概率论与数理统计浙江大学第四版答案.docx

概率论与数理统计第一章习题参考解答1、写出以下随机试验的样本空间。(1)枚硬币连掷三次，记录正面出现的次数。(2)记录某班一次考试的平均分数(百分制记分)(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查 出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。(4)在单位扇内任取一点，记录它的坐标。解：(1) S =12,3上S=k/n: k=0,2,OOn,其中n为班级人数，(2) S =()0,100,0100,0101,0110,000,1010,1011,0111,1101,1110,。1止 其中 o表小次品，1 正品。 S = G,p(2 + y2cl2、设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示以下各事件(1)A、B、C中至少有一个发生(2) A、B、C中恰好有一个发生(3) A、B、C都不发生(4) A、B、C中不多于一个发生(5) A、B、C中不多于两个发生解：(1 ) AUBUC(2) ABC U ABC U ABC(3) ABC 错解耳U(4)即至少有两个不发生入BUACUB C (5)即至少有一个不发生通律2、指出以下命题中哪些成立，哪些不成立。(1)成立，(2)不成立， (3)不成立，(4)成立(5)成立, (6)成立 (7)成立 (8)成立4、把A U 8 U。表示为互不相容事件的和。解：(A AB)U(B 8C)U(CC4)UABC答案不唯一5、设A、B是两事件,且P (A) =0.6,P(B)=0.7o问(1)在什么条件下P (AB)取到最大 值？最大值是多少？(2)在什么条件下P (AB)取到最小值？最小值是多少？(1) AU 8时，P(AB) = 0.6为最大值，因为A、B一定相容，相交所以A和B重合越大时P (AB)越大(2) A u8 = s时，P (AB) =0.3 为最小值6、假设事件A的概率为0.7,是否能说在10次实验中A将发生7次？为什么？答：不能。因为事件A发生的频率具有波动性，在一次试验中得出的频率并不一定正好等 于事件A发生的概率。7、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中任取200件。(1) 求恰有90件次品的概率(2) 求至少有两件次品的概率。C90 cloC200 + O C199(1 )400 1100 ,(2) I - 1100400 1100C200C200150015008、在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。(1) 求最小号码为5的概率。(2) 求号码全为偶数的概率。C2 1(I)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个，所求概率为 高 =调10C3 10 号码全为偶数，即从2, 4, 6, 8, 10里选三个，所求概率为琮=调109、在0, 1, 2, 3, .,9共10个数字中，任取4个不同数字排成一列，求这4个数字能组 成一个偶数四位数的概率。解：设事件“组成一个偶数四位数”为A任取4个不同数字排成一列共有：4种10解法一 组成一个偶数四位数有首位奇：AMM2AMM2 + AMM2 41-8-7415 5 8 尸(A) = 5 5 84 4 8 = =_首位偶：AMM2M10-9-8-7 904 4 810解法二分末位0和末位不为0两种，组成一个偶数四位数有CC A2 +小种4 8 89C1CM2 4- A3 4110错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列. 10、求10人中至少有两人出生于同一月份的概率。 解：10人中至少有两人出生于同一月份的概率为：Cw10!1 一-=0.99612io11、从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率。 解：从5双鞋中取4只，至少配成一双的概率为：CC22 + C25 4S。410C4241一一5或。410C1C2 - C25 H SC41012、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率。As 6解：杯中最多有一个球时，概率为一=一；4316C2C1C1 9杯中最多有两个球时，概率为3 4 3 = 4316C3C1 1杯中最多有三个球时，概率为一一二 431613、某货运码头近能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和小时。设甲乙 两船在24小时内随时间可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解：设X、丫分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足丫X21而乙到甲未到应满足X一丫之2所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为24 X 24 - 1 X 22 X 22 - 1 X 23 X 2392P =0.879324X2414、从区间（0, 1）内任取两数，求这两个数的积小于1/4的概率。