全等三角形难题集锦超级好-5(1~).doc

|1、 （2007 年成都）已知：如图，ABC 中，ABC=45°，CD AB 于 D， BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证：BF =AC；(2)求证： CE= 12BF；(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。2.（2012内江）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E 、F 按逆时针排列） ，使DAF=60°，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系|3（08 河北中考第 24 题）如图 14-1，在 ABC 中， BC 边在直线 l 上， AC BC，且 AC = BC EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP（1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜 想 并 写 出 AB 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ；（2）将EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-2 的 位 置 时 ， EP 交 AC 于 点 Q， 连 结 AP， BQ 猜想并 写出 BQ 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿 直 线 l向 左 平 移 到 图 14-3 的 位 置 时 ， EP 的 延 长 线 交 AC 的 延 长 线 于 点 Q，连结 AP， BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 给 出 证 明 ； 若不 成 立 ， 请说明理由4.如图 1、图 2、图 3，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOBCOD90º，（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（2）证明DOBCOA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等在图 1 中，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOB=COD=90°，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD，AC=BD；（2）相等在图 2 中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，图 14-1 （ E） （ F） B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C |DOBCOA，BD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角5（2008 河南） （9 分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在 ABC 中， AB=AC， P 是 ABC 内部任意一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至AQ，使 QAP= BAC，连接 BQ、 CP，则 BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了 ABQ ACP，从而证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“ BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰 三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题思路是 一致的；已知QAP= BAC，那么这两个等角同时 减去同一个角（2 题是加上同一个角） ，来证得QAB=PAC；而根 据旋转的性质知：AP=AQ，且已知 AB=AC，即可由 SAS 证得ABQACP，进而得出 BQ=CP 的结论解答：证明：（1）QAP= BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB= CAP；在BQA 和CPA 中，AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQACPA（SAS） ；BQ=CP（2）BQ=CP 仍然成立，理由如下：QAP= BAC，QAP+ PAB=BAC+PAB ，即QAB= PAC；在QAB 和PAC 中，AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS） ，|BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5（2009 山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片 ABC 和 DEF 且 ABC DEF 。 将这两张三角形胶片的顶点 B与顶点E重合，把 绕点 顺时针方向旋转，这时 A与 相交于点 O当 DEF 旋转至如图位置，点 ()BE， CD， 在同一直线上时， AFD与 C的数量关系是 当 继续旋转至如图位置时， （1）中的结论还成立吗？AO 与 DO 存在怎样的数量关系？请说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）根据外角的性质，得AFD=D+ABC，DCA=A+ABC ，从而得出AFD=DCA；（2）成立由ABC DEF，可证明ABF= DEC则ABF DEC，从而证出AFD= DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可证得点 B 在 AD 的垂直平分线上，进而证得点O 在 AD 的垂直平分线上，则直线 BO 是 AD 的垂直平分线，即 BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等） （2）AFD=DCA（或成立） ，理由如下：方法一：由ABC DEF ，得 AB=DE，BC=EF（或 BF=EC） ，ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF- CBF，ABF=DEC在ABF 和DEC 中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDCBAC-BAF=EDF- EDC，FAC= CDFAOD=FAC+AFD=CDF+ DCA，AFD= DCA方法二：连接 AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABC DEF，得 FD=CA|FEDCBA在AFDDCA ， AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA ，AFD=DCA（3）如图，BOAD方法一：由ABC DEF ，点 B 与点 E 重合，得BAC=BDF，BA=BD点 B 在 AD 的垂直平分线上，且BAD= BDAOAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODAOA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线，BOAD方法二：延长 BO 交 AD 于点 G，同方法一，OA=OD在ABO 和DBO 中， AB=DB BO=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG 和DBG 中， AB=DB ABG= DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90°BOAD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB 使得BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得 AF=AG，进而求证AEGAEF 可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90°即可解题解答：解：延长 EB 使得 BG=DF，在ABG 和ADF 中，由 AB=AD ABG=ADF=90° BG=DF ，可得ABGADF（SAS） ，DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS） ，EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90°EAG+EAF=90°，EAF=45°答：EAF 的角度为 45°点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF 是|NMEFACBA解题的关键例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：（1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分ACB，CDAB，A=45°，CD=DA，则BCD=45°，CDA=90°，由DMDN 得EDF=90°，根据等角的余角相等得到CDE=ADF，根据全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到结论；（2）由DCEADF，则 SDCE=SADF，于是四边形 DECF 的面积=SACD，由而AB=2 可得 CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得 SACD，从而得到四边形 DECF 的面积解答：解：（1）连 CD，如图，D 为等腰 RtABC 斜边 AB 的中点，CD 平分ACB，CDAB，A=45°，CD=DA，BCD=45°，CDA=90°，DMDN，EDF=90°，CDE=ADF，在DCE 和ADF 中，DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形 DECF 的面积=SACD，而 AB=2，CD=DA=1，四边形 DECF 的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形 中， ， ， ， ，ABCDABCDABC120， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于0MN ，EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 EFEF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成B A立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写AC，（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN|出你的猜想，不需证明7（西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB为一边作2正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求 AB及 PD的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及相应APB 的大小.图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出例8 （2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合 .将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E ，F时， （如图131） ，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E ，F时（如图132） ，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：|（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根据已知可以得出BAE=CAF，进而求出ABEACF即可；（3）利用四边形AECF 的面积 S=SAEC+S ACF=S AEC+S ABE=SABC求出即可解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，证明：BAC=EAF=60°，BAC-EAC= EAF-EAC，即：BAE=CAF，又AB=AC ，ABE=ACF=60°， BAE= CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA） ，BE=CF，（2）还成立，证明：BAC=EAF=60°，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE= CAF，又AB=AC ，ABE=ACF=60°，即 BAE= CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA） ，BE=CF，（3）证明：ABEACF，SABE=S ACF，四边形AECF 的面积S=SAEC+S ACF=SAEC+SABE=SABC；而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解：（1）BE=CF. 证明：在ABE 和ACF 中， BAE +EAC=CAF+EAC=60°，BAE= CAF .AB=AC，B=ACF=60°，ABE ACF （ASA ）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE 和ACF8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC|（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明：DCBE考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题： 证明题 图1图2DC EAB分析： （1）此题根据 ABC 与AED 均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABEACD；（2）根据（ 1）的结论和已知条件可以证明 DCBE 解答： 证明：（1 ）ABC 与AED 均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90°BAC+CAE=EAD+ CAE即BAE= CAD，在ABE 与ACD 中，AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45°又ACB=45°，BCD=ACB+ACD=90°DCBE点评： 此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得9、 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.|FEDCBA考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB 使得BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得 AF=AG，进而求证AEGAEF 可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90°即可解题解答：解：延长 EB 使得 BG=DF，在ABG 和ADF 中，由 AB=AD ABG=ADF=90° BG=DF ，可得ABGADF（SAS） ，DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS） ，EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90°EAG+EAF=90°，EAF=45°答：EAF 的角度为 45°点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF 是解题的关键7、D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。10、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形 ABCDE 的面积考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长 DE 至 F，使EF=BC，可得 ABC AEF，连 AC，AD，AF ，可将五边形 ABCDE 的面积转化为两个ADF 的面积，进而求出结论解答：解：延长 DE 至 F，使 EF=BC，连AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90°，CD=EF+DE=DF，在 Rt ABC 与 RtAEF 中， AB=AE ABC= AEF BC=EF Rt ABCRtAEF（SAS ） ，AC=AF，