2012年北京市-高考-数学试卷-(理科~).doc

-_2012 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共一、选择题共 8 小题每小题小题每小题 5 分分.共共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项符合胜目要求的一项.1已知集合，则 AB=（ 320 ,130AxxBxxxRR）ABCD, 1 21,3 2,333,2设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，0202xy DD则此点到坐标原点的距离大于的概率是（ ）2ABCD42 2 64 43设 “”是“复数是纯虚数”的（ ）, a bR0a abiA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）SABCD24816-_5如图，于点，以为直径的圆与交于点则,9 0ACBCDABDBDBCE（ ）ABCCE CBAD DBCE CBAD ABD2AD ABCD2CE EBCD6从中选一个数字从 、中选两个数字，组成无重复数字的三位0, 2135数其中奇数的个数为（ ）ABCD24181267某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）ABCD286 5306 556 12 560 12 58某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示从目前记录的结果nSnn看，前年的年平均产量最高，则的值为（ ）mmABCD57911-_二二.填空题共填空题共小题每小题小题每小题分共分共分分.65309直线（ 为参数）与曲线 （为参数）的交点个数为 21xtyt t3cos3sinxy 10已知是等差数列，为其前项和若，则= nanSn1231,2aSa2a11在中，若 ，则= ABCA12,7, cos4abcB b12在直角坐标系中直线 过抛物线的焦点且与该抛物线相xOyl24yxF交于、两点其中点在轴上方若直线 的倾斜角为则的ABAxl60OAFA面积为 13己知正方形的边长为 ，点是边上的动点则的值为 ABCD1EABDE CB 14已知,若同时满足条件： 23 , ( )22xf xm xmxmg x或；,( )0xf x R( )0g x , 4 ,( ) ( )0xf x g x 则的取值范围是 m三、解答题公三、解答题公 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数.sincossin2( )sinxxxf xx（1）求的定义域及最小正周期； f x（2）求的单调递增区间 f x16如图 ，在中， ，分别是1Rt ABCA90C3,6BCAC,D E上的点，且，将沿折起到的位置，,AC ABDE,2BC DE ADEADE1ADEA使，如图1ACCD2-_（1）求证：平面；1ACBCDE（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；M1ADCM1ABE（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由BCP1ADP1ABE17近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计吨生活垃圾，数据统计如1000下（单位：吨） ；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为，其中当数据的方差最大时，写出, ,a b c0,600aabc, ,a b c2s的值（结论不要求证明） ，并求此时的值, ,a b c2s（求：，其中为数据的2222 121nSxxxxxxnx12,nx xx平均数）-_18已知函数. 23( )10 ,f xaxag xxbx（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求 yf x yg x1,c的值；, a b（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上24ab f xg x, 1 的最大值-_19已知曲线22: 528Cm xmymR（1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；Cxm（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方） ，直线4m Cy,A BAB与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点求4ykxC,M N1y BMG证：三点共线,A G N-_20设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于 AS（m，n） ，记 ri（A）为 A 的第行各数之和（1m） ，Cj（A）为 A的第 j 列各数之和（1jn） ；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表 A，求 K（A）的值；110.80.10.31（2）设数表 AS（2，3）形如11cab1求 K（A）的最大值；（3）给定正整数 t，对于所有的 AS（2，2t+1） ，求 K（A）的最大值-_2012 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 8 小题每小题小题每小题 5 分分.共共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项符合胜目要求的一项.1 （2012北京）已知集合 A=xR|3x+20，B=xR|（x+1） （x3）0，则AB=（ ）A （，1）B （1，） C，3D （3，+）【分析】求出集合 B，然后直接求解 AB【解答】解：因为 B=xR|（x+1） （x3）0=x|x1 或 x3，又集合 A=xR|3x+20=x|x，所以 AB=x|xx|x1 或 x3=x|x3，故选：D2 （2012北京）设不等式组，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）ABCD【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于 2 的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可【解答】解：其构成的区域 D 如图所示的边长为 2 的正方形，面积为 S1=4，满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2 为半径的圆外部，面积为=4，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 P=故选：D-_3 （2012北京）设 a，bR “a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件【解答】解：因为 a，bR “a=O”时“复数 a+bi 不一定是纯虚数”“复数 a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立所以 a，bR “a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件故选 B4 （2012北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2B4C8D16【分析】列出循环过程中 S 与 K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环-_【解答】解：第 1 次判断后 S=1，k=1，第 2 次判断后 S=2，k=2，第 3 次判断后 S=8，k=3，第 4 次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选 C5 （2012北京）如图，ACB=90°，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC交于点 E则（ ）ACECB=ADDBBCECB=ADABCADAB=CD2DCEEB=CD2【分析】连接 DE，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，DEBE，由ACB=90°，CDAB 于点 D，ACDCBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出 CECB=ADBD【解答】解：连接 