2010年广州市高二数学竞赛试题-.doc.doc

-_图 12010 年广州市高二数学竞赛试题2010.5.92010.5.9 考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 2424 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的1. 直线R R 与圆的交点个数是( )10(xaya )2240xyxA. 0 B. 1 C. 2 D.无数个2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展 募捐活动，第一天只有 10 人捐款，人均捐款 10 元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的 2 倍，且人均捐款数比前一天多 5 元则截止第 5 天（包括第 5 天）捐款总数是( ).A4800 元 B8000 元 C9600 元 D11200 元3. 函数R R 的最大值和最小值分别为 cos2sin (f xxx x )A. B. C. D. 7, 087,289, 089,284. 若点是圆内的动点,则函数的一个零点在, a b2211xy 2f xxaxb内, 另一个零点在内的概率为1,00,1A. B. C. D.1 41 1 22 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3636 分分5. 已知大于 1 的实数满足, x ylg 2lglgxyxy则的最小值为 .lglgxy6. 将一边长为 4 的正方形纸片按照图 1 中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设、都是单位向量，且0， 则的最大值为 .abca b abbcw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时，,m nA,m n；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，则在此定义下， 集合mnmnA,m nmnmnA-_PxyD1C1ODCBAlBAMN NN N中元素的个数是 . ,10,Mp qpqpA*,q*9. 设是数列的前项和，若N N，则_.nS nan1113,2nnnaa a(n*) 2010S10. 在 Rt中,如果椭圆经过两点,它的一个焦点为,另一个焦ABC1ABAC,A BC点在上,则这个椭圆的离心率为 .AB三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，满分小题，满分 9090 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤11 （本小题满分 15 分）在中,分别是内角的对边,已知.ABC, ,a b c, ,A B C3272 ,cos,42 ACAABA BC(1) 求的值；cosB（2）求的值.b12 （本小题满分 15 分）如图，已知二面角的平面角为, 在半平面内有一个半圆, 其直径在 上, l 45OABl是这个半圆上任一点(除、外), 直线、与另一个半平面所成的MOABAMBM角分别为、. 试证明为定值.1222 12coscos13. (本小题满分 20 分）如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点为原点建立直角坐ABCD10AB 6BC ABCDABxAB标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, PxPCPDAB1C1D且成等比数列.1111,ADDCC B(1) 求动点的轨迹方程；P-_(2) 求动点到直线距离P: l60xy的最大值及取得最大值时点的坐标P14 （本小题满分 20 分）设，函数.0a|1ln|)(2xaxxf(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1a)(xfy 1,1f(2)当时，求函数的最小值.), 1 x)(xf15 （本小题满分 20 分）已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数，R( )f x5(1)2fxy、总有成立.( ) ( )()()f x f yf xyf xy（1）求的值，并证明为偶函数；(0)f( )f x（2）若数列满足，求数列的通项公式； na2 (1)( )(1,2,3,)naf nf n nna（3）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和 的大小关y( )2f y 12,x x12| |xx1()f x2()f x系，并证明你的结论. 2010 年广州市高二数学竞赛试题年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准参考答案与评分标准说明：说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果 考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：每小题一、选择题：每小题 6 分，满分分，满分 24 分分.-_KHlBAM1C 2B 3D 4A二、填空题：每小题二、填空题：每小题 6 分，满分分，满分 36 分分.5. 6. 7. 8. 9. 10. 3lg28 2 31213100519113263三、解答题：满分三、解答题：满分 9090 分分11. （本小题满分 15 分）解: (1) 32 ,cos0,4CAA . 2coscos22cos1CAA23121048 ,0,0AC .0,022AC ,. 27sin1 cos4AA23 7sin1cos8CC coscosBACcos AC coscossinsinACAC . 9 16(2) , . 27 2BA BC A27cos2acB . ,24ac sinsinsin22sincosaccc ACAAA. 