线性代数线性代数线性代数 (3).pdf

高斯消元法 3 高斯消元法 高斯消元法以著名德国数学家Carl Friedrich Gauss(1777-1855)命名.Gauss被认为是历史上最重要的数学家之一，他在数学的众多分支，如数论、代数、分析、微分几何等以及统计学、物理学、天文学、大地测量学、地理学、电磁学、光学等领域都有重要的贡献.Gauss还享有“数学王子”的美誉.值得一提的是，这种解线性方程组的消元法最早出现在中国古代数学著作九章算术中，相关内容在大约公元前150年前就出现了.C.F.Gauss 3.1 Gauss消元法 先看简单的例子：例3.1 3.1 Gauss消元法 例3.2 3.1 Gauss消元法 问：什么时候消元法停止呢？例3.3 例3.4 无解 无穷多解 3.1 Gauss消元法 小结：若消元过程中出现 或 则消元法中止.线性方程组的解有下列三种情况：1.有唯一解；2.无解；3.有无穷多解.3.1 Gauss消元法 有唯一解 行图：两直线相交，有唯一交点 列图：两列向量不共线 3.1 Gauss消元法 无解 行图：两直线平行，无交点 列图：两列向量共线 3.1 Gauss消元法 有无穷多解 行图：两直线重合 列图：两列向量共线 3.1 Gauss消元法 例3.5 3.1 Gauss消元法 3.1 Gauss消元法 上述求解过程可以推广到含 个未知量 个方程的情形.Gauss消元法的步骤：(1)若方程组的第一个主元位置为 则交换方程以得到第一个主元；(2)用第一个方程的倍数消去第一个主元下方所有系数；(3)确定第二个主元，继续以上消元过程；(4)最后得到含一个未知量的方程，回代得方程组的解.个方程有 个主元 方程组有唯一解.消元中止 方程组无解或有无穷多解(即出现 或 ).3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 例3.6 个方程 个未知量 消元法成功 个主元 3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 若将系数矩阵 第二行第二列元素 由 换成 则消元法第二步要暂停，需先交换第二三行.若将系数矩阵 第三行第三列元素 由 换成 则消元法中止，得不到第三个主元.个方程 个未知量时,消元法成功 是可逆上三角阵 是可逆矩阵.3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 已用 来描述线性方程组.目标：用尽可能简洁的方式来描述对方程组消元化简的过程.回顾：设 为 行 列的方阵,为 维 向量.矩阵乘向量 特别，的第 个分量 3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 再看例3.6 消元法第一步：第二个方程减去第一个方程的 倍.我们想用一个矩阵实现这步消元.3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 消元法第二步：第三个方程减去第二个方程的 倍.恰是单位矩阵 的第二行减去第一行的 倍得到的.恰是单位矩阵 的第三行减去第二行的 倍得到的.称 这样的矩阵为消去矩阵(elimination matrix),这是一类初等矩阵(elementary matrix).注：单位矩阵(identity matrix)与任何 维向量 相乘 3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 需定义矩阵 与 的乘法运算,使上式成立.这种运算需满足 3.2 消元法的矩阵表示：消去矩阵 定义：验证：小结：消去过程 消去矩阵同时左乘系数矩阵 和常数项 3.2 消元法的矩阵表示：置换阵 若主元位置为零，需先交换方程再换元.再看例3.5 交换第一、二方程 交换第一、二行 问：是否存在矩阵 使 3.2 消元法的矩阵表示：置换阵 满足要求.为单位矩阵 交换第一、二行得到的.将单位阵 的第 行交换得到的矩阵是置换阵(permutation matrix).小结：将矩阵 的第 行交换.3.2 消元法的矩阵表示:初等行变换和初等矩阵 对方程组 ,消元法涉 及以下三种同解变形：(1)把一个方程减去另一个方程 的倍数；(2)交换两个方程；(3)用一个非零数乘一个方程.相应地对增广矩阵 作以下三种行变换：(1)把一行减去另一行的倍数；(2)交换两行；(3)用一个非零数乘一行.由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵.3.2 消元法的矩阵表示:初等行变换和初等矩阵 例：为初等矩阵.3.2 消元法的矩阵表示:初等行变换和初等矩阵 对线性方程组 作消元法，实质上是对矩阵 作消元或换行.称矩阵 为增广矩阵(augmented matrix).例：计算 小结：对线性方程组 的消元过程，即为一系列初等矩阵左乘增广矩阵 3.2 消元法的矩阵表示:初等行变换和初等矩阵 例3.7 令 为三阶矩阵.则 的第二行减去第一行的 倍.的第二行与第三行交换.3.2 消元法的矩阵表示:初等行变换和初等矩阵 小结：“左乘换行，右乘换列”.的第一列减去第二列的 倍 的第二列与第三列交换