解:设从区间（0, 1）所取两数号x、3y 31- X X X0.56要使xy 1一尸=2 4 2 4 =41111 L C或者P = 1X £ + f J dx = _+_ In244 2415、随机地想半圆0<y<"'2QX X2（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概TT率与区域的面积成正比，求从原点到该点的连线与尢轴正向的夹角小于I的概率。2+y2=a2 ,解：如图半圆区域为样本空间s对平方移项（x-a）TT事件“与原点连线与Ox轴的夹角小于彳”为AA为如图阴影局部（蓝色）1。21其中m（s） = _2TT , m（A） = 一TT +_2. P(A)=制3 1 + 1m(s) 2 tt16、 pG)= 0.3, P(B)= 0.4,XaB)= 0.5 ,* PBA U B)解：Q P(AB) = P(A) - P(AB) =07-0.5=0.2，P(BAU* = P(AB _(")_ =0.2=0 25P(A U B) P(A) + P(B) P(靠)0.7 + 0.6 - 0.51 1 118、三个人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为一_，_。求密码被破译5 3 4的概率。解：设A /=”第，个人能破译二那么所求为P(A U A U A )11234 2 3P(A UA UA) = 1 P(7t)P(K)尸(左)=1一 _X_X_ = 0.61231235 3 419:设有4张卡片分别标以数字1, 2, 3, 4,今从中任取一张。设A表示事件“取到标有1或2的卡片；B表示事件“取到标有1或3的卡片“，C表示事件“取到标有1或4的卡片，3佥 证P(AB) = P(A)P,P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P网P©P(A)P(B)P(C)丰 P(ABC)解：酸P(A) = P(B) = P(C) = 1 , 尸(A为 = L P(BC) = 1 . P(ABC) = L.P(AB) = P(A)P(B) = p(AC) = P(A)P(C) = _,P(BC) = P P©444而P(A)P(8)P(C) = Q ” ABC) o20、某人忘记了 号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所 需 的概率。解：设A="在三次内能拨通 ，4 = ”第i次能拨通 “i=1, 2, 3,那么 A = A UX A U AAA 11 21 2 3P(A) = P(A) + P(AA) + PAAA) 11 21 2 3=p(a)+ 尸件p>M)+ p p(可)尸(A|xr)=1 + 9 1 9 8 1 3 X-+x-x-=10 10 9 10 9 8 1021、一批零件共ioo个，其中次品10个,每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回,（1）求第三次才取到正品的概率；（2）求第三次取到正品的概率.解：设Aj="第i次取到正品a=1, 2, 3,A=%三次才取到正品：B=”第三次取到正品”所求为P（A） = "即解法一解法二P(力才A)=继4 =A3100O-| = 0.008399-98Cl C1C1 P(t4AA) =1° 9 9。1 2 3 Cl Cl Cl100 99 98解法三 用乘法公式尸(右AA) = P(A|TT)P(AT)12 33121 2=P(AM；T)PG5|K)P(J) 312211_90 9 10 = 0.00834 A zx 98 99 100解法一 直接计算法 样本空间的取法：Cl Cl Cl B = AAA UAAA UAAA UAAA100 99 981 2 31 2 31 2 31 2 3/.P(B) = P(A A A UAAA UAAA U 不不 A)1 2 31 2 31 2 31 2 3然后利用加法公式和乘法公式Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci CiPB =90 89 88 +90 10 89 +10 90 89 +1。9 9。=0.892Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci G Ci Ci100 99 98100 99 98100 99 98100 99 98解法二用全概率公式：一、二两次取球情况有AA, AA,直不，构成了样本空间的一个划分1 21 21 21 2令 8=AA, B =AA , B = AK, B =NN11 221 231 241 2:.p（b）= p（b）p（a|b）+ 尸（.）