外接球地表面积和体积高考试题精选(一)(1).doc

-_外接球的表面积和体积高考试题精选（一）外接球的表面积和体积高考试题精选（一）一选择题（共一选择题（共 30 小题）小题）1一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为 2 的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球 O 上，球 O 的表面积为（ ）A16 B3CD122如图某几何体的三视图是直角边长为 1 的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）ABCD33体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A12 BC8D44过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）ABCD5已知三棱锥 OABC，A，B，C 三点均在球心为 O 的球表面上，AB=BC=1，ABC=120°，三棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的表面积是（ ）A544B16 CD646点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体 ABCD 体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）-_AB8CD7四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（ ）A8B12 C16 D328已知正ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A B2C D39已知在三棱锥 PABC 中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面 PAC平面PBC，那么三棱锥 PABC 外接球的体积为（ ）ABCD10已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A4B8C12 D1611一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右-_图图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形则这个四面体的外接球的表面积是（ ）AB3C4D612已知在三棱锥 PABC 中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面 PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）AB3CD213球面上有三点 A、B、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（ ）A1200B1400C1600D180014已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC的距离为RAB=AC=2，BAC=120°，则球 O 的表面积为（ ）ABCD15四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（ ）A4B12 C16 D3216已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，APD=90°，若点 P、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）A4BC12 D2017四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上，AB=2，BC=CD=1，BCD=60°，AB平面 BCD，则球 O 的表面积为（ ）-_A8BCD18已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 上，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAD 为正三角形，AB=2AD=4，则球 O 的表面积为（ ）ABC32 D6419正三棱柱的底面边长为，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A4B8C12 D1620已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ）A8B12 CD321一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为（ ）ABCD322已知 SC 是球 O 的直径，A，B 是该球面上的两点，ABC 是边长为的正三角形，若三棱锥 SABC 的体积为，则球 O 的表面积为（ ）A16 B18 C20 D2423已知三棱锥 PABC，在底面ABC 中，A=60°，BC=，PA面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）AB4CD1624已知 A，B，C 在球 O 的球面上，AB=1，BC=2，ABC=60°，直线 OA 与截面 ABC 所成的角为 30°，则球 O 的表面积为（ ）A4B16 C D25一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A21 B24 C28 D3626在三棱锥 PABC 中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，ABC=，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为（ ）-_A4BCD1627已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=60°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为，则球 O 的表面积为（ ）A36 B64 C144D25628已知三棱锥 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 都在球 O 的表面上，AC平面BCD，BCCD，且 AC=，BC=2，CD=，则球 O 的表面积为（ ）A12 B7C9D829用一个与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面的面积为 ，则球的表面积为（ ）A4B8C12 D1630在三棱锥 ABCD 中，AB=，其余各棱长都为 2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A3BC6D-_外接球的表面积和体积高考试题精选（一）外接球的表面积和体积高考试题精选（一）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 30 小题）小题）1 （2017达州模拟）一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为 2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球 O 上，球 O 的表面积为（ ）A16 B3CD12【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=2，且 AB，AC，AD 两两垂直把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线 2，因此这个空间几何体的外接球的表面积 S=43=12故选：D2 （2017达州模拟）如图某几何体的三视图是直角边长为 1 的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）-_ABCD3【解答】解：该几何体的三视图是直角边长为 1 的三个等腰直角三角形，该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为 1 的正方体，则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，补成的正方体的对角线长 l=为其外接球的直径 d，外接球的表面积 S=d2=3，即该几何体的外接球的表面积为 3，故选：D3 （2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A12 BC8D4【解答】解：正方体体积为 8，可知其边长为 2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12故选：A4 （2016上饶三模）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）ABCD【解答】解：设球的半径为 