（2） ；3,01() xfxF其 他（3） 。1()28PXF3、设随机变量 服从标准正态分布 ，求随机变量 的概率密度函数 。)1,0(N2XY()Yfy解答： ， 的反函数为 和 ，因此21()exXfx2yxyy)(),0()0,XYfyfyf |2211ee,00,yy 21e,0,y07 级2、已知连续型随机变量 的分布函数为X，0, 1()arcsin,1,xFxb求（1）常数 和 ；（2） 的概率密度 ；（3）概率 。ab)(xf20PX解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数 是连续函数，将 和 代入 ，得到关于1)(xF和 的方程：ab，baF2)1(0baF2)1(0解得： ， ；21（2） 对 求导，得 的概率密度为)(xFX21,()0,xfx（3） = 。20PX()2F3、设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求 的概率密度 。,1XeY2()Yfy解答：（解法一）由题设知， 的概率密度为 。X1()0xfx其 他对任意实数 ，随机变量 的分布函数为：yY2()XYFyPey当 时： ；2e2()0XYFPe当 时：4；11lnln2 22()l()l1yyXY Xyyfxdx当 时： ，4e()Ye故 240,1()ln,2,YyeFy于是，。241,()0YeyfyF其 他|(解法二) 1(ln)l,0()20,XYfyyfy1,l20其 他 24,ey其 他第 3 章一、选择与填空11 级3、设随机变量 与 相互独立， 在区间 上服从均匀分布， 服从参数为 2 的指数分布，XYX0, Y则概率 23e 。min(,)1P2、设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 、 分别为 、 的概Y()Xfx)YfyXY率密度，则在 条件下， 的条件概率密度 为 A 。YyX()Xfxy(A) ()Xfx(B) Y(C) Y (D) ()fy10 级3. 设随机变量 与 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则 服从 B 0),min(YX。(A) 参数为 的指数分布(B) 参数为 的指数分布2(C) 参数为 的指数分布2(D) 上的均匀分布),(二、计算与应用11 级3、设二维随机变量 的联合分布律为(,)XYY X 10140110（1）求概率 ； YXP（2）求 与 的相关系数 ，并讨论 与 的相关性，独立性。XYY解答：（1）11,0,042PX.3 分（2） 0,()EXY，故 cov()Y。因 ，故 与 不相关。 2 分由联合分布律显然 ijijPA，所以 与 不独立。 2 分|1、设二维随机变量 的联合概率密度函数为(,)XY,01(,)Axyxf，其 他 .求：（1）常数 ； A（2） 的边缘概率密度函数 ；(,)Y()Yf（3）在 的条件下， 的条件概率密度函数 ； yX)(yxfYX（4）条件概率 。213P解答：（1） (,)fxyd.1 分01xdAy8.2 分（2）124(),01()(,)0, yY xyffd 其 他.3 分（3）当 01y时，2,()1()=0XYYxfyfx其 他2 分（4）2233187yyxPdd.2 分10 级1. 设二维随机变量 的联合概率密度函数为(,)XY2,1(,)0 Axyf其 他求：（1）常数 ；A（2） 的边缘概率密度函数 ；(,)Y)(fY（3）在 的条件下， 的条件概率密度函数 ；yX)(yxfYX（4）条件概率 。210P解答：（1） 1 分(,)fxyd2 分211xdA4A（2） 3 分52217,01()(,)0, yY xdyfyfdx 其 他（3）当 时， 2 分0132,()()=0XYY xyffy其 他（4） 2 分3022121yyPxdxd