尸坪2）+ p（q）p（明）+ p（q）p（平）Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci CiCi Ci Ci=90 89 88 + 10 90 89 + 90 10 89 + W 9 90 =0.892Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci100 99 98100 99 98100 99 98100 99 9822、设有甲、乙两袋，甲袋中装有只白球、机只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今 从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。求从乙袋中取到白球的概率。B=”从乙袋中取到白球"用解：设人=”从甲袋中取出白球一只； 全概率公式：P =P(AB) + P(AB) =P(A)P(d4) + P(A)P(pl)ClClClC1n(N +1) + mNc"C1A* + Cl' Cl (加+ 力(N+ M + 1)n + niN+M+1 n 4- inN+M+123、如图,1,2,345表示继电器接点,假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.解法一：设事件“L至R是通路”为A B.为事件“i接点闭合”,i=1,2,5fqf-iP(A) = P(AB )P(B ) +尸(4|耳)尸(灰)其中尸(4|坦上尸(仍u B)仍U B )3333-13 425 -=P(B U B )P(B U B )<L/一142545= 1-P(B)P(F)1 -PP(B") = 1 - <1 - p)22 = p2 (2 p)2 1425P(A | 为=P(BB )U(BB) = 1 - P(BB)P(BB)= = 1 (1 p2 )2 = 2p2 p4 31 24 51245J. P(A) = p3 (2 _ p)4 + (2p2 _ p4 )(1 _ p) = 2P5 _ 5p4 + 2 P3 + 2 p2解法二：4B同解法一 iA = QB U B )(B U B ) B BFE万-B BBRH 14251 5 4 2 32 4 1 5 3/. P(A) = P(B U B)(B UB)- P(B B EB夕)P(B B BER 14251 5 4 2 32 4 1 5 3=P(B U B )P(B U B) - 2/72(1 - p)3 1425=1 (1 p)22 2P2 (1 p)3 = 2P5 5P4 + 2P3 + 2P224、甲、乙、丙同时向飞机射击，三人中命中率分别为040.5Q7。飞机被一人击中而被击 落的概率为02被两人击中而击落的概率为0.6,假设被三人击中，飞机必定被击落.求飞机被击 落的概率.解：设A="飞机被i人击中”，i=1, 2, 3B="飞机被击落”用全概率公式P=P(ABUABUAB) = P(AB) + P(A B) + P(A 8)(1)123123=p(a)p(4a)+ p(?)p(04)+。(勺夕(4 q)设D =”飞机被甲击中：D“飞机被乙击中：D“飞机被丙击中”甲乙丙那么P(A) = P(D D D U D D 77 u D H Z)1甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙=P(D D 今)+ p (尻 d + P D D ) 甲乙丙甲 乙 丙甲乙丙由于甲乙丙的射击是相互独立的，P(A)=P(D )P(ZT )P")+PM)p(o )p()1甲乙丙甲乙丙+ P)P(Z7 )尸(。) 甲 乙 丙=0.4 X 0.5 X 0.3 + 0.6 X 0.5 X 0.3 + 0.6 X 0.5 X 0.7 = 0.36同理求得P(A ) = 0.41 P(A)= 0 14代入(1)式.P(8) = 0.36X0.2 + 0.41 X0.6 + 0.14x1 =0.45825、男人中有5%是色盲患者，女人中有025%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中 随机地挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率.解:设A二”抽出的是男性"，B二”抽出的是色盲”所求为P(A|B)用贝叶斯公式15产(型)=吧 岬)2Xi00_1 P(B) P(AB U AB) P(AB) + P(AB)1_L=2Xi00= 0.951 51 025-x+- x2 100 2 10026、甲乙丙三人向靶子各射击一次,结果有2发子弹击中靶子.甲乙丙击中靶子的概率分 别为4/5,3/4,2/3,求丙脱靶的概率.解：设甲，乙，丙击中靶子的事件分别为A,B,C/、事件“2发子弹击中靶子”为D,那么所求为：PCb7_ P(CD)P(C|0=P(0P(D |C)P(C)P(D|C)P(C) + P(D|C)P(C)p(D|q =25 45P(D | C) = P(AB U BA | C)=P(AB U BA) = P(AB) + P(BA)1X3+ 4 17I5 4 5 4 20p(e | d)=3 1x-5 33i72-x- + x-5 3 20 3613