DE，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，DEBE，ACB=90°，CDAB 于点 D，ACDCBD，CD2=ADBDCD2=CECB，CECB=ADBD，故选 A-_6 （2012北京）从 0、2 中选一个数字从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为（ ）A24B18C12D6【分析】分类讨论：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位；从 0、2 中选一个数字 2，则 2 排在十位或百位，由此可得结论【解答】解：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有=6 种；从 0、2 中选一个数字 2，则 2 排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有=6 种；2 排在百位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与十位，共有=6 种；故共有 3=18 种故选 B7 （2012北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A28+6B30+6C56+12D60+12【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形，-_一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 4，底边长为 5，如图，所以 S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B8 （2012北京）某棵果树前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）A5B7C9D11【分析】由已知中图象表示某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案【解答】解：若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P（S，n）点则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率由图易得当 n=9 时，直线 OP 的斜率最大-_即前 9 年的年平均产量最高，故选 C二二.填空题共填空题共 6 小题每小题小题每小题 5 分共分共 30 分分.9 （2012北京）直线（t 为参数）与曲线 （ 为参数）的交点个数为 2 【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论【解答】解：直线（t 为参数）化为普通方程为 x+y1=0曲线 （ 为参数）化为普通方程为 x2+y2=9圆心（0，0）到直线 x+y1=0 的距离为 d=直线与圆有两个交点故答案为：210 （2012北京）已知an是等差数列，sn为其前 n 项和若 a1=，s2=a3，则a2= 1 【分析】由an是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得 d=，由此能求出 a2【解答】解：an是等差数列，a1=，S2=a3，=，解得 d=，a2=1故答案为：1-_11 （2012北京）在ABC 中，若 a=2，b+c=7，cosB=，则 b= 4 【分析】根据 a=2，b+c=7，cosB=，利用余弦定理可得，即可求得 b 的值【解答】解：由题意，a=2，b+c=7，cosB=，b=4故答案为：412 （2012北京）在直角坐标系 xOy 中直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F且与该抛物线相交于 A、B 两点其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为60°则OAF 的面积为 【分析】确定直线 l 的方程，代入抛物线方程，确定 A 的坐标，从而可求OAF的面积【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F 的坐标为（1，0）直线 l 过 F，倾斜角为 60°直线 l 的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得y=2，或 y=A 在 x 轴上方OAF 的面积为=故答案为：13 （2012北京）己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点则的值为 1 【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可【解答】解：因为=1-_故答案为：114 （2012北京）已知 f（x）=m（x2m） （x+m+3） ，g（x）=2x2，若同时满足条件：xR，f（x）0 或 g（x）0；x（，4） ，f（x）g（x）0则 m 的取值范围是 （4，2） 【分析】由于 g（x）=2x20 时，x1，根据题意有 f（x）=m（x2m）（x+m+3）0 在 x1 时成立，根据二次函数的性质可求由于 x（，4） ，f（x）g（x）0，而 g（x）=2x20，则 f（x）=m（x2m） （x+m+3）0 在 x（，4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于g（x）=2x2，当 x1 时，g（x）0，又xR，f（x）0 或 g（x）0f（x）=m（x2m） （x+m+3）0 在 x1 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（1，0）的左面则4m0 即成立的范围为4m0又x（，4） ，f（x）g（x）0-_此时 g（x）=2x20 恒成立f（x）=m（x2m） （x+m+3）0 在 x（，4）有成立的可能，则只要4 比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当1m0 时，较小的根为m3，m34 不成立，（ii）当 m=1 时，两个根同为24，不成立，（iii）当4m1 时，较小的根为 2m，2m4 即 m2 成立综上可得成立时4m2故答案为：（4，2） 三、解答题公三、解答题公 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （2012北京）已知函数 f（x）=（1）求 f（x）的定义域及最小正周期；（2）求 f（x）的单调递增区间【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式， （1）直接求出函数的定义域和最小正周期（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可【解答】解：=sin2x1cos2x=sin（2x）1 kZ，x|xk，kZ（1）原函数的定义域为x|xk，kZ，最小正周期为 -_（2）由，kZ，解得，kZ，又x|xk，kZ，原函数的单调递增区间为，kZ，kZ16 （2012北京）如图 1，在 RtABC 中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图 2（1）求证：A1C平面 BCDE；（2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；（3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由【分析】 （1）证明 A1C平面 BCDE，因为 A1CCD，只需证明 A1CDE，即证明 DE平面 A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面 A1BE 法向量，=（1，0，） ，利用向量的夹角公式，即可求得 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；（3）设线段 BC 上存在点 P，设 P 点坐标为（0，a，0） ，则 a0，3，求出平面 A1DP 法向量为假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，则，可求得 0a3，从而可得结论【解答】 （1）证明：CDDE，A1DDE，CDA1D=D，DE平面 A1CD，-_又A1C平面 A1CD，A1CDE又 A1CCD，CDDE=DA1C平面 BCDE（2）解：如图建系，则 C（0，0，0） ，D（2，0，0） ，A1（0，0，2） ，B（0，3，0） ，E（2，2，0），设平面 A1BE 