2013年北京市-中考-数学试卷-(含答案~).doc

#*2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷数学试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟来源:学科网 ZXXK 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1. 在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）中，北京市提出了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 2. 的倒数是43A. B. C. D. 34 43 43343. 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为A. B. C. D. 51 52 53 544. 如图，直线，被直线所截，1=2，若3=40°，则4 等于abcabA. 40° B. 50°C. 70° D. 80°5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上。若测得 BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于A. 60m B. 40mC. 30m D. 20m6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是来源:学科网 ZXXK#*7. 某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A. 6.2 小时 B. 6.4 小时 C. 6.5 小时 D. 7 小时8. 如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦 AP 的长为，APO 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是xyyx二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9. 分解因式：=_aabab44210. 请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_1011. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_ 12. 如图，在平面直角坐标系O中，已知直线：，双xy1xt曲线。在上取点 A1，过点 A1作轴的垂线交双曲线于xy1x点 B1，过点 B1作轴的垂线交于点 A2，请继续操作并探究：y过点 A2作轴的垂线交双曲线于点 B2，过点 B2作轴的垂线xy交于点 A3，这样依次得到上的点A1，A2，A3，An，。记点 An的横坐标为，若，则=_，na21a2a=_；若要将上述操作无限次地进行下去，则2013a不能取的值是_1a三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）13. 如图，已知 D 是 AC 上一点，AB=DA，DEAB，B=DAE。求证：BC=AE。#*来源:学科网 ZXXK14. 计算：。10)41(45cos22)31 (16、解不等式组： xxxx2312316. 已知，求代数式的值。0142 xx22)()32(yyxyxx17. 列方程或方程组解应用题：某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。18已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根x04222kxx（1）求的取值范围；k（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。kk来源:Zxxk.Com四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）来源:学。科。网 Z。X。X。K19如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=BC，连结21DE，CF。（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；（2）若 AB=4，AD=6，B=60°，求 DE 的长。#*20如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E。（1）求证：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=，求 OE 的长。4321第九届中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分： （1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，牡丹园面积为_平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量 （万人次）单日最多接待游客量 （万人次）停车位数量 （个）#*第七届0.86约 3 000第八届2.38.2约 4 000第九届8（预计）20（预计）约 10 500第十届1.9（预计）7.4（预计）约_22阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为的正方形 ABCD 各边上分别)2(aa截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45°时，求正方形 MNPQ 的面积。小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若，则 AD 的长为33RPQS_。#*五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23在平面直角坐标系O中，抛物线xy（）与轴交于点 A，222mxmxy0my其对称轴与轴交于点 B。x（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的12x上方，并且在这一段位于直线 AB32 x的下方，求该抛物线的解析式。24在ABC 中，AB=AC，BAC=（），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋600转 60°得到线段 BD。（1）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150°，ABE=60°，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC=45°，求的值。#*25对于平面直角坐标系O中的点 P 和C，给出如下定义：若C 上存在两个点xyA，B，使得APB=60°，则称 P 为C 的关联点。已知点 D（，），E（0，-2），F（，0）21 2132（1）当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中，O 的关联点是_；过点 F 作直线交轴正半轴于点 G，使GFO=30°，若直线上的点 P（，ym）是O 的关联点，求的取值范围；nm（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。r#*北京市北京市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷一、选择题（本题共一、选择题（本题共 32 分，每小题分，每小题 4 分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的。意的。 1 （4 分） （2013北京）在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（20132015） 中，北京市提出了共计约 3960 亿元的投资计划，将 3960 用科学记数法表示应为（ ）A 39.6×102B 3.96×103C 3.96×104D 0.396×104考点： 科学记数法表示较大的数分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答： 解：将 3960 用科学记数法表示为 3.96×103 故选 B点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2 （4 分） （2013北京） 的倒数是（ ）A B C D 考点： 倒数分析： 根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数解答：解：（ ）×（ ）=1， 的倒数是 #*故选 D点评： 本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数 倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数3 （4 分） （2013北京）在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标 号为 1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为（ ）A B C D 考点： 