初中数学竞赛试题及答案汇编.doc

才哥数学 481659882全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998 年全国初中数学竞赛试卷 .11999 年全国初中数学竞赛试卷 .62000 年全国初中数学竞赛试题解答 .92001 年 TI 杯全国初中数学竞赛试题 B 卷 .142002 年全国初中数学竞赛试题 .152003 年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 .172004 年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 .252005 年全国初中数学竞赛试卷 .302006 年全国初中数学竞赛试题 .322007 年全国初中数学竞赛试题 .382008 年全国初中数学竞赛试题 .462009 年全国初中数学竞赛试题 .472010 年全国初中数学竞赛试题 .522011 年全国初中数学竞赛试题 .57才哥数学 4816598822012 年全国初中数学竞赛试题 .602013 年全国初中数学竞赛试题 .732014 年全国初中数学竞赛预赛 .772015 年全国初中数学竞赛预赛 .852016 年全国初中数学联合竞赛试题 .942017 年全国初中数学联赛初赛试卷 .1032018 年初中数学联赛试题 .105才哥数学 48165988211998 年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题 6 分，共 30 分）1、已知 a、b、c 都是实数，并且 ，那么下列式子中正确的是（ ）cba（） （） （） （）ccba2、如果方程 的两根之差是 1，那么 p 的值为（ ）012px（）2（）4（） （）353、在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BDCE ，BD=4，CE=6，那么ABC 的面积等于（ ）（）12（）14（）16（）184、已知 ，并且 ，那么直线 一定通过第（ ）象限0abcpbaccapxy（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式组 的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数 a、b 的有序数对（a、b）共有089bxa（ ）（）17 个（）64 个（）72 个（）81 个二、填空题：（每小题 6 分，共 30 分）6、在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上任意一点，PEBD，PFAC ，E 、F 分别是垂足，那么 PE+PF=_。7、已知直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于32xy2xy_。8、已知圆环内直径为 acm，外直径为 bcm，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm。9、已知方程 （其中 a 是非负整数） ，至少有一个整数根，那么015328322 axaxaa=_。10、B 船在 A 船的西偏北 450 处，两船相距 km，若 A 船向西航行，B 船同时向南航行，且 B 船的速度为 A2船速度的 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离是_km。才哥数学 4816598822三、解答题：（每小题 20 分，共 60 分）11、如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=1 ，A=900， 点 E 为腰 AC 中点，点 F 在底边 BC 上，且 FEBE，求CEF 的面积。12、设抛物线 的图象与 x 轴45212axy 只有一个交点， （1）求 a 的值；（2）求 的值。683a13、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台， 现在决定把这些机器支援给 D 市 18 台，E 市 10 台。已知：从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。（1）设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，求总运费 W（元）关于 x（台）的函数关系式，并求 W 的最大值和最小值。（2）设从 A 市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用 x、y 表示总运费 W（元） ，并求W 的最大值和最小值。解 答1根据不等式性质，选 B 2由=p2-40 及 p2，设 x1，x2 为方程两根，那么有 x1+x2=-p，x1x2=1又由(x1-x2)2=(x1 x2)2-4x1x2，3如图 3271，连 ED，则又因为 DE 是ABC 两边中点连线，所以故选 C4由条件得AB CEF才哥数学 4816598823三式相加得 2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有 p=2 或 a+bc 0当 p=2 时，y=2x 2，则直线通过第一、二、三象限y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限故选 B ，的可以区间，如图 3272+1，3×82，3×83，3×88，共 8 个，9×8=72(个)故选 C6如图 3273，过 A 作 AGBD 于 G因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以 PEPF=AG因为 AD=12，AB=5，所以 BD=13，所 7如图 3-274，直线 y=-2x+3 与抛物线 y=x2 的交点坐标为 A(1，1) ，B(-3，9)作 AA1，BB1 分别垂直于 x 轴，垂足为 A1，B1，所以才哥数学 48165988248如图 3275，当圆环为 3 个时，链长为当圆环为 50 个时，链长为9因为 a0，解得故 a 可取 1，3 或 510如图 3276，设经过 t 小时后，A 船、B 船分别航行到 A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x| ，所以才哥数学 481659882511解法 1 如图 3277，过 C 作 CDCE 与 EF 的延长线交于 D因为ABEAEB=90°，CEDAEB=90°，所以 ABE=CED于是 RtABE Rt CED，所以又ECF=DCF=45°，所以 CF 是DCE 的平分线，点 F 到 CE 和 CD 的距离相等，所以所以解法 2 如图 3278，作 FHCE 于 H，设 FH=h因为ABEAEB90°，FEH+AEB=90°，所以 ABE=FEH，于是 Rt EHFRtBAE 因为所以12(1)因为抛物线与 x 轴只有一个交点，所以一元二次方程才哥数学 4816598826有两个相等的实根，于是(2)由(1)知，a2=a1，反复利用此式可得a4=(a1)2=a22a+1=3a+2 ，a8=(3a2)2=9a2 12a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169987a610，a18(987a610)(a 1) 987a21597a 610=2584a1597又因为 a2-a-1=0，所以 64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1所以a18323a6=2584a1597 323(-8a13)=579613(1)由题设知，A 市、 B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，x，18-2x ，发往 E 市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10于是W=200x300x+400(18-2x) 800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x17200W=-800x 17200(5x 9，x 是整数)由上式可知，W 是随着 x 的增加而减少的，所以当 x=9 时，W 取到最小值 10000 元；当 x=5 时，W 取到最大值 13200 元(2)由题设知，A 市、B 市、 C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，y，18-x-y ，发往 E 市的机器台数分别为 10-才哥数学 4816598827x，10-y，xy-10于是W=200x+800(10-x)+300y 700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y+17200W=-500x-300y+17200，且W=-200x-300(x+y)+17200-200×10-300×1817200=9800当 x=10，y=8 时，W=9800，所以 W 的最小值为 9800又W=-200x-300(x y)17200-200×0-300×10+17200=14200，当 x=0，y=10 时，W=14200，所以 W 的最大值为 142001999 年全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分每小题均给出了代号为 A，B， C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的请将正确答案的代号填在题后的括号里） 才哥数学 48165988281一个凸 n 边形的内角和小于 1999°，那么 n 的最大值是（ ） A11 B12 C13 D14 2某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按每立方米 0.8 元收费；如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米 1.2 元收费已知某用户 4 月份的煤气费平均每立方米 0.88 元，那么 4 月份该用户应交煤气费（ ） A60 元 B66 元 C75 元 D78 元 3已知 ，那么代数式 的值为（ ） A B C D 4在三角形 ABC 中，D 是边 BC 上的一点，已知 AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形 ABC 的面积是（ ） A30 B36 C72 D125 5如果抛物线 与 x 轴的交点为 A，B，项点为 C，那么三角形 ABC 的面积的最小值是（ ） A1 B2 C3 D4 6在正五边形 ABCDE 所在的平面内能 找到点 P，使得PCD 与BCD 的面积相等，并且ABP 为等腰三角形，这样的不同 的点 P 的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分， 满分 30 分） 7已知 ，那么 x2 + y2 的值为 8如图 1，正方形 ABCD 的边长为 10cm，点 E 在边 CB 的延长线上，且 EB=10cm，点 P 在边 DC 上运动，EP 与 AB 的交点为 F设 DP=xcm，EFB 与四边形 AFPD 的面积和为 ycm2，那么，y 与 x 之间的函数关系式是 （0x10）