法向量为则又M（1，0，） ，=（1，0，）CM 与平面 A1BE 所成角的大小 45°（3）解：设线段 BC 上存在点 P，设 P 点坐标为（0，a，0） ，则 a0，3，设平面 A1DP 法向量为则假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，则，3a+12+3a=0，6a=12，a=20a3-_不存在线段 BC 上存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直17 （2012北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） ；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a，b，c，其中 a0，a+b+c=600当数据 a，b，c 的方差 s2最大时，写出a，b，c 的值（结论不要求证明） ，并求此时 s2的值（求：S2=+，其中 为数据x1，x2，xn的平均数）【分析】 （1）厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾”箱 400 吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得=，因此有当 a=600，b=0，c=0 时，有 s2=80000-_【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾”箱 400 吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：a+b+c=600，a，b，c 的平均数为 200=，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2，因此有当 a=600，b=0，c=0 时，有 s2=8000018 （2012北京）已知函数 f（x）=ax2+1（a0） ，g（x）=x3+bx（1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的值；（2）当 a2=4b 时，求函数 f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（，1）上的最大值【分析】 （1）根据曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 a、b 的值；（2）根据 a2=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（，1）上的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a0） ，则 f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则 g（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又 f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即 a=b，代入式可得：（2）由题设 a2=4b，设则，令 h'（x）=0，解得：，；-_a0，x（，）h（x）+h（x） 极大值 极小值原函数在（，）单调递增，在单调递减，在）上单调递增若，即 0a2 时，最大值为；若，即 2a6 时，最大值为若1时，即 a6 时，最大值为 h（）=1综上所述：当 a（0，2时，最大值为；当 a（2，+）时，最大值为19 （2012北京）已知曲线 C：（5m）x2+（m2）y2=8（mR）（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围；（2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方） ，直线y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G求证：A，G，N 三点共线【分析】 （1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得 m 的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，=32（2k23） ，解得：，设 N（xN，kxN+4） ，M（xM，kxM+4） ，G（xG，1） ，MB 方程为：，则，从而可得，=（xN，kxN+2） ，欲证 A，G，N 三点共线，只需证，共线，利用韦达定-_理，可以证明【解答】 （1）解：原曲线方程可化简得：由题意，曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得：，解得：（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，=32（2k23）0，解得：由韦达定理得：，设 N（xN，kxN+4） ，M（xM，kxM+4） ，G（xG，1） ，MB 方程为：，则，=（xN，kxN+2） ，欲证 A，G，N 三点共线，只需证，共线即成立，化简得：（3k+k）xMxN=6（xM+xN）将代入可得等式成立，则 A，G，N 三点共线得证20 （2012北京）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于 AS（m，n） ，记 ri（A）为 A 的第行各数之和（1m） ，Cj（A）为 A 的第 j 列各数之和（1jn） ；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表 A，求 K（A）的值；-_110.80.10.31（2）设数表 AS（2，3）形如11cab1求 K（A）的最大值；（3）给定正整数 t，对于所有的 AS（2，2t+1） ，求 K（A）的最大值【分析】 （1）根据 ri（A） ，Cj（A） ，定义求出 r1（A） ，r2（A） ，c1（A） ，c2（A） ，c3（A） ，再根据 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求（2）先用反证法证明 k（A）1，然后证明 k（A）=1 存在即可；（3）首先构造满足的 A=ai，j（i=1，2，j=1，2，2t+1） ，然后证明是最大值即可【解答】解：（1）由题意可知 r1（A）=1.2，r2（A）=1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=1.8K（A）=0.7（2）先用反证法证明 k（A）1：若 k（A）1则|c1（A）|=|a+1|=a+11，a0同理可知 b0，a+b0由题目所有数和为 0即 a+b+c=1c=1ab1与题目条件矛盾k（A）1易知当 a=b=0 时，k（A）=1 存在-_k（A）的最大值为 1（3）k（A）的最大值为首先构造满足的 A=ai，j（i=1，2，j=1，2，2t+1）：，经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0，且，下面证明是最大值若不然，则存在一个数表 AS（2，2t+1） ，使得由 k（A）的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x，而两个绝对值不超过 1 的数的和，其绝对值不超过 2，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间x，2中由于 x1，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 x1设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设 gh，则gt，ht+1另外，由对称性不妨设 A 的第一行行和为正，第二行行和为负考虑 A 的第一行，由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t+1 个负数，每个正数的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1） ，每个负数的绝对值不小于 x1（即每个负数均不超过 1x） 因此|r1（A）|=r1（A）t1+（t+1）（1x）=2t+1（t+1）x=x+（2t+1（t+2）x）x，故 A 的第一行行和的绝对值小于 x，与假设矛盾因此 k（A）的最大值为-_-_参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；邢新丽；zlzhan；刘长柏；豫汝王世崇；minqi5（排名不分先后）菁优网菁优网2017 年年 2 月月 3 日日