概率公式分析： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情况的 总数，二者的比值就是其发生的概率的大小解答： 解：根据题意可得：大于 2 的有 3，4，5 三个球，共 5 个球，任意摸出 1 个，摸到大于 2 的概率是 故选 C点评： 本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，难度适中4 （4 分） （2013北京）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，ab，1=2，若3=40°，则4 等于（ ）A 40°B50°C70°D80°考点： 平行线的性质分析： 根据平角的定义求出1，再根据两直线平行，内错角相等解答解答： 解：1=2，3=40°，1= （180°3）= （180°40°）=70°，ab， 4=1=70° 故选 C#*点评： 本题考查了平行线的性质，平角等于 180°，熟记性质并求出1 是解题的关键5 （4 分） （2013北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸 取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线 上若测得 BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于（ ）A 60mB 40mC 30mD 20m考点： 相似三角形的应用分析： 由两角对应相等可得BAECDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB解答： 解：ABBC，CDBC， BAECDE，BE=20m，CE=10m，CD=20m，解得：AB=40， 故选 B点评： 考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三 角形的对应边成比例6 （4 分） （2013北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D 考点： 中心对称图形；轴对称图形分析： 根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出 其中不是中心对称的图形解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；#*B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误 故选：A点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做 轴对称图形； 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180°，旋转后的图形 能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形7 （4 分） （2013北京）某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时 间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）A 6.2 小时B 6.4 小时C 6.5 小时D 7 小时考点： 加权平均数分析： 根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即 可解答： 解：根据题意得： （5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50=6.4（小时） 故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时 故选 B点评： 此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数 的计算公式列出算式是解题的关键8 （4 分） （2013北京）如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点， AB=2设弦 AP 的长为 x，APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系 的图象大致是（ ）A B C D #*考点： 动点问题的函数图象分析：作 OCAP，根据垂径定理得 AC= AP= x，再根据勾股定理可计算出 OC=，然后根据三角形面积公式得到 S= x（0x2） ，再根据解析式对四个图形进行判断解答：解：作 OCAP，如图，则 AC= AP= x，在 RtAOC 中，OA=1，OC=，所以 S= OCAP= x（0x2） ，所以 y 与 x 的函数关系的图象为 A 故选 A点评： 本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的 函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范 围二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 4 分）分）9 （4 分） （2013北京）分解因式：ab24ab+4a= a（b2）2 考点： 提公因式法与公式法的综合运用专题： 因式分解分析： 先提取公因式 a，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2解答：解：ab24ab+4a=a（b24b+4）（提取公因式）=a（b2）2（完全平方公式）故答案为：a（b2）2#*点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二 次分解，注意分解要彻底10 （4 分） （2013北京）请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= x2+1（答案不唯一） 考点： 二次函数的性质专题： 开放型分析： 根据二次函数的性质，开口向上，要求 a 值大于 0 即可解答： 解：抛物线 y=x2+1 开口向上，且与 y 轴的交点为（0，1） 故答案为：x2+1（答案不唯一） 点评： 本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的 a 值必须大 于 011 （4 分） （2013北京）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中 点若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为 20 考点： 矩形的性质；三角形中位线定理分析： 根据题意可知 OM 是ADC 的中位线，所以 OM 的长可求；根据勾股定理可求出 AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出 BO 的长，进而求出 四边形 ABOM 的周长解答： 解：O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，OM= CD= AB=2.5，AB=5，AD=12，AC=13，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，BO= AC=6.5，四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20， 故答案为 20点评： 本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半着一性质，题目的综合性很好，难度不大#*12 （4 分） （2013北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y=x1，双曲线y= ，在 l 上取一点 A1，过 A1作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1，过 B1作 y 轴的垂线交 l 于点 A2，请继续操作并探究：过 A2作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2，过 B2作 y 轴的垂线交 l 于点 A3，这样依次得到 l 上的点 A1，A2，A3，An，记点 An的横坐标为 an，若a1=2，则 a2= ，a2013= ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 a1不可能取的值是 0、1 考点： 反比例函数综合题专题： 探究型分析： 求出 a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出 a2013的值，根据题意可得 A1不能 在 x 轴上，也不能在 y 轴上，从而可得出 a1不可能取的值 解答：解：当 a1=2 时，B1的纵坐标为 ，B1的纵坐标和 A2的纵坐标相同，则 A2的横坐标为 a2= ，A2的横坐标和 B2的横坐标相同，则 B2的纵坐标为 b2= ，B2的纵坐标和 A3的纵坐标相同，则 A3的横坐标为 a3= ，A3的横坐标和 B3的横坐标相同，则 B3的纵坐标为 b3=3，B3的纵坐标和 A4的纵坐标相同，则 A4的横坐标为 a4=2，A4的横坐标和 B4的横坐标相同，则 B4的纵坐标为 b4= ，即当 a1=2 时，a2= ，a3= ，a4=2，a5= ，b1= ，b2= ，b3=3，b4= ，a5= ，=671，#*a2013=a3= ；点 