线性代数线性代数线性代数 (16).pdf

16 行列式的基本性质行列式的基本性质 16.1 引言引言 1.历史：行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分奠基人之一的莱布尼兹(Leibnitz,1693年).1750年克莱姆(Cramer)在他的线性代数分析导言中发表了求解线性系统方程的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer克莱姆法则).2.行列式的几何意义概括说来有两个解释：(1)行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或体积；(2)坐标系变换下的图形面积或体积的伸缩因子，即变换矩阵 的行列式 16.1 引言引言 给定一个 阶方阵 我们来定义 的行列式 它是一个数.因此，行列式可以理解成一个函数：行列式是“有向”长度、面积和体积的推广.是一维坐标轴上的有向长度(有正负号).16.2 二阶行列式的几何含义二阶行列式的几何含义 平行四边形 的“有向”面积 从 到 是顺时针，逆时针，例如：16.2 二阶行列式的几何含义二阶行列式的几何含义 性质：(1)如图：16.2 二阶行列式的几何含义二阶行列式的几何含义(2)令 则该性质即：张成平行四边形的“有向”面积 张成平行四边形的“有向”面积 张成平行四边形的“有向”面积.16.2 二阶行列式的几何含义二阶行列式的几何含义(3)(4)围成“有向”面积 围成“有向”面积.16.3 一般行列式的定义一般行列式的定义 我们定义一般情形 阶方阵 满足：(1)(2)设 则 16.3 一般行列式的定义一般行列式的定义(3)设 则(4)(5)设 交换 的任意两列得到矩阵 ，则 注：由(4)，以上性质对行也成立.16.3 一般行列式的定义一般行列式的定义 是 的 个列向量围成的“有向”面积.例：即 构成的平行六面体的“有向”体积为 16.3 一般行列式的定义一般行列式的定义 推论一：设 的两行(列)成比例，则 证明：设 不妨设 由性质(2),由性质(5),故 16.3 一般行列式的定义一般行列式的定义 推论二：将 的某一行(列)乘上一倍数加到另一行(列)，得到矩阵 则 例：总结：以上所有关于行列式的性质对应着 的三种初等行(列)变换对行列式的影响.16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 设 是 阶方阵，考虑三种行变换：我们计算 和 的行列式(上面各式中令 ):16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 我们有如下定理.定理：设 通过初等行变换 得到 即 则 证明：设 是以上三种初等行变换之一.则 16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 推论一：设 是一 阶方阵，可逆.推论二：设 是两 阶方阵，则 推论一的证明：若 不可逆，则存在行变换 使得 是一阶梯阵(最后一行为零行).则 而 可逆,故 16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 例：如何求 16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 例：设 则 证明：则 第一种行变换 16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 例：证明：左边 16.4 行列式和初等变换行列式和初等变换 注：例：设 可逆，则 例：设 是一个正交阵，则 例如