全等三角形中辅助线的添加.doc

|全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接；（2）作平行线：过点作；（3）作垂线（作高）：过点作，垂足为；（4）作中线：取中点，连接；（5）延长并截取线段：延长使等于；（6）截取等长线段：在上截取，使等于；（7）作角平分线：作平分；作角等于已知角；（8）作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段） ，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。（6）构造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：（1）DAB CABC 中 AD 是 BC 边中线EDAB C方式 1： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE |FEDCBA方式 2：间接倍长，作 CFAD 于 F，作 BEAD 的延长线于 E，连接 BEND CBAM方式 3： 延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CD（2）由ABEBCD 导出 由ABEBCD 导出 由ABEBCD 导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4）旋转：|方法：延长其中一个补角的线段（延长 CD 到 E，使 ED=BM ， 连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN ， 连 AF ） 结论： MN=BM+DN ABCMN2 AM、 AN 分别平分 BMN 和 DNM翻折：思路:分别将 ABM 和 ADN 以 AM 和 AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、 P、 N 三点共线. （ B+D = 018且AB=AD）（5）手拉手模型 ABE 和 ACF 均为等边三角形 结论：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60°（“八字型”模型证明） ；（3）OA 平分EOF拓展：|条件： ABC 和 CDE 均为等边三角形 结论：（1） 、 AD=BE （2） 、 ACB=AOB （3） 、 PCQ 为等边三角形（4） 、 PQAE （5） 、 AP=BQ （6） 、 CO 平分 AOE （7） 、 OA=OB+OC（8） 、 OE=OC+OD （7） ， （8）需构造等边三角形证明） ABD 和 ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1） 、 BE=CD （2） BE CD ABEF 和 ACHD 均为正方形结论：（1） 、 BD CF （2） 、 BD=CF变形一： ABEF 和 ACHD 均为正方形， AS BC 交 FD 于 T，求证：T 为 FD 的中点. .ADFBCS方法一：方法二：|方法三：变形二： ABEF 和 ACHD 均为正方形，M 为 FD 的中点，求证： ANBC当以 AB、AC 为边构造正多边形时，总有： 1= 2= n3608.PFEDIHGBCA21PGFEDKJIHACB四、典型例题：| EDFCBAD CBA考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题 已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.练习：1、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.2、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA3、如图，CE、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且ACB=ABC，求证：CD=2CE。考点二：截长补短法：核心母题 如 图 ， AD BC， EA， EB分 别 平 分 DAB， CBA， CD过 点 E， 求 证 ： AB=AD+BC练习：|1、在ABC 中，BAC=60°，C=40°，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。2、如图，在 中， ，AD，CE 分别为 的平分线，求证：AC=AE+CDABC60ACB,3、如图，在ABC 中，AB=AC，D 是ABC 外一点，且ABD=60°，ACD=60°求证：BD+DC=AB4、已知：如图在ABC 中，AB=AC，D 为ABC 外一点，ABD=60°，ADB=90° BDC，求证：21AB=BDDC。考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题 已知：如图，在 RtABC 中，BAC=90°，AB=AC，D 是 BC 边上一点，ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC.AB CDEO|练习：1、已 知 ： 如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， E、 F 分 别 是 边 BC、 AB 上 的 点 ， 且 EF=ED， EF ED 求 证 ： AE 平分 BAD2、 两 个 全 等 的 含 30°， 60°角 的 三 角 板 ADE 和 三 角 板 ABC 如 图 所 示 放 置 ， E， A， C 三 点 在 一 条 直线 上 ， 连 接 BD， 取 BD 的 中 点 M， 连 接 ME， MC 试 判 断 EMC 的 形 状 ， 并 说 明 理 由 3、 如 图 所 示 ， AE AB， BC CD 且 AB=AE， BC=CD， F、 A、 G、 C、 H 在 同 一 直 线 上 ， 如 按 照 图 中 所 标注 的 数 据 及 符 号 ， 则 图 中 实 线 所 围 成 的 图 形 面 积 是 ？考点四：角平分线、中垂线法核心母题 1、在 中， ， 是 的平分线 是 上任意一点ABCADBACPAD求证： PCDBPA|2、已 知 等 腰 直 角 三 角 形 ABC， BC 是 斜 边 B 的 角 平 分 线 交 AC 于 D， 过 C 作 CE 与 BD 垂 直 且 交 BD延 长 线 于 E， 求 证 ： BD=2CE3、如图，ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于 D，F 为垂足，DEAB 于 E，且 ABAC，求证：BE-AC=AE考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 练习 1、如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°求证：AD 平分CDE.|2、 如 图 ， 已 知 AB=CD=AE=BC+DE=2， ABC= AED=90°， 求 五 边 形 ABCDE 的 面 积 3、 如 图 ， 在 ABC 中 ， ACB=90°， AC=BC， P 是 ABC 内 一 点 ， 且 PA=3， PC=2， PB=1 求 BPC的 度 数考点六：构造特殊三角形核心母题 如 图 ， 在 ABC 中 ， AD 交 边 BC 于 点 D， BAD=15°， ADC=4 BAD， DC=2BD（ 1） 求 B 的 度 数 ；（ 2） 求 证 ： CAD= B