线性代数线性代数线性代数 (12).pdf

12 四个基本子空间的正交性四个基本子空间的正交性 12.1 引言引言 设 是一个 阶阵，则我们有四个基本子空间 12.1 引言引言 例：设 其中 是 阶阵，是 阶阵，后两矩阵秩均为r，则 是一个 阶阵，且 1.的每一列是 的列向量的线性组合，因而 2.的每一行是 的行向量的线性组合，因而 3.是列满秩阵，则存在可逆 阶阵 是行满秩阵，则存在可逆 阶阵 4.因此 ，即 12.1 引言引言 例：设 为 阶阵，则 且 是 的行向量转置的线性组合.设 则 即 同理，12.1 引言引言 我们将学习关于四个基本子空间的更精确关系.例：轴 平面 和 垂直.是 的一平面：平面.轴 轴 12.1 引言引言 目标：和 是垂直的.和 是垂直的.12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 我们需要确切定义子空间的垂直（或正交）.定义：设 和 是 的两个子空间(subspaces),我们说 垂直于 (is perpendicular to ),如果对于 这个定义是对称的，即 垂直于 垂直于 记作 或 所以我们也可以说：和 是正交的(and are orthogonal).12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 例：和 是正交的.例：和 均是 的子空间(平面).12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 例：中 平面和 平面不正交.因为 属于两平面之交,但 Fact：若 则 因而 和 不正交.命题：设 和 是 中两个子空间,且 则 和 不正交.注：若 和 也可能不正交.例如 中 是直线 是 轴.12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 定理：设 是 阶阵，则 和 正交，和 正交.证明：设 则 和 的全部列向量垂直.因此，将 换成 我们得到 12.3 正交补正交补 四个子空间还有如下的关系：定理：我们说 是 在 中的正交补，是 在 中的正交补，四个子空间的关系如下图：12.3 正交补正交补 一般地，我们有如下的：定义：设 是一个子空间，在 中的正交补定义为集合 记作 显然 12.3 正交补正交补 验证：证明：已知，反之，假设 考虑矩阵 则 但 ,即 的列数 的列数 则 这与 矛盾.12.3 正交补正交补 在过去的内容中，我们已经知道：若 的秩为 则 这个定理更细致地刻划了 的四个子空间的正交补关系.注记：若 对称，即 则 特别地，是对称阵，此时 12.3 正交补正交补 考虑一个简单观察：设 则 即 我们可以提升以上描述定理的简图如下：12.4 在行空间中的唯一性在行空间中的唯一性 定理：若 有解，则 在 中有唯一解.例：则 是 中一直线 平面 中一直线 直线 12.4 在行空间中的唯一性在行空间中的唯一性 有解 取 求 使得 因为 有无穷个 满足 但是 唯一！12.4 在行空间中的唯一性在行空间中的唯一性 定理的证明：(来自于以上例子)1.存在性.设 有解，则 但 因此 即 令 则 2.唯一性.设 且 则 但是 即 因此 12.4 在行空间中的唯一性在行空间中的唯一性 例：则