2002年考研数学二试题-及其答案~.doc

-_2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题数学二试题解析解析一、填空题一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分把答案填在题中横线上 ）（1）设函数在处连续，则_ 0,e, 0,2arcsine1)(2tanxaxxxfxx0xa【答案】2【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数在处连续，则有;)(xf0xx )()(lim)(lim0 00xfxfxf xxxx 解析： tan0001tanlim( )limlim2 arcsin22xxxxexf xxx=200lim( )lim,(0),xxxf xaea fa 在处连续即( )f x0x (0 )(0 )(0),fff2.a （2）位于曲线,下方，轴上方的无界图形的面积是_xxey x0x【答案】1【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】解析：所求面积为1)( 00000 xxxxxedxexeexddxxeS其中，.01limlimlim xxxxxxeexxe必必必（3）微分方程满足初始条件，的特解是_02yyy10xy21|0xy【答案】1yx-_【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺，则令.xdydppypy ,解析：方法方法 1：将改写为，从而得.以初始条件20yyy()0yy 1yyC 代入，有，所以得.即，改写为.解得1(0)1,(0)2yy1112C1 2yy 21yy 2()1y .再以初值代入，所以应取且.于是特解.2,yxC2yxC 21C “ “21C 1yx方法方法 2：这是属于缺的类型.命.x( ,)yf y y,dpdp dydpyp ypdxdy dxdy原方程化为，得或20yyy20dpyppdy0p 0dpypdy即，不满足初始条件，弃之，0p 0dy dx1'02yx由按分离变量法解之，得由初始条件可将先定出来：0dpypdy1.C y11, '002yyxx1C.于是得,解之，得.以代入，得1 111,212CC1 2dy dxy2 22,yxCyxC 01xy，所以应取“+”号且.于是特解是.21C 21C 1yx（4）_ nnnn2cos1cos11limcos1nn【答案】2 2 【考点】定积分的概念【难易度】【详解】解析：记 121 cos1 cos.1 cosnnunnnn 111 cos,nii nn-_所以 1011limlim1 cos1 cosnnnniiuxdxnn 11120002cos2cos2cos222xxxdxdxdx.122 22sin02x （5）矩阵的非零特征值是_ 222222220【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】【详解】解析：2222 2220 222222EA 200 011(4) 222 故是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是(二重)） 40二、选择题（本题共二、选择题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分每小题给出的四个选项中，只有一项符合分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 ）（1）设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增)(uf)(2xfy x1x1 . 0x量的线性主部为，则（ ） y1 . 0) 1 (f （A）1（B）0.1（C）1（D）0.5【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：为的线性主部；dyy；)()()(xgxgfxgf解析：在可导条件下，. 0()x xdyyxoxdx -_当时称为的线性主部， 00x xdy dx 0x xdyxdxy现在，以2()2dyxfxx xdx 1,0.1xx 代入得，由题设它等于 0.1，于是，应选（D）.(1) 0.2dyxfdx (1)0.5f （2）设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） )(xf（A）（B）.d)(20ttfx.d)(20ttfx（C）（D）.d)()( 0ttftftx.d)()( 0ttftftx【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：为 的奇函数，为的偶函数， （D）正确， ( )()t f tftt 0 ( )()xt f tft dtx（A） 、 （C）是的奇函数， （B）可能非奇非偶.例如，均不选.x( )1f tt （3）设是二阶常系数微分方程满足初始条件)(xyy xqypyy3e)0(y的特解，则当时，函数的极限 （ ） 0)0( y0x)()1ln(2xyx（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 3【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法方法 1：220000ln(1)222limlimlimlim2( )( )( )( )1xxxxxxx y xy xy xy x洛洛方法方法 2：由.