漫谈投资组合的几何增值理论..doc

漫 谈 投 资 组 合 的 几 何 增 值 理 论从掷硬币打赌看投资组合问题什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同； 出 A 面你投一亏一，出 B 面你投一赚二；假设你开始只有 100 元，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。 可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注 10 元。但是，如果连输 10 次，你就完了。再说，如果你已经是万元户了，下 10 元是不是太少了? 每次将你的所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完(假设下注的资金可以无限小)； 第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的(1+0.2)×(1-0.1)=1.08 倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了? 有没有更快的方法? 有! 理论研究表明，每次将你所有资金的 25%或 0.25 倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。几个不同下注比例带来的资金变化如图 1 所示(掷币结果分别是 A, B, A, B, .)。实验表明，张大胆每次投 100，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被淘汰出局。李糊涂每次下 50，收益大起大落，到头来白忙。王保守每次下 10，稳赚但少赚；“你”每次下 25，长期看结果最好。前面的打赌中，硬币只有一个。 如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现 A 面 B 面是不同程度相关的(比如一个出 A 面，另一个十有八九相同?正相关，或相反反相关)，又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。 如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。投资组合也就是英文说的 portfolio。当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨(H. Markowitz)理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专著广义信息论，中国科技大学出版社，1993)和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者叫熵(shang)理论（因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准）， 并完成了专著投资组合的熵理论和信息价值?兼析股票期货等风险控制（中国科技大学出版社，1997)。现在笔者知道美国的 H. A. Latane 和 D. L. Tuttle 最早提出了用几何平均产出比?即 1+几何平均收益或平均复利?作为优化证券组合的准则；后来T. E. Cover 等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则. 不同的是，笔者的研究更注重应用。马科维茨理论及其缺陷1952 年，马科维茨发表了有家证券的选择：有效的转移。这篇开创性的论文导致了一个新理论?投资组合理论?的诞生。1990 年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了 H. 马科维茨，W. 夏普(Shape) 和 W. 米勒(Miller), 以表彰它们在投资组合和证券市场理论上的贡献。马科维茨用收益的期望 E 和标准方差?表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算术平均收益。收益的标准方差反映了收益的不确定性。比如对于上一节谈到的掷硬币打赌(亏时亏一倍，嬴时嬴两倍)，用全部资金下注时，E=P1 r1+P2 r2 =0.5×(-1)+0.5×2=0.5? =P1( r1-E)2+P2( r2-E)20. 5=0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)20.5=1.5上式中 P1=0.5 和 r1= -1 是亏钱的概率和幅度，P2=0.5 和 r2=2 是嬴钱的概率和幅度。