全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义.doc

|课 题 全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容1、课前检测1如图（1） ，ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC ，则_2斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是_，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是_3已知ABCDEF，DEF 的周长为 32 cm，DE =9 cm，EF=12 cm 则AB=_，BC=_ ，AC =_图（1） 图（2） 图（3） 4如图（2） ，AC=BD，要使ABC DCB 还需知道的一个条件是_5如图（3） ，若1=2，C=D，则ADB_，理由_6不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A三边对应相等 B两边及其夹角相等C两角和任一边对应相等 D三个角对应相等7·ABC 和DEF 中，AB=DE ，A =D ，若ABC DEF 还需要 （ ）AB= E BC= F CAC= DF D前三种情况都可以8· 在 ABC 和 A B C 中 AB=A B BC=B C AC=A C A= A B= B C= C ， 则 下 列 哪 组 条 件 不 能 保 证 ABC A B C （ ）A具备 B具备 C具备 D具备参 考 答 案 ： 1 ADB ADC 2 ASA（ 或 AAS） SSS 3 9 cm 12 cm 11 cm 4 ACB= DBC 或AB=CD5ACB AA S 6·D 7·D 8·A2、知识梳理知识要点：要点 1：全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等|要点 2：全等三角形的判定（1）两边及夹角对应相等 SAS； （2）两角及夹边对应相等 ASA；（3）两角及其中一角的对边对应相等 AAS； （4）三边对就应相等 SSS。要点 3：找全等三角形的对应边，对应角的方法 （1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点 4：寻找两个三角形全等的途径（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点有两组对应角相等时；找有两组对应边相等时；找有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的 AD，图（二）中的 BC 都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有 BF=CE，利用公有的线段 FC 就可推出 BC=EF。图（四）中若有DAB=EAC，就能推出DAC=BAE。|三、例题讲解： 例 1. 如图， 四点共线， ， ， ， 。求证： 。,AFEBACEBDFAEBCDACFBDE. 思路分析：从结论 入手，全等条件只有 ；由 两边同时减去 得到ACFBDEACBDEFEF，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是 ，也可以是 。AFBE FAB由条件 ， 可得 ，再加上 ， ，可以证明CBD90，从而得到 。解答过程： ，AEF90F在 与 中RttBECD (HL)tAtBF，即EAFBE在 与 中CDAB(SAS)FE解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例 2. 如图，在 中， 是ABC 的平分线， ，垂足为 。求证： 。ABCEADBE21C思路分析：直接证明 比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，证明 且 。21C 21C也可以看成将 “转移”到 。那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 延长交 于 ，则构造了FBD，可以通过证明三角形全ADBCF等来证明2= DFB，可以由三角形外角定理得 DFB=1+C。|解答过程：延长 交 于ADBCF在 与 中BF(ASA 90BD2DFB又 。1DC21C解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3. 如图，在 中， ， 。 为 延长线上一点，点 在 上， ，连接ABC90ABCFABEBCF和 。求证： 。,AEFCAECF思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段 为边的AE绕点 顺时针旋转 到 的位置，而线段 正好是 的边，故只要证明它们全等即可。B90BCFB解答过程： ， 为 延长线上一点90ABCFAB在 与 中EBF(SAS)AC。E解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例 4. 如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是 的中线。求证：DABCCDABADEB|。2ACE思路分析：要证明“ ”，不妨构造出一条等于 的线段，然后证其等于 。因此，延长 至 ，2ACE2AEACAEF使 。F解答过程：延长 至点 ，使 ，连接FADF在 与 中BDAE(SAS)FBD，AEADCB又 C，F在 与 中ADCF(SAS)A又 2E。C解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。4、课堂练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一 的是( )ABCA. ， ， B. ， ，3AB4843BC0AC. ， ， D. ，60C5 906|3. 如图，已知 ， ，增加下列条件： ； ； ；12ACDABECD。其中能使 的条件有( )BEBEA. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个（第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）4. 如图，已知 ， ， ，则 等于( )ABCDA23BDA. B. C. D. 无法确定67 6 二、填空题：5. 如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，且 ， ，90CAC:2:3DA10Ccm则点 到 的距离等于_ ；ABcm6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠， 为折痕，则 的大小为_；,BDB三、解答题：7. 如图， 为等边三角形，点 分别在 上，且 ， 与 交于 点。求ABC,MN,CAMCNABQ的度数。AQN8. 如图， ， ， 为 上一点， ， ，交 延长线于 点。求90ACBBCDAECDBFCDF证： 。FE|9. 如图，已知 AEAD，AFAB ，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求证：（1）AC=EF ，（2）ACEF10. 已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，BAC=90°，1=2，CEBD 的延长线于 E.求证：BD=2CE.参考答案一、选择题：1. A 2. C 3. B 4. C二、填空题：5. 4 6. 90三、解答题：7. 解： 为等边三角形B，A6在 与 中MCNB(SAS)A。60QNBAQNBC8. 证明： ，ECDF90FA|90ACEBF在 与 中AB(AAS)CEF。9. 证明：（1）AD/BC ， BDAB=180°又DAB4EAF3=360°，3= 4=90°DABEAF=180°B=EAF在ABC 和FAE 中 ABCFAE （SAS） AC=EF（2）ABCFAE1= F 又1 3=2F2= 3 又 3=90° 2=90° AGEF，即 ACEF|10. 证明：延长 BA、CE 交于点 F. 3=90°，5F=90°又BECE，4=90°，7=90° 1F=90°，6=180°90°=90°1= 5在ABD 和ACF 中 ABDACF（ASA）BD=FC在BEF 和BEC 中 BEF BEC（ASA）EF=EC FC=2EC BD=2EC5、课堂小结(1)全等三角形的概念及其性质(2)全等三角形的判定(3)找全等三角形的对应边，对应角的方法(4)寻找两个三角形全等的途径六、课后作业 一、填空题1·如图（1） ，C= E ， 1=2，AC =AE，则ABD 按边分是_ 三角形|2·如图（2） ，AB=AC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，交 BD 于 P，则 PD_PE（填“ ”或“=” ）3如图（3） ，ABC 中，AB=AC ，现想利用证三角形全等证明B= C，若证三角形全等所用的公理是 SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_图（1） 图（2） 图（3） 图（4）4一个三角形的三边为 2、5、x，另一个三角形的三边为 y、2、6，若这两个三角形全等，则 x+y=_5如图（4） ，AD=AE，若 AECADB，则需增加的条件是_ （至少三个）2、选择题6如图（8） ，图中有两个三角形全等，且A=D，AB 与 DF 是对应边，则下列书写最规范的是（ ）AABCDEF BABCDFECBACDEF DACBDEF7如图（9） ，AC=AB，AD 平分CAB，E 在 AD 上，则图中能全等的三角形有_对A1 B2 C3 D4图（8） 图（9） 图（10） 图（11）8 如 图 （ 10） ， ABC 中 ， D、 E 是 BC 边 上 两 点 ， AD=AE， BE=CD， 1= 2=110°， BAE=60°， 则 CAD 等 于 （ ）A70° B60 ° C50° D110°9如图（11） ，ABCD，且 AB=CD，则ABECDE 的根据是 （ ）A只能用 ASA B只能用 SAS C只能用 AAS D用 ASA 或 AAS10如图（12） ，ABCAEF ，AB 和 AE，AC 和 AF 是对应边，那么EAC 等于（ ）AACB B BAF CF DCAF