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有(0)(0)0,(0)1yyy，代入，有.2 2( )00()2xy xo x222000222ln(1)1limlimlim211()( )()22xxxxx o xy xxo xx =（4）设函数在内有界且可导，则（ ） )(xfy ), 0( （A）当时，必有0)(lim xf x. 0)(lim xf x-_（B）当存在时，必有)(limxf x . 0)(limxf x（C）当时，必有0)(lim 0 xf x. 0)(lim 0 xf x（D）当存在时，必有)(lim 0xf x . 0)(lim 0 xf x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：方法方法 1：排斥法（A）的反例它有界，但21( )sin,f xxx221( )sin2cos, lim( )0 xfxxxf xx 不存在.(C)与(D)的反例同（A）的反例.,但， （C）不成lim( ) xfx 0lim( )0 xf x 0lim( )10 xfx 立；， （D）也不成立.（A） 、 （C） 、 （D）都不对，故选（B） 0lim( )10 xfx 方法方法 2：证明（B）正确.设存在，记为，求证.用反证法，设.若lim( ) xfx A0A 0A ，则由保号性知，存在，当时,在区间上对用拉格朗日0A 00x 0xx( )2Afx0, x x( )f x中值定理知,有00000( )()( )()()(),.2Af xf xfxxf xxxxx，从而有，与有界矛盾.类似可证若亦矛盾.,x ( )f x ( )f x0A（5）设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由321,1321,2线性表示，则对于任意常数，必有（ ） 321,k（A）线性无关（B）线性相关321,21,k321,21,k（C）线性无关（D）线性相关321,21,k321,21,k【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】【详解】解析：方法方法 1：对任意常数，向量组，线性无关.k123, 12k用反证法，若，线性相关，因已知线性无关，故123, 12k123, 可由线性表出.12k123, -_设,因已知可由线性表出，设为12112233k 1123, 代入上式，得1112233lll2111222333()()()lll这和 不能由线性表出矛盾.故向量组，线性无关，2123, 123, 12k应选（A）.方法方法 2：用排除法取，向量组，即，线性相关不成立，排除（B）.取0k 123, 12k123, 2，向量组，即，线性无关不成立，排除（C）.0k 123, 12k123, 1时，线性相关不成立（证法与方法 1 类似，当时，选项（A） 、0k 123, 12k1k （D）向量组是一样的，但结论不同，其中（A）成立，显然（D）不成立.）排除（D）.三、三、 （本题满分（本题满分 6 分）分）已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方cos1r6程 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：切线方程：)(000xxyyy法线方程：)(10 00xxyyy解析：极坐标曲线化成直角坐标的参数方程为1 cosr 即(1 cos )cos(1 cos )sinxy 2coscos sincos sinx y 曲线上的点对应的直角坐标为633 13(,)24 24-_22666cossincos1.sin2cos sindy dyd dxdx d 于是得切线的直角坐标方程为，即1333()()2424yx353044xy法线方程为即. 13133()(),24124yx 31044xy四、四、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设求函数的表达式 , 10,) 1e (e, 01,232 )(22xxxxx xfxxttfxFxd)()( 1【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：当时10x 2233213111( )(2)().12222xxF xttdtttxx 当时，01x0110( )( )( )( )xxF xf t dtf t dtf t dt 23 200000111()12(1)2(1)11 021121111ln(1)ln(1)ln202121txxtttxxttxttx xxtettdttdeextdtxe dt eeeexxxeeee 所以3211,1022( )1lnln2,01112xxxxxx F xexxee 当当五、五、 （本题满分（本题满分 7 分）分）已知函数在内可导，且满足)(xf), 0( 1)(lim, 0)( xfxf x-_,e)()(lim110xhhxfhxxf求 )(xf【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：；，其中可以代表任何形式；e10)1 (lim )()(lim)( 0xfxfxf解析：，11()lnh( )() ( )f x hxhf xf xhxef x001()1()( )limlnlimln(1)( )( )hhf xhxf xhxf x hf xhf x001()( )()( )limln()lim()( )( )( )( ),0.