A1不能在 y 轴上（此时找不到 B1） ，即 x0，点 A1不能在 x 轴上（此时 A2，在 y 轴上，找不到 B2） ，即 y=x10，解得：x1；综上可得 a1不可取 0、1故答案为： 、 ；0、1点评： 本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算 出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大三、解答题（本题共三、解答题（本题共 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （2013北京）已知：如图，D 是 AC 上一点，AB=DA，DEAB，B=DAE 求证：BC=AE考点： 全等三角形的判定与性质专题： 证明题分析： 根据两直线平行，内错角相等求出CAB=ADE，然后利用“角边角”证明ABC 和 DAE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可解答： 证明：DEAB， CAB=ADE， 在ABC 和DAE 中，#*ABCDAE（ASA） ， BC=AE点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等 是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用14 （5 分） （2013北京）计算：（1）0+|2cos45°+（ ）1考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析： 分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按 照实数的运算法则计算即可解答：解：原式=1+2×+4=5点评： 本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角 函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则15 （5 分） （2013北京）解不等式组：考点： 解一元一次不等式组专题： 计算题分析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解解答： 解：，解不等式得，x1，解不等式得，x ，所以，不等式组的解集是1x 点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不 等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无 解） #*16 （5 分） （2013北京）已知 x24x1=0，求代数式（2x3）2（x+y） （xy）y2的值考点： 整式的混合运算化简求值专题： 计算题分析： 所求式子第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并 得到最简结果，将已知方程变形后代入计算即可求出值解答：解：原式=4x212x+9x2+y2y2=3x212x+9=3（x24x+3） ，x24x1=0，即 x24x=1，原式=12点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键17 （5 分） （2013北京）列方程或方程组解应用题： 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工人，结 果比计划提前 3 小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积考点： 分式方程的应用分析： 设每人每小时的绿化面积 x 平方米，根据增加 2 人后完成的时间比原来的时间少 3 小时为等量关系建立方程求出其解即可解答： 解：设每人每小时的绿化面积 x 平方米，由题意，得，解得：x=2.5 经检验，x=2.5 是原方程的解，且符合题意 答：每人每小时的绿化面积 2.5 平方米点评： 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是 必须的过程，学生容易忘记，解答本题时根据增加 2 人后完成的时间比原来的时间 少 3 小时为等量关系建立方程是关键18 （5 分） （2013北京）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k4=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围；#*（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值考点： 根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法专题： 计算题分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出关于 k 的不 等式，求出不等式的解集即可得到 k 的范围； （2）找出 k 范围中的整数解确定出 k 的值，经检验即可得到满足题意 k 的值解答：解：（1）根据题意得：=44（2k4）=208k0，解得：k ；（2）由 k 为整数，得到 k=1 或 2，利用求根公式表示出方程的解为 x=1±，方程的解为整数，52k 为完全平方数，则 k 的值为 2点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题 意是解本题的关键四、解答题（本题共四、解答题（本题共 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 19 （5 分） （2013北京）如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=BC，连接 DE，CF（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB=4，AD=6，B=60°，求 DE 的长考点： 平行四边形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理分析： （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知 ADBC，且 AD=BC；然后根据 中点的定义、结合已知条件推知四边形 CEDF 的对边平行且相等（DF=CE，且#*DFCE） ，即四边形 CEDF 是平行四边形； （2）如图，如图，过点 D 作 DHBE 于点 H，构造含 30 度角的直角DCH 和直角 DHE通过解直角DCH 和在直角DHE 中运用勾股定理来求线段 ED 的长度解答： （1）证明：在ABCD 中，ADBC，且 AD=BC F 是 AD 的中点，DF=又CE= BC，DF=CE，且 DFCE， 四边形 CEDF 是平行四边形；（2）解：如图，过点 D 作 DHBE 于点 H 在ABCD 中，B=60°， DCE=60° AB=4， CD=AB=4， CH=2，DH=2在CEDF 中，CE=DF= AD=3，则 EH=1在 RtDHE 中，根据勾股定理知 DE=点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理平行四边形的判定方法共有五种， 应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方 法20 （5 分） （2013北京）如图 AB 是O 的直径，PA，PC 与O 分别相切于点 A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E （1）求证：EPD=EDO；（2）若 PC=6，tanPDA= ，求 OE 的长#*考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质分析： （1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：EPD=EDO；（2）连接 OC，利用 tanPDA= ，可求出 CD=4，再证明OEDDEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出 OE 的长解答： （1）证明：PA，PC 与O 分别相切于点 A，C， APO=EPD 且 PAAO， PAO=90°， AOP=EOD，PAO=E=90°， APO=EDO， EPD=EDO；（2）解：连接 OC， PA=PC=6，tanPDA= ，在 RtPAD 中，AD=8，PD=10， CD=4，tanPDA= ，在 RtOCD 中，OC=OA=3，OD=5， EPD=DEP， OEDDEP，在 RtOED 中，OE2+DE2=52， OE=点评： 本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合 运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解 决问题的能力21 （5 分） （2013北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18 日在 北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分#*（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，牡 