根据马科维茨理论，期望越大越好，而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投资风险。至于两种证券或两种组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那么选择哪一个好呢？马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好，而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。马科维茨证明了，通过分散投资互不相关或反相关的证券，可以在不降低期望收益的情况下，减小总的投资的标准方差(即风险). 比如同时用两个硬币打赌，嬴亏幅度同样，每种证券下注 50%时, 收益的可能性有三种：1)两边亏，亏 100，概率是 1/4=0.25; 2)一亏一嬴，嬴 50, 概率是 1/2=0.5 ; 3)两边嬴，嬴 200，概率是 1/4=0.25. 这时期望收益E=0.5 不变，标准方差由 1.5 减小为?=0.25(-1-0.5)2+0.5(0.5-0.5)2+0.25(2-0.5)0. 5=1.06如果两个硬币的嬴亏总是反相关的，比如一个出 A 面，另一个必定出 B 面，反之亦然；则期望收益不变，标准方差为 0?完全无风险。马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例(当然也就不能解决前面的掷硬币打赌问题)； 缺陷之二是：标准偏差并不能很好反应风险。下面我们举例说明。例：两种证券当前价格皆是 1 元，证券 I(象是期权)未来价格可能是 0 元和 2 元，概率分别为 1/4 和 3/4（参看图 1，其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券 II(象是可转换债券)的收益的期望和标准方差同样是 0.5 和 0.886，但是收益的概率分布以 0.5 为中心(产出比以 1.5 为中心，)对称反转了一下.两者投资价值分析如表 1 所示(这里忽略银行利息和交易手续费)。图 1 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券表 1 期望和标准方差相同的两种证券的投资价值分析期望 标准方差 下 100时平均复利优化比例 优化后平均复利比例证券 I 05 0886 100 50 15证券 II 05 0886 32 100 32表中最优投资比例?100%意味着：如果可以贷款或透支，投更多更好。按 Markowitz 理论，A 和 B 投资价值相同，而按常识和投资组合的几何增值理论，B 远优于 A。 对于存在大比例亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射和地震保险（风险极大而标准方差并不大），马科维茨理论的缺陷尤为明显。几何级数增值的魅力1988-1989 年，日本股市从 21564 点上涨了 80，到达 38921 点；然后开始大跌，1992 年8 月跌到 14194 点，跌幅达 63。虽然 80大于 63，算术平均大于 0，可是总的来说是跌的，跌了约 1/3，因为累积产出比是 (1+0.8)(1-0.63)=0.666，累积收益是 0.666-1= -0.334-33.4. 炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，则先赚 50% 再亏 50%； 或者先亏后赚，虽然算术平均收益是 0，可是你的资金会变少(变成 0.5×1.5=0.75 倍)。可见算术平均收益不能反映实际增值情况。能反映实际增值的收益是什么呢？是几何平均收益。设每一元资金投资 N 年后变为 M 元，则累计产出比是 M/1=M。 累计产出比的 N 次开方 M1/N 被称为几何平均产出比， 我们记为Rg, 即 Rg=M1/N 。 投资的平均复利又叫几何平均收益，我们记为 rg，则有 rg=Rg-1. 可见几何平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。因为N 年累积产出比 M=RgN =(1+rg)N.投资组合的几何增值理论(或者说熵理论)就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标准，根据这一标准，使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。稳定的几何增长具有无比的魅力。几何平均收益的微小优势，在长期累计后可能导致惊人的成功。下表显示了几何平均收益对 20 年累积产出比的影响。