( )hhf xhxf xxf xhxf x hf xf xf x xfxxf x从而得到 1( )1 ( )0()lim( )xfxhf xxhf xhxeef x由题设于是推得 ， 即 ( )1 ( )xfx f xx2( )1 ( )fx f xx解此微分方程，得 11ln( )f xCx 改写成 1 ( )xf xCe再由条件，推得，于是得lim( )1 xf x 1C 1 ( ).xf xe六、六、 （本题满分（本题满分 7 分）分）求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以0)2(dxyxxdy)(xyy )(xyy 2, 1xx及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小xx【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】-_【详解】本题涉及到的主要知识点：dxxfVbax)(2解析：一阶线性微分方程，由通解公式有21yyx 22 dxdxxxyeedxC2 21xdxCx221(),12xCxCxxx由曲线与及轴围成的图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 2yxCx1,2xxxx,2222131157()()523VxCxdxCC令,得6215()052dVCdC75.124C 又，故为的惟一极小值点，也是最小值点，( )0VC75 124C V于是所求曲线为275.124yxx七、七、 （本题满分（本题满分 7 分）分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为，闸门矩形部分的高 h 应为多少（米）？4:5m【考点】定积分的物理应用压力【难易度】【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元，2dAxdy因此压力微元 2(1)dpgxhy dy平板上所受的总压力为 ABCD1102(1)hPgxhy dy其中以代入，计算得 .1x 2 1Pgh抛物板上所受的总压力为 AOB1202(1),Pgxhy dy-_其中由抛物线方程知，代入，计算得 ，xy2124()315Pgh由题意，即， 12:5:4P P 25 1244()315hh 解之得（米） （舍去） ，即闸门矩形部分的高应为.2h 1 3h 2m八、八、 （本题满分（本题满分 8 分）分）设，证明数列的极限存在，并求此极限 ), 2 , 1( )3(, 3011nxxxxnnnnx【考点】数列的极限【难易度】【详解】解析：方法方法 1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2nnnnnnnxx xxx xx 222933()42033(3)(3)22nnnnnnnxxxxxxx 所以（当） ，即（当） ，数列有上界.13 2nx1,2,n 3 2nx 2,3,n 2,3,nx n 3 2再考虑（2）21(3)(3)(3)nnn nnnnn nnnxxxxxxxxxxx.(32)0.(3)nnnnnxxxxx2,3,n 所以单调增加.单调增加数列有上界，所以存在，记为 nx nxlimnnx . a(3)由两边取极限，于是得 1(3)nnnxxx(3),aaa2230,aa得或，但因且单调增，故，所以.3 2a 0a 0nx 0a 3lim2nnx 方法方法 2：由知及均为正数，故103x1x13x（）( )21111130(3)(3).22xxxxx =设，则 302kx113(3)(3).22kkkkkxxxxx =-_由数学归纳法知，对任意正整数有.2n 302nx21(3)(32)(3)0.(3)(3)nnnnn nnnnn nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx-=所以单调增，单调增加数列有上界，所以存在，记为. nx nxlimnnx a再由两边命取极限，得,或，1(3)nnnxxxn (3)aaa3 2a 0a 但因且单调增加，故，所以. 0nx 0a 3 2a 九、九、 （本题满分（本题满分 8 分）分）设，证明不等式ba 0ababab baa1lnln222【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法方法 1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.而 .lnln1(ln ),0.xbaxabba22112a bab其中第二个不等式来自不等式（当时） ，这样就证明了要证明的左边.222abab0ab方法方法 2：用单调性证，将改写为并移项，命，有.bx222 ()( )lnlna xaxxaax( )0a（当） ，22222124()( )()aax xaxxaxax222222()4()0()()xaax xa x axax0ax而推知当时，以代入即得证明.0xa( )0xxb再证右边不等式，用单调性证，将改写为并移项，命bx1( )lnln(),xxaxaax有，及( )0a2111()( )()0,222axaxxaxx xx ax 所以当时，再以代入，便得0xa( )0xxb-_即.1lnln(),babaablnln1ba baab右边证毕.