全等三角形辅助线做法讲义1.doc

|全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一倍长中线【夯实基础】例： 中，AD 是 的平分线，且 BD=CD，求证 AB=ACABCBAC方法 1：作 DEAB 于 E，作 DFAC 于 F，证明二次全等方法 2：辅助线同上，利用面积方法 3：倍长中线 AD【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线ABC 中 方式 1： 延长 AD 到 E， AD 是 BC 边中线 使 DE=AD， 连接 BE 方式 2：间接倍长作 CFAD 于 F， 延长 MD 到 N，作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD【经典例题】例 1：ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围例 2：已知在ABC 中， AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE例 3：已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC于 F，求证： AF=EF提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明 BDGCDA三角形 BEG 是等腰三角形例 4：已知：如图，在 中， ，D、E 在 BC 上，且ABCACDABDAB CEDAB CFEDCBAND CBAMFEDAB CF ECABD图 1 图图 ABFD E C|DE=EC，过 D 作 交 AE 于点 F，DF=AC.BAF/求证：AE 平分 C提示：方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH例 5：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C= BAE提示：倍长 AE 至 F，连结 DF证明 ABEFDE（SAS）进而证明 ADFADC（SAS）【融会贯通】1、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF ，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长 AE、DF 交于 G证明 AB=GC、AF=GF所以 AB=AF+FC2、如图，AD 为 的中线， DE 平分 交 AB 于 E，DF 平分 交 AC 于 F. 求证：ABCBDAADCEFB3、已知：如图，ABC 中， C=90，CM AB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.提示：过 T 作 TNAB 于 N证明 BTNECD截长补短法引辅助线E DAB CFEAB C D图 14 图图 DFCBEAD A B C M T E |思路：当已知或求证中涉及到线段 a、b、c 有下列情况时： ，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例1. 如图，ABC 中，ACB2B，12。求证：ABACCD证法一：（补短法）延长AC 至点 F，使得 AFAB在ABD 和AFD 中ABDAFD（SAS）BFACB2BACB2F而ACBFFDCFFDCCDCF而 AFACCFAFACCDABACCD证法二：（截 长法）在 AB 上截取AEAC，连结 DE在AED 和ACD 中AEDACD（SAS）例2. 如图，在 RtABC 中，ABAC，BAC90°，12，CEBD 交 BD 的延长线于 E，证明：BD2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE 交于 F，证BEFBEC，得 ，再证ABDACF，得 BDCF。1、如图， 中，AB=2AC，AD 平分 ，且 AD=BD，求证：ABCBACCDACCDBA| EDCBADCBAPQCBA2、如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BD3、如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别ABC0604C在BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是 ， 的角平分线。求证：BABQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分 ，BC求证： 018CA5.已知：如图，ABC 中，AD 平分BAC，若C=2B,证明：AB=AC+CD.6.已知：如图，ABC 中，A=60°，B 与C 的平分线 BE,CF 交于点 I，求证：BC=BF+CE.7.已知：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，BF 平分CBE 交 CD 于F，求证：BE=CF+AE.DB CAF EICBA FBDACE|与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边） 。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（1）截取构全等如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分ABC，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。例 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。练习1 已知在ABC 中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC图 1-2ADB CEF图 1-3ABCDE图 1-4AB CDE图 1-1OABDEFC|2 已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE3 已知：在ABC 中，AB>AC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CM>AB-AC4 已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。（2） 、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1 如图 2-1，已知 AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180 分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC 与B 之和为平角。例 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例 3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC 的平分线也经过点 P。分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等练习：1如图 2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA，如果 PC=4，则 PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1图 2-1ABCDEF图 2-2AB CDE图 2-3PAB CMND F图 2-4BO APDC|2已知在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如图 2-5, BAC=CAD,AB>AD，CEAB，AE= （AB+AD）.求证：D+B=180 。214.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90 ,CDAB，垂足为D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。（3） 、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交） 。例 1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH= （AB-AC）2分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BAC 的内、外角平分线，过顶点 B 作 BN 垂直 AD,交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。图 2-5ABDCE图 2-6EAB CDF图 2-7FDCBAEH图 图 3-1ABCDHE图 3-2DABEFC图 3-3DB EFNACM|分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD 延长线于 M。求证：AM= （AB+AC）21分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM= EC，另外由求21证的结果 AM= （AB+AC） ，即 2AM=AB+AC，也可尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF21=CF 即可。练习：1 已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF 于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN= BC21（4） 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。例 4 如图，AB>AC, 1=2，求证：ABAC>BDCD。 12ACDBB DCA图 3-4nEBAD CMF图 4-2图 4-1CA BCBAFIEDHG|例 5 如图，BC>BA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。练习：1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC3已知 CE、AD 是ABC 的角平分线，B=60°，求证：AC=AE+CD4已知：如图在ABC 中，A=90°，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD(5)、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC 是等腰直角三角形， BAC=90°，BD 平分ABCA BECDCA BAB CDAEB D CAB DC1 2|OED CBA交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1= 2， BE=BE， BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+ F=3+F=90°，故1=3。在 ABD 和ACF 中，1=3，AB=AC，BAD= CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线。（六） 、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC 中，B=60°，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2：（06 郑州市中考题）如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求abAE、BE 的长.总结口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。EDGFCBA