表 1 几何平均收益对 20 年累积产出比的影响 几何平均收益 10% 15% 20% 23.8%20 年产出比 6.7 16.4 38.3 71.5其中 23.8%就是巴费特管理的伯克希尔公司 32 年里的几何平均收益。在过去的 32 年里，伯克希尔公司每股资产从 19 美元增长到 19011 美元，算术平均年收益大约是1000/32=3125，可是几何平均年收益只有 23.8%. 美国的基金管理大师彼得·林奇之所以有成功，是因为他十年里使基金的几何平均收益达到 30。有人做过计算说明，虽然两百年前美国政府从印地安人手里以极便宜的价格买了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益，则利滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面积的土地。可见稳定的几何平均收益的威力。有人炒期货看到可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入；有人炒期货还要透支。 中国人在期货市场上破产的比例极大，原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。许多股民类似，他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧；而对收益较为稳定的年收益达 2030的投资（比如认购新股)不以为然。这不能不说是中国股市不成熟的表现。笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。只要他们有耐心，采取稳健的策略(比如每年认购新股，如果认购新股效益不变的话)，一、二十年后成为百万富翁将极其容易。当然，对于包括笔者在内的许多人?既不年轻又有生活压力，要成为百万富翁，我们当采取更加进取的投资策略，即选择多种投资方式，优化投资组合，赢得更高的几何平均收益。掷硬币打赌问题的数学解答掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同； 出 A 面你投一亏一，出 B 面你投一赚二；假设你开始只有 100 元，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 不知读者是否记得中学学过的抛物线公式 y=ax2+bxc。抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹，它有一个最高点, 当水平距离 x= - b/(2a) 时，高度 y 达最大。下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比 Rg 随下注比例 q 的变化是要使 Rg 达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识，q= -1/2×(-2)=1/4=0.25=25%时，括号中的内容，也即几何平均收益 Rg 达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25是最优投资比例。图 1 几何平均收益 rg 和算术平均收益 ra 随 q 的变化对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益 ra 和几何平均收益 rg 随下注比例 q 的变化如图 1所示。容易看出，算术平均收益 rg 和投资比例 q 成正比关系；而几何平均收益不是，q 太大反而不好，如果 q>0.5 则从长远看必然亏损。上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即 P1=P2=0.5；嬴亏幅度是给定 的（1和 2)。 如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小, P1 和 P2 皆不等于 0.5, 并且嬴亏幅度也是变的(为 r1 小于 0 和 r2 大于 0)， 这时几何平均收益等于则这时最优比例如何求法？ 现在我们用 H 表示资金翻一番数目， 如果 Rg=2， 则 H=1; 如果 Rg 不等于 2 呢? 我们可以用 log2Rg 表示翻番数， 即H=log2Rg=P1log(1+r1q)+P2log2(1+r2q)这一公式很象通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数 H 叫做增值熵。这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这时要用到大学生学到的求极值的方法(可见数学还是有用的)。