由 解得 2 2cos3cacA2,3 24.acac 4, 6.a c .2222cosbacacB229462242516 . 5b 12. （本小题满分 15 分）证明：过作，为垂足，在内，作，为垂足，MMH HMKABK连接，则. ,KH AH BH12,MAHMBH,MHAB.MHAB平面，平面，,MKMHM MKMHKMH MHK平面.AB MHK-_FEPxyD1C1ODCBA平面，HK MHK .ABHK是二面角的平面角.MKHl . MKH45. 2 2MHMK在 Rt中，. AMB222,AMAK AB BMBK AB MKAK BKAAA在 Rt和 Rt中，. MHAMHB12sin,sinMHMH AMMB22 12sinsin2222MHMH AMMB2222MKMK AK ABBK ABAA22AK BKAK BK AK ABBK ABAA AA2BKAK AB. 1 22AB AB 22 12coscos2(22 123sinsin)213. （本小题满分 20 分）解：（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延P, x y0y P/PECDDAECB长线于.F在中, , 得，DPE1D ADA PEDE16 56D A xy得. 16 5 6xD Ay在中, , PCD111C DPDEACDPDED6y y得. 1110 6yC Dy-_18161412108642-2-4-6-8-10-12-14-16-30-25-20-15-10-551015202530lOyx同理可得. 16 5 6xC By 成等比数列，1111,ADDCC B .2 1111DCADC BA . 26 56 510 666xxy yyyA化简得.22 10259xyy 动点的轨迹方程为. P22 10259xyy(2)由图易知当与直线 平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线 距离的最大.lPPl设与直线平行的直线方程为，代入，: l60xy0xyk22 1259xy得 ， 223450252250xkxk由，222500340090kk解得，由，得. 234k 0k 34k 故点到直线 距离的最大值为. Pl34663 21722k把代入式，可解得点的坐标为. 34k P25 34 9 34,3434 14. （本小题满分 20 分）解:（1）当时，当时，1a|1ln|)(2xxxfxe21( )ln1,( )2f xxxfxxx令，得 所以切点为（1，2） ，切线的斜率为 1，1x, 1) 1 (, 2) 1 (ff所以曲线在处的切线方程为：. )(xfy 1x01 yx（2）当时， .ex axaxxfln)(2 xaxxf2)()(ex ，恒成立. 在上为增函数.0a0)(xf)(xf), e故当时，. ex 2 min)(eefy当时，（）ex 12( )lnf xxaxa)2)(2(22)(axaxxxaxxfex 1-_()当即时，若时，所以在区间上为增函数.故当时，, 12a20 a), 1 ( ex( )0fx)(xf), 1 e1x，且此时. ay1min)() 1 (eff()当，即时，若时，;ea21222ea )2, 1 (ax( )0fx若时,(, )2axe( )0fx所以在区间上为减函数，在上为增函数，)(xf)2, 1 a,2(ea故当时，且此时. 2ax 2ln223minaaay)()2(efaf()当；即时，若时，,所以在区间1,上为减ea222ea ), 1 ( ex( )0fx)(xfe函数，故当时，. ex 2 min)(eefy综上所述，当时，在和上的最小值都是,22ea )(xf), e1, ) e2e所以在上的最小值为；)(xf1,2)(eef当时，在时的最小值为，而，222ea )(xf1, ) e2ln223)2(aaaaf)()2(efaf所以在上的最小值为.)(xf1,2ln223)2(aaaaf当时，在时最小值为，在时的最小值为，20 a)(xf), e2e1, ) eaf1) 1 (而, 所以在上的最小值为.)() 1 (eff)(xf1,af1) 1 (所以函数的最小值为 )(xfy 2 min221,02,3ln,22,222 ,2.aaaaayaeeae 15.（本小题满分 20 分）解:（1）令，又，. 1,0xy 1011ffff5(1)2f 02f令，得 ，即0x (0) ( )( )()ff yf yfy2 ( )( )()f yf yfy对任意的实数总成立， 为偶函数. ( )()f yfyy f x（2）令，得 ，.1xy 1120ffff25(2)24f17(2)4f. 11752 (2)(1)622aff令，得，1,1xny(1) (1)(2)( )f nff nf n. 5(2)(1)( )2f nf nf n-_ 152212114122naf nf nf nf nf nf nf n22 (1)( )2(1).nf nf nan是以为首项，以为公比的等比数列. . na6216 2nna（3）结论：. 12()()f xf x证明：时，,0y ( )2f y ，即.()()( ) ( )2 ( )f xyf xyf x f yf x()( )( )()f xyf xf xf xy令（） ，故，总有成立. 则xkyk +Nk +N(1) ()()(1) fkyf kyf kyfky对于，总(1) ()()(1) (1) (2) ( )(0)0fkyf kyf kyfkyfkyfkyf yfk +N有成立. (1) ()fkyf ky对于，若，则有成立.,m n+Nnm()1()f nyfnyf my，所以可设，其中是非负整数，都是正整数，12,x x Q12 12 12|,|qqxxpp12,q q12,p p则，令，则.1212 12 1212|,|q pp qxxp pp p121yp p1212,tq p sp q, t s+N，即. 12| |xxts( )()f tyf sy12(|)(|)fxfx函数为偶函数，.( )f x1122(|)(),(|)()fxf xfxf x. 12()()f xf x