十、十、 （本题满分（本题满分 8 分）分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且.)(xf0x0)0(, 0)0(, 0)0( fff证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是321,0h)0()3()2()(321fhfhfhf比高阶的无穷小 2h【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】【详解】解析：方法方法 1：由题目，去证存在唯一的一组,123, 123 20( )(2 )(3 )(0)lim0 hf hfhfhfLh由此知，分子极限应为 0，由在连续，于是推知，应有( )f x0x （1）1231.由洛必达法则，123 20( )(2 )(3 )(0)lim hf hfhfhfLh（2）1230( )2(2 )3(3 )lim2hfhfhfh h分子的极限为，1231230lim( )2(2 )3(3 )(23)(0) hfhfhfhf 若不为，则式（1）应为，与原设为矛盾，故分子的极限应是，即000（3）123230对（2）再用洛必达法则，123 1230( )4(2 )9(3 )1lim(49)(0)22hfhfhfhLf 由，故应有 （4）(0)0f 123490将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式111 12320, 149由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法方法 2：由佩亚诺余项泰勒公式-_22 11( )(0)(0)(0)(),2f hffhfho h22 2(2 )(0)2(0)2(0)(),fhffhfho h22 39(3 )(0)3(0)(0)(),2fhffhfho h代入123 20( )(2 )(3 )(0)0lim hf hfhfhf h2 123123123201(1) (0)(23)(0)(49)(0)2lim hffhfhh ，222 1 12233 2()()()o ho ho h h上面中第二项极限为 0，所以第一项中应有由于系数行列式1231231231230490 111 12320, 149由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）已知为阶矩阵，且满足，其中是阶单位矩阵BA,3EBBA421E3（1）证明：矩阵可逆；EA2（2）若，求矩阵 200021021 BA【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若有则称互逆.EAB BA,解析：（1）由题设条件124A BBE两边左乘，得 A24BABA即 24ABBA-_(2 )4884(2 )8AE BAEEAEE(2 )(4 )8AE BEE1(2 )(4 )8AEBEE得证可逆（且）.2AE11(2 )(4 )8AEBE(2) 方法方法 1：由（1）结果知1 11(2 )(4 )8(4 )8AEBEBE 18(4 )2ABEE120400320 4120040120 002004002BE 320 100120 0104120 010320 100002 001002 001BE E 010120 01012013080 1300100880011001100002211044100130100880011002 故 111044 13(4 )088 1002BE -_.1020 8(4 )2110002ABEE 方法方法 2：由题设条件 124A BBE等式两边左乘，得 A2(4 )BA BE则（求过程见方法 1）12 (4 )AB BE1(4 )BE110441201202201312 12001201308840020020041002.08002014401104008002 十二、十二、 （本题满分（本题满分 6 分）分）已知阶方阵均为维列向量，其中线性无关，443214321,),(A4432,如果，求线性方程组的通解 ,23214321Ax【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】【详解】解析：方法方法 1：由线性无关，及即线性相关，234, 123420,1234, 及知123412341234,( )3,rr Ar Ar 故有解，且其通解为，其中是对应齐次方程的通解，是的Axkk0Ax Ax一个特解,因 123420,故 123412341 220,01 0 -_故是的基础解系.1, 2,1,0T0Ax 又123412341 1,1 1 故是的一个特解，故方程组的通解为.（其中1,1,1,1TAx1, 2,1,01,1,1,1TTk是任意常数）k方法方法 2：令则线性非齐次方程为1234,Txx x x x1 12233441234,xxxxx 已知，故12341 1223344xxxx1234将代入上式，得123212213344(23)()(1)0xxxxx 由已知线性无关，上式成立当且仅当234, 1213423010xxxxx 取自由未知量，则方程组有解3xk431321,23xxk xxk xk 即方程组有通解Ax.（其中是任意常数）123410 2323 10 101xk xkkxk x k