令 H 对 q 的导数等于 0 可以求出最优投资比例是q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2).注意上式分子括号中正好是算术平均收益。有了这一公式，我们就可以对付收益更复杂的打赌或投资。比如重复掷骰子打赌，可能出现的数字是 1 到 6；出 1，2 亏一倍，出3，4，5，6 嬴一倍。P1=1/3, P2=2/3, r1= ?1, r2=1。于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。读者不妨通过反复掷硬币或掷骰子检验上面结论。股票和国债的投资组合优化上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式： q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2).有人会问：剩下的资金不投资不是浪费掉了？回答是：剩下的资金如能产生稳定收益更好，即使不能产生，那也不是浪费。就象打仗要有后备军一样，风险投资也要有后备军，它能在前次投资亏损后发挥更大效用。可幸的是，目前深圳上海交易所允许股民同时从事股票和国债买卖，使得股民可以用“后备军”购买国债，同时得到稳定的国债收益。假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式，股票收益近似用掷硬币打赌收益来模拟，即已知国债收益率 r0 和股票收益的概率预测 P1,r1, P2, r2。如何优化股票和国债的投资比例？这时资金的平均翻番数或增值熵变为H=log2Rg=P1log2(1+r0q0+r1q)+P2log2(1+r0q0+r2q)其中 q01q, 是投资国债的比例。令 H 对 q 的导数等于 0 可以求出最优投资比例：q*= ?(P1d1+P2d2)R0/(d1d2).其中 R0=1+r0, 是投资国债的产出比；d1=r1- r0 和 d2=r2?r0 是超出国债收益的收益。国债收益也可以说是市场平均收益，我们可以说 d1 和 d2 是超常收益。因为国债利率反映了资金成本，我们也说上式是考虑资金成本的优化公式。例：可选择的投资是股票和国债，投资人每年年终调整投资比例, 股市每年的涨跌幅由掷硬币确定，收益预测 P1=P2=0.5, r1= -0.3, r2=0.8，一年期国债收益率是 r0=0.1; 求股票最优投资比例 q*(忽略手续费)。解:已知 R0=1+r0=1.1; d1= -0.3-0.1= -0.4, d2=0.8-0.1=0.7; 由上面公式可以求出q*=0.59.故最优的股票和国债投资比例是 0.59:0.41。图 1 三种投资方式资金增值比较我们按三种不同方式重复投资，资金增值情况如图 1 所示。其中假设有十个年头，每年收益预测相同; 按优化的投资比例投资，则投资者每年年终都要转移一下资金。如果上一轮股票赚了就减少股票仓位，否则就增仓，保持适当的持股比例这是取胜的关键。由图可见，全投股票或全投国债的效果显然不如优化的组合。怎样战胜小神仙赌博和投资并没有严格的分界线。首先，两者收益都是不确定的；其次，同样的投资工具，比如期货，你可以按照投资的方式来做，也可以按照赌博的方式来做不做任何分析，孤注一掷；同样的赌博工具，比如赌马，你可以象通常人们所做的那样去碰运气，也可以象投资高科技产业那样去投资基于细致的分析按恰当的比例下注。但是赌博和投资也有显然不同的地方：投资要求期望收益一定大于 0，而赌博不要求.。比如通常人们买彩票、赌马、赌大小 的期望收益就小于 0。支撑投资的是关于未来收益的分析和预测，而支撑赌博的是侥幸获胜心理。投资要求回避风险，而赌博是找风险。一种投资工具可能使每个投资者获益，而赌博工具不可能。投资也是一种博弈对手是“市场先生”。但是评价投资和评价通常的博弈比如下围棋不同。下围棋赢一目空和赢一百目空是等价的，而投资赚钱是越多越好。由于评价标准不同，策略也不同。对于赌大小或赌红黑那样的赌博，很多人推荐这样一种策略：首先下一元（或 1），如果输了，赌注加倍；如果赢了，从头开始再下一元。理由是只要有一次赢了，你就可以扳回前面的全部损失，反过来成为赢家赢一元；有人还认为它是一种不错的期货投资策略。但是从几何增值理论看，这是一种糟透了的策略。因为这样做虽然胜率很高，但是赢时赢得少，输时输得多可能倾家荡产，期望收益为 0 不变，而风险无限大。不过，这种策略对于下围棋等博弈倒是很合适，因为下围棋重要的是输赢，而不在于输赢多少目。围棋手在实空不如对手的情况下扩大战争或放出胜负手就是采用这一策略。电影生死赌门上面有个小神仙，特别善于心理战。赌博方式是猜宝，那里的宝是两个分别涂有红黑二色的圆块块。小神仙在密室里把其中之一放在宝盒中，然后让人拿出宝盒供大家下注，下中颜色者赢，否则输。