全等三角形几种常见辅助线精典题型.doc

|全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，ABC60BDCEABC.BDCEO试判断 、 、 的数量关系，并加以证明ED2、如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点( 点 除外)，作MABDB，射线 与 外角的平分线交于点 ，60DNN N与 有怎样的数量关系?3、如图， AD AB， CB AB， DM=CM= ， AD= ， CB= ， AMD=75°，ahkBMC=45°，求 AB 的长。4、已知：如图， ABCD 是正方形， FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE.NEBMADDOECBAMD CBA|5、以 的 、 为边向三角形外作等边 、ABCAABD，连结 、 相交于点 求证： 平分 EDEOOE6、如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，ABC1BDC120以 为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，D60MDNA求 的周长AMN7、如图所示，在 中， ， 是底边 上的一点， 是线段 上的ABCADBCEAD一点，且 ，求证 .2ED2FEDCBAF AB CD EOOEDCBANMDCBAED CBA|8、 五边形 ABCDE 中，AB=AE， BC+DE=CD， ABC+AED=180°，求证： AD 平分 CDE二、全等与角度1、如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，求ABC60ADBCACBD的度数.ABC2、如图所示，在 中， ， ，又 在 上，ABCB20CMAC在 上，且满足 ， ，求 .NBC50N6ANB3、 在正 内取一点 ，使 ，在 外取一点 ，ABCDABACE使 ，且 ，求 .DEBEEDC EDBAD CBANMCBADECBA|4、如图所示，在 中， ， 为 内一点，使得ABC4ABCMABC， ，求 的度数.30MCA16M5、 如图：在 内取一点 ，使得 ， .设 ，ABCMBA3010MB80ACB，求 .AC6、如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平MABCDMNDABC分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系？ 如是正五边形，正六边形呢？NMCABMCBA|参考答案：一、截长补短1、 ，BECD理由是：在 上截取 ，连结 ，BFBEOF利用 证得 ， ，SAO12 ， ， ，60900CA120DE ， ， ，18DE 838 ， ， ，24234利用 证得 ， ， ASOFCBFCBD2、 .MN过点 作 交 于点 ， ，GBD GAMGD又 ，120AM 120NB ，而 ， ， 3、 过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 E.AMD=75°， BMC=45° DMC=60°DM=CM CD=DMAD AB， DE BC， CB AB， AMD=75°ADM=EDCADMCDENCDEBMA4321FDOECBAG NEBMADEMD CBA|AD=DE故 ABED 为正方形， AB=AD= ，选 D.h4、延长 CB 至 M，使得 BM=DF，连接 AM.AB=AD， AD CD， AB BM， BM=DF ABMADFAFD=AMB， DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为 、 是等边三角形，所以 ， ， ，ABDCEABDEACE60BAD则 ，所以 ，BAC则有 ， ， E在 上截取 ，连结 ，容易证得 ， FOFAFBO AFEO进而由 得 ；AA由 可得 ，即 平分 EEODE6、如图所示，延长 到 使ACE .CEBM在 与 中，因为 ， ， ，BDMBDC90MBECDBM所以 ，故 .因为 ， ，所以 .12060N 6N又因为 ，所以 . BCE0E在 与 中， ， ，MNDDMD，E所以 ，则 ，所以 的周长为 .E NAN2MFEDCBAF AB CD EOO EDCBAEAB CDM N|7、如图所示，作 的平分线交 于 ，又过 作 交 于 ，交 于 ，则知BEDBCFAHEF BGCH，从而 .12EAGFAGG又 ，则 .12由 可得 .BEBCAEBACE注意到 ，故有 ，从而 ， ，ACA 于是 .G又由 ，有 ， ，且 .HF H12GFHD而 ，从而 ，ED 12DEAEF即 ，故 .1122CBBC8、延长 DE 至 F，使得 EF=BC，连接 AC.ABC+AED=180°， AEF+AED=180° ABC=AEFAB=AE， BC=EF ABCAEF EF=BC， AC=AFBC+DE=CD CD=DE+EF=DFADCADF ADC=ADF即 AD 平分 CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长 至 使 ，连接 、 .ABEBDEC由 知 ，CDC而 ，则 为等边三角形.60注意到 ， ， ，EAAEAC故 .从而有 ， ，DCD故 .2BEEE所以 ，20 6028ABCB【另解】在 上取点 ，使得 ，则由题意可知 .ACCBD在 和 中， ， ， ，BDEEADEA则 ，从而 ，GHFED CBAAB DEFCED CBAED CBA|进而有 ， ，DECEDC.A2注意到 ，则：BA，13180120BABAC故 .80C【点评】由已知条件可以想到将折线 “拉直”成 ，利用角平分线 可以构造全等DEAD三角形.同样地，将 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然A的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法” ，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过 作 的平行线交 于 ，连接 交 于 .MABBCKAMBP连接 ，易知 、 均为正三角形.PNPM因为 ， ， ，5020所以 ， ， ，ABAB80PNB则 ， ，4PK1864P故 . 从而 .NMK进而有 ，N302BP3、如图所示，连接 .因为 ， ， ，DCADCBDC则 ，ADCB故 .0而 ， ， ，EEABB因此 ，B故 .30DC4、在 中，由 可得 ， .AB4ABCABC92如图所示，作 于 点，延长 交 于 点，连接 ，DMDOA则有 ，30OCMDNMCBADECBA|，4301BAOCA，64M所以 .又因为 ，909DOCOD所以 .12AAB120M而 ，因此 ，O故 .B由于 ，0M则 ，18302BO故 5BC5、如图所示， 的高 与直线 交于点 ，则 .ABCHBMEABE而 ，3012EAM，142C，(94)0HB，103AEA由两角夹一边法则可知 ，MEAC因此 ，MC1(80)702A6、 .在 上截取 ，DNAGAM ，GMB45 ， ，13 DNB ， ODMCABEHA BCMNCDEBMA|