丹园面积为 0.03 平方千米； （2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八界 园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表） ，发现园博会园区周边设置的停车位数 量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系根据小娜的发 现，请估计，将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果， 精确到百位） 第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：日接待游客量 （万人次）单日最多接待游客量 （万人次）停车位数量 （个）第七届0.86约 3000第八届2.38.2约 4000第九届8（预计）20（预计）约 10500第十届1.9（预计）7.4（预计）约 3700 考点： 条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图分析： （1）根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可； （2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，根据图 象求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可； （3）根据图表所给的信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系， 算出比值，求出大约需要设置的停车位数量解答： 解：（1）月季园面积为 0.04 平方千米，月季园所占比例为 20%，则牡丹园的面积为：15%×=0.03（平方千米） ；（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米） ， 则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米） ， 第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米） ， 则水面面积为 1.5 平方千米，#*如图：；（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为 500， 则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.43700 故答案为：0.03；3700点评： 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22 （5 分） （2013北京）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a（a2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=GHN=DEP=45°时，求正方形 MNPQ 的面积 小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠） ，则这个新正方形的边长为 a2 ； （2）求正方形 MNPQ 的面积 （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：#*如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ若 SRPQ=，则 AD 的长为 考点： 四边形综合题分析： （1）四个等腰直角三角形的斜边长为 a，其拼成的正方形面积为 a2； （2）如题图 2 所示，正方形 MNPQ 的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积 之和，据此求出正方形 MNPQ 的面积； （3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换如答图 1 所示，三个等腰三 角形RSF，QEF，PDW 的面积和等于等边三角形ABC 的面积，故阴影三角形 PQR 的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和据此列方程求出 AD 的长度解答：解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为 a，则斜边上的高为 a，每个等腰直角三角形的面积为： a a= a2，则拼成的新正方形面积为：4× a2=a2，即与原正方形 ABCD 面积相等故填空答案为：a2（2）四个等腰直角三角形的面积和为 a2，正方形 ABCD 的面积为 a2，S正方形 MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4× ×12=2（3）如答图 1 所示，分别延长 RD，QF，PE 交 FA，EC，DB 的延长线于点 S，T，W#*由题意易得：RSF，QEF，PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长均等 于ABC 的边长 不妨设等边三角形边长为 a，则 SF=AC=a如答图 2 所示，过点 R 作 RMSF 于点 M，则 MF= SF= a，在 RtRMF 中，RM=MFtan30°= a×=a，SRSF= aa=a2过点 A 作 ANSD 于点 N，设 AD=AS=x，同理可求得：SADS=x2三个等腰三角形RSF，QEF，PDW 的面积和=3SRSF=3×a2=a2，正ABC 的面积为a2，SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS，=3×x2，解得 x= 或 x=（不合题意，舍去）x= ，即 AD 的长为 故填空答案为： 点评： 本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正 三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题通过本题我们可以体会到，运 用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了 数学的魅力五、解答题（本题共五、解答题（本题共 22 分，第分，第 23 题题 7 分，第分，第 24 题题 7 分，第分，第 25 题题 8 分）分）23 （7 分） （2013北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx22mx2（m0）与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B （1）求点 A，B 的坐标； （2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；#*（3）若该抛物线在2x1 这一段位于直线 l 的上方，并且在 2x3 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式考点： 二次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征分析： （1）令 x=0 求出 y 的值，即可得到点 A 的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点 B 的坐标；（2）求出点 A 关于对称轴的对称点（2，2） ，然后设直线 l 的解析式为y=kx+b（k0） ，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在 2x3 这一段与在1x0 这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1，代入直线 l 求出交点坐标，然后代入抛物线求出 m 的值即可得到抛物线解析式解答：解：（1）当 x=0 时，y=2，A（0，2） ，抛物线的对称轴为直线 x=1，B（1，0） ；（2）易得 A 点关于对称轴直线 x=1 的对称点 A（2，2） ，则直线 l 经过 A、B， 设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0） ，则，解得，#*所以，直线 l 的解析式为 y=2x+2；（3）抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线在 2x3 这一段与在1x0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x1 这一段位于直线 l 的上方，在1x0 这一段位于直线 l 的下方，抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1，当 x=1 时，y=2×（1）+2=4，所以，抛物线过点（1，4） ，当 x=1 时，m+2m2=4，解得 m=2，抛物线的解析式为 y=2x24x2点评： 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（1，4）是解题的关键24 （7 分） （2013北京）在ABC 中，AB=AC，BAC=（0°60°） ，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD （1）如图 1，直接写出ABD 的大小