猜家总是根据前面的颜色预测后面的颜色，如果出宝者出的颜色顺序和猜家预测的不同，猜家就会输。有一次小神仙一连出十几个黑，令众多赌徒大跌眼镜。后来赌场老板为鼓励其他赌博高手向小神仙挑战，给予优惠赔率：挑战者输了一赔一，赢了一赔五。结果小神仙还是一再赢了。现实中可能有这样赢钱的赌坊吗？我说可能。假设每赌三次小神仙赢两次，赌徒每次拿出自己的一半资金下注，那么赌徒的几何平均产出比是0.52×3.51/3<1, 重复赌下去，赌徒必输无疑。很多赌徒没有足够的耐心，输到一定程度就孤注一掷，那样亏光更快。怎样战胜小神仙呢？首先要有恰当的比例。根据熵理论得出的比例是(嬴亏概率分别是 1/3和 2/3，幅度是-1 和 5):q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2)? (2/3)×(-1)+(1/3)×5/(-1×5)=0.2即每次拿出你的 20资金下注，多次重复，必能取胜。另外，你可以通过掷硬币确定下哪一种颜色，由此避免心理战。小神仙再聪明也难猜中掷硬币结果，那样你的胜率当接近 1/2。如果你没有太好的运气，赌场老板不是一赔五，而是一赔二，即使你通过掷硬币避免心理战的不利，你也要注意控制下注比例（25最优，超过 50就会输钱）。由前面分析可以看出，赌场老板赢钱的一个重要原因是：参赌者没有足够的耐心，或赌注下限太高，使得赌友很容易输光自己的资金，失去扳本的机会；而赌场老板的“战斗寿命”要长得多，因为资金实力更大，也因为面对不同的赌友老板分散了投资，因而不容易输光。另外，许多赌博方式都有庄家占先的特例，比如掷 3 只骰子赌大小，只要庄家掷出三个“1”或三个一样，则不管下注者掷出什么，庄家通吃，这使得庄家的期望收益大于 0，而下注者的期望收益小于 0。从统计的角度看，赌得越久，庄家胜率越大。有部美国电影叫赌场风云，其中讲道，如果游客嬴了大钱，老板就会想方设法缠住他再赌，使用的办法小到让妓女去挽留，大到让飞机晚点。没有耐心的赢家往往很快会变为输家。上面讲的还是比较规范的赌场，有的赌场在赌具上搞鬼，或者使用暴力挽回损失，那么赌徒就更没有赢钱的希望。想通过赌博赚钱往往是“出去减羊毛，自己的脑瓜被剃成瓢”。但是由于人的冒险本性和总希望有意外惊喜的本性，使得赌博可以作为一种娱乐。注意，赌注小点再小点，不然娱乐就会变成痛苦。股民跟庄和赌徒企图战胜小神仙类似。如果预计的盈利幅度不是远大于亏损幅度，则最好避而远之； 即使盈利可能性和幅度较大，也应以恰当的比例下注。从巴费特的一笔生意看保险公司如何量力而行巴菲特不仅是股票投资大师，还是杰出的保险经营家。他的一个著名经营策略是：在别人纷纷降价销售保险，扩大市场的时候，自己收缩保险业务；在别人遭受破产风险之后，自己再加大保险业务。正是由于这一策略，巴菲特控股的保险公司(GEICO)才能在竞争激烈的保险市场上发展壮大。巴菲特的这一策略通俗说来就是：量力而行，生存唯上。但是巴菲特又敢于冒别人不敢冒的风险。下面的例子说明他特别善于在风险和收益之间作适当的权衡。最近，巴菲特又做了一桩很大的保险生意。他和加州政府签订协议：在 1997 年 4 月 1 日到2001 年 3 月 31 日的四年里，加州如发生损失达 70 亿美元的地震灾害，巴菲特将赔偿 15亿。加州为此现在付给巴菲特 5.9 亿美元。据历史统计，加州出现超过 70 亿元的地震损失大约 80 年一次，即巴菲特赔偿损失的概率是 4/80=1/20=5%.这笔保险生意看来很合算，因为承保人的期望收益是 5.9-15×5%=5.15 亿。一旦赔偿，损失是 155.9=9.1 亿（忽略银行利息)。但是为什么没有人出低于 5.9 亿的价格抢走巴菲特的生意呢？可能的原因是：1)其他承保人心有余而力不足；2)其他承保人担心未来 4 年发生大地震的概率比过去大许多；3)巴菲特通过非保费竞争手段赢得了这桩生意。对于第三种因素我们姑且不论。现在我们从几何增值理论的角度考虑前两个因素。首先，假设赔偿损失的概率是 5，求自有资本达多大的承保人承保最好。对于本例，P1=0.05, P2=0.95。 我们可以设亏损额 9.1 亿就是投资额，则 r1= -1, r2=5.15/9.1=0.57。利用不考虑资金成本的优化比例公式，可以求出最优投资比例：q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)= -0.05×(-1)+0.95×0.57/(-1×0.57)=0.862令 q*=投资额/自有资本，可得：自有资本投资额/q*=9.1/0.86210.56 亿。即：自有资金为 10.56 亿的承保人承保，可使自己的资金几何平均增值最快。巴菲特的保险公司资产远超过 10.56 亿，故承保更安全。现在我们看另一个问题：假设保险公司自有资产为 30 亿, 问赔偿概率大到什么程度，保险公司才不合算。