全等三角形.第4讲.全等三角形与-旋转问题.教师版.doc

|第四讲全等三角形与旋转问题中考要求考试要求板块A 级要求 B 级要求 C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛基本知识把图形 绕平面上的一个定点 旋转一个角度 ，得到图形 ，这样的由图形 到 变换叫做旋转变换，GOGG点 叫做旋转中心， 叫做旋转角， 叫做 的象； 叫做 的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，OG 象与原象是全等形很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演|重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲【例 1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )【解析】 A【例 2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 为中心( )A顺时针旋转 60°得到 B顺时针旋转 120°得到C逆时针旋转 60°得到 D逆时针旋转 120°得到 GFEDCBA【解析】 D|【例 3】 已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形求证： CABCMBNANBM MDNEC BFA【解析】 、 是等边三角形，ACMBN ， ，ACMB ，【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形【例 4】 如图，C 是线段 BD 上一点，分别以 BC、 CD 为边在 BD 同侧作等边 ABC 和等边 CDE,AD 交CE 于 F，BE 交 AC 于 G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 KGFE DCBA【解析】 C【补充】已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形求证： 平分 ABCMBNAB MDNEC BFAGM H DNEC BFA【解析】 过点 作 于 ， 于 ，由 ，CGNHBANC利用 进而再证 ，可得到 ，故 平分 AS GHFB【补充】如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形ACM请你证明： ；ANBM ；DE 平分 CF|MDNEC BFA【解析】 此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系与三角形各内角相等，60MCN及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的： ；AFBC， ， ， ；ABDEMNDBE， ；CN A， ， ； C为等边三角形E 、 是等边三角形，AMB ， ，ACNB ，CN M由 易推得 ，所以 ，又 ， DE CDE60MCN进而可得 为等边三角形易得 DEA过点 作 于 ， 于 ，由 ，GAHBB利用 进而再证 ，可得 ，故 平分 SCN FFA【例 5】 如图， ， ， 三点共线，且 与 是等边三角形，连结 ， 分别交 ， 于BEDECD， 点求证： MNM NM EDCBA【解析】 与 都是等边三角形ABCDE ， 及60ACBDE ， ， 三点共线 ，18018 2BE在 与 中CDA| ，BCADEBCDAE NM ，12060N 6AC在 与 中B ， 0NMBCA CMN【例 6】 (2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形 、 都是正方形，连接 、BDEFGAE求证： CGAEG G FEDCBA【解析】 ADCEG在 和 中 DGECDAE CG【补充】( 年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段 同侧作两个等边三角形 和208 AEABC( )，点 与点 分别是线段 和 的中点，则 是( )C120A°PMBDPM PMBC DEAA钝角三角形 B直角三角形C等边三角形 D非等腰三角形【解析】 易得 所以 可以看成是 绕着点 顺时针旋转 而得到的又 为线CE ACD60段 中点， 为线段 中点，故 就是 绕着点 顺时针旋转 而得所以 且，PPM°CP，故 是等边三角形，选 C60M°|【例 7】 如图，等边三角形 与等边 共顶点于 点求证： ABCDECAEBD DECBA【解析】 是等边三角形， ， ABC60ACBBC ，同理 ， 60DEDAECAE在 与 中，E ， C【例 8】 如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形， 是 中点， 是 中点，求ABCMBNDANEBM证： 是等边三角形DE M DNEC BA【解析】 ， ，ACNMB ANBMANC又 、 分别是 、 的中点，DE ， ， CDED 60 是等边三角形【例 9】 如图， 是等边 内的一点，且 ， ， ，问 的度数是否DABBAPBDBCP一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由PDCBAAB CDP【解析】 连接 ，将条件 ， 这两个条件，易得 ( )，得CDBADPA S|，由 ， ， (公共边)，知1302BCDACBPABCDPBCD( )， 故 的度数是定值P S30D【例 10】 (2005 年四川省中考题)如图，等腰直角三角形 中， ， ， 为 中点，90 AaOC求证： 为定值EOFEF OBECFA4 321OBECFA【解析】 连结 由上可知， ， ， ，而 ， OB1290 390 1345 ， ， ECF BEa【补充】如图，正方形 绕正方形 中点 旋转，其交点为 、 ，求证： GHKACDOEFAECFB 54321OH BEDKGCFA【解析】 正方形 中， ，ABCD1245 OAB而 ，3490 90 ，5 OEBF ，EFC【例 11】 (2004 河北)如图，已知点 是正方形 的边 上一点，点 是 的延长线上一点，且ABDCFCB 求证： AD FEDCBA【解析】 证明：因为四边形 是正方形，所以 ，ABCDABD因为 ，90BADEFEF所以 ，所以 90|，故 ，故 BAFDERtABFtDEBF【补充】如图所示，在四边形 中， ， ， 于 ，若四边形C90ACDPAB的面积是 16，求 的长CP PDCBAA BCD EP【解析】 如图，过点 作 ，延长 交 于点 ，容易证得 (实际上就是把DEPBCDEDE逆时针旋转 ，得到正方形 )AP90正方形 的面积等于四边形 面积为 ， B164【例 12】 (1997 年安徽省初中数学竞赛题)在等腰 的斜边 上取两点 、 ，使 ，RtABMN45C记 ， ， ，则以 、 、 为边长的三角形的形状是( )MmNxnxmnA锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 、 、 的变化而变化M NCBAMDNCBA【解析】 如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得 ，连结 ，CBN90CD则 ， ， ，ADnB MAD 9045C ， Nx又易得 ，在 中，有 ，故应选(B)4590RtAM22mnx【巩固】如图，正方形 的边长为 ，点 在线段 上运动， 平分 交 边于点 ABC1FCDAEFCE求证： FDE设 ( )， 与 的面积和 是否存在最大值？若存在，求出此时 的值x0 BES x及 若不存在，请说明理由S FEDCBAGAB CDEF【解析】 证明： 如图，延长 至点 ，使得 ，连结 CBGDFAG|因为 是正方形，所以在 和 中， ，ABCDRtADFtBGADB， 90FG°B ，Rtt(S) ， 又 是 的平分线AEB ，F DAGBE即 ， ，ABC D ， GE即 ，得证F ADBES12FABE ， 12F由知， ，所以 SA在 中， ， ，RtDF1DFx ， 2x2S由上式可知，当 达到最大值时， 最大而 ，2S01x 所以，当 时，1最大值为 S2x【例 13】 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为垂足，EFABCD45EAF HEF求证： AH CHFEDBACHFEGDBA【解析】 延长 至 ，使 ，连结 ，易证 ， ， CBGDFAGADF AF 再证 ，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有 AE |【例 14】 (通州区 2009 一模第 25 题)请阅读下列材料：已知：如图 1 在 中， ， ，点 、 分别为线段 上两动点，若RtABC90ABCDEBC探究线段 、 、 三条线段之间的数量关系45DAEDE小明的思路是：把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连结 ，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想 、 、 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点 在线段 上，动点 运动在线段 延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明图1AB CD E图2AB CD E【解析】 22DEBC证明：根据 绕点 顺时针旋转 得到A90AB ， ， ，EEC在 中Rt BC 45A 90即 ED 22又 45 BAC 即 E D 22B E'ED CBAFED CBA 关系式 仍然成立22DC证明：将 沿直线 对折，得 ，连AAF F ，B