令几何平均收益或增值熵等于 0，即H=log2Rg=P1log(1-9.1/30)+(1-P1)log2(1+5.15/30)=0由此方程可以解出 P1=0.3。这就是说，当亏损概率达到 0.3 时，如此保险才是不合算的(重复如此保险将使自己的资金不断减少)；如果考虑管理费用，这一比例应更低一些。从上面分析可以看出，退出竞争的保险公司过高地估计了承保的风险。保险公司如何参与火箭发射保险竞争？几何增值理论同样可以告诉你如何量力而行。例：卫星发射有失败和成功两种可能，担保金额是 2 亿，保费是 3 千万，失败和成功的概率分别为 0.1 和 0.9，问有多少净资产的公司适于独家承保；净资产为 3 亿的保险公司应分保多大比例？解：P1=0.1, P2=0.9; 险公司的投资亏损时亏 1 倍, 盈利时赚 0.3/2=0.15 倍, 故 r1=-1, r2=0.15. 利用前面公式可以算出最优投资比例是 q*=0.23。设保险公司净资产为 Z, 则投资比例 q=2/Z。令 q=q*=0.23, 可得 Z=Z*=2/0.23=8.7。故净资产大于或等于 8.7 亿的保险公司适于独家保险。仅有 3 亿净资产的公司适于承保的比例是 3/8.7=0.34=34%。前面假设保险公司在同一期间只承保一桩风险。如果承保多桩风险，就要用到更复杂数学公式甚至电脑程序, 一般情况下要求承保人有更强的实力。上面的优化公式仍不失参考价值。从目前的自然灾害、飞机失事等保险行情来看，保费比率太高了，使得开保险公司远比开赌场合算。希望上面的分析有助于保险行业的竞争，使买保险者受益。医疗等保险和卫星发射的地震灾害保险不同, 可能嬴亏幅度 xi 有多种，保险赔偿比率的概率分布可以通过统计得到。假设 x0 是保本比率(其确定考虑了保费的投资收益和管理费用)。第 i 种比率发生时，保险公司的产出比是 ri=1+q(x0-xi)/x0, 其中 q 等于保费除以保险公司净资产。则相应的增值熵是H=Si P(xi)log21+q(1-xi/x0)（Si 表示累加)。对于给定的赔率 xi 的概率分布和保本赔率 x0, 可以用电脑求出最优承保比例 q*。设 q 是保费比率 f 的函数(因为 f 越小棗即保险越便宜，q 将越大棗即投保人越多), 即 q=q(f)，则通过上式可以求出最优的保费比率 f *。在降低保费比率以便增加客户的同时也会增加风险，风险大了又要求有较低的最优投资比例 q*。目前在中国，许多保险公司不顾一切地抢占市场(特别是人寿和养老保险市场)，好象保费是没有成本的利润，不要白不要，这是很危险的。美国就曾有许多保险公司因降价出售保险而破产。巴菲特的策略揪他在保险市场过热时情愿失去部分市场而不降价出售保险，在别人无力承保时加大承保量值得借鉴。怎样根据盈亏的幅度和概率定头寸笔者曾听到一位经纪人说：“我看到一个又一个来做期货的亏完钱离开的样子，心里真不是滋味；好象我们把人家骗来，搜光他们身上的钱，再把他们赶出去。”笔者以为原因主要在于头寸控制不好。罗恩·迈克尔森在世界杰出交易商的特色(中国期货，96 年 2 月)一文中写道：一般来说，什么队能拿全国或世界杯呢？是防守好的。交易大师总是留有退路，以便东山再起。交易大师总是保存资本。拉里·海特每次交易只拿出 1的资本。投资者商业报的比尔·奥尼尔说，每庄买卖所耗费的资本不要超过 7，超过 7，他就会被赶出市场。埃德·赛柯塔说，保存资本是最重要的赚钱秘密，如果不能保存实力，就不能把期货交易进行到底。很多人认为，只投入一小部分资金，手里留那么多现金，这不是很浪费吗？从几何增值的角度看， 即使其他资金不投在别处，那也不是浪费。因为期货交易就象打仗，留下的现金就是你的后备军，它能在你亏损时发挥更大效用。笔者赞成头寸控制的重要性，但是不以为 7或 10是牢不可破的界限。头寸控制在多大范围内，应以盈亏的概率预测而定。有人说，只要盈利的空间（或者说幅度）是亏损空间的三倍，就值得投资。但是投多少呢？可以百分之百投入吗？盈亏概率不等时又如何处理? 下面我们先看盈亏等概率时, 优化比例如何随盈亏幅度变化。例：对于只有盈亏可能性皆相同的投资，一种是股票，盈亏相对(相对于保证金)幅度是 -10和 30；另一种是期货，盈亏相对幅度是 -100和 300，求优化的投资比例(忽略资金成本和交易手续费）。解：用最优投资比例公式q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)可以得出结论：对于前者，可以满仓甚至透支投入；而对于后者，最优比例是 33%。这表明，风险越大，投资比例应越小。根据盈亏概率定头寸可以同样依据上面公式。假设两种可能的盈亏幅度是：r1=-2, r2=3; 当 0<P1<1 时（ 其中 P1 是亏损概率)， q*=(3-5P1)/6。图 1 显示了最优下注比例随亏损概率的变化。