R，圆 M 的半径 r，由图可知，R2=R2+r2，R2=r2，S球=4R2，截面圆 M 的面积为：r2=R2，-_则所得截面的面积与球的表面积的比为：故选 A5 （2016河南模拟）已知三棱锥 OABC，A，B，C 三点均在球心为 O 的球表面上，AB=BC=1，ABC=120°，三棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的表面积是（ ）A544B16 CD64【解答】解：三棱锥 OABC，A、B、C 三点均在球心 O 的表面上，且AB=BC=1，ABC=120°，AC=，SABC=×1×1×sin120°=，三棱锥 OABC 的体积为，ABC 的外接圆的圆心为 G，OGG，外接圆的半径为：GA=1，SABCOG=，即×OG=，OG=，球的半径为：=4球的表面积：442=64故选：D-_6 （2016安徽校级一模）点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体 ABCD 体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）AB8CD【解答】解：根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为 1小圆的圆心为 Q，若四面体 ABCD 的体积的最大值，由于底面积 SABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面 ABC 垂直时体积最大，最大值为SABC×DQ=，DQ=4，设球心为 O，半径为 R，则在直角AQO 中，OA2=AQ2+OQ2，即 R2=12+（4R）2，R=则这个球的表面积为：S=4（）2=故选 C7 （2016衡水模拟）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（ ）A8B12 C16 D32【解答】解：取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，在四面体 ABCD 中，AB平面BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形RtABCRtABD，ACD 是等腰三角形，BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心，BE=，BG=，-_R=2四面体 ABCD 外接球的表面积为：4R2=16故选：C8 （2016南昌三模）已知正ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A B2C D3【解答】解：设正ABC 的中心为 O1，连结 O1AO1是正ABC 的中心，A、B、C 三点都在球面上，O1O平面 ABC，球的半径 R=2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，得O1O=1，RtO1OA 中，O1A=又E 为 AB 的中点，ABC 是等边三角形，AE=AO1cos30°=过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径 r=，可得截面面积为 S=r2=-_故选 C9 （2016河南模拟）已知在三棱锥 PABC 中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面 PAC平面PBC，那么三棱锥 PABC 外接球的体积为（ ）ABCD【解答】解：由题意，设 PC=2x，则PAAC，APC=，APC 为等腰直角三角形，PC 边上的高为 x，平面 PAC平面 PBC，A 到平面 PBC 的距离为 x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=，VPABC=VAPBC=，x=2，PAAC，PBBC，PC 的中点为球心，球的半径为 2，-_三棱锥 PABC 外接球的体积为=故选：D10 （2016湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A4B8C12 D16【解答】解：由已知中三棱锥的高为 1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为 1，则底面的外接圆半径为 1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径 R 为 1，则三棱锥的外接球表面积 S=4R2=4故选：A11 （2016湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形则这个四面体的外接球的表面积是（ ）-_AB3C4D6【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为此四面体的外接球的表面积为表面积为=3故选：B12 （2016大庆一模）已知在三棱锥 PABC 中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面 PAB平面 ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）AB3CD2【解答】解：由题意，AC 为截面圆的直径，AC=，设球心到平面 ABC 的距离为 d，球的半径为 R，PA=PB=1，AB=，PAPB，平面 PAB平面 ABC，P 到平面 ABC 的距离为由勾股定理可得 R2=（）2+d2=（）2+（d）2，-_d=0，R2=，球的表面积为 4R2=3故选：B13 （2016中山市校级模拟）球面上有三点 A、B、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（ ）A1200B1400C1600D1800【解答】解：AB2+BC2=182+242=302=AC2，ABC 为直角三角形，且其外接圆的半径为=15，即截面圆的半径 r=15，又球心到截面的距离为 d=R，R2=152，R=10，球的表面积 S=4R2=4×=1200故选：A14 （2016泉州校级模拟）已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为RAB=AC=2，BAC=120°，则球 O 的表面积为（ ）ABCD【解答】解：在ABC 中，AB=AC=2，BAC=120°，BC=2，由正弦定理可得平面 ABC 截球所得圆的半径（即ABC 的外接圆半径） ，r=2，又球心到平面 ABC 的距离 d=R，-_球 O 的半径 R=，R2=故球 O 的表面积 S=4R2=，故选：D15 （2016白银模拟）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（ ）A4B12 C16 D32【解答】解：取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形RtABCRtABD，ACD 是等腰三角形，BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体 ABCD 外接球的表面积为：4R2=16故选：C16 （2016广西二模）已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，APD=90°，若点 P、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）A4BC12 D20【解答】解：设球心为 O，如图-_由 PA=PD=AB=2，APD=90°，可求得 AD=2，在矩形 ABCD 中，可求得对角线 BD=2，由于点 P、A、B、C、D 都在同一球面上，球的半径 R=BD=则此球的表面积等于=4R2=12故选：C17 （2016宁城县一模）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上，AB=2，BC=CD=1，BCD=60°，AB平面 BCD，则球 O 的表面积为（ ）A8BCD【解答】解：如图，BC=CD=1，BCD=60°底面BCD 为等边三角形取 CD 中点为 E，连接 BE，BCD 的外心 G 在 BE 上，设为 G，取 BC 中点 F，连接 GF，在 RtBCE 中，由 CE=，CBE=30°，得 BF=，又在 RtBFG 中，得 BG=，过 G 作 AB 的平行线与 AB 的中垂线 HO 交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，即 R=OB，AB平面 BCD，OGBG，在 RtBGO 中，求得 OB=，-_球 O 的表面积为故选：D18 （2016北海一模）已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 上，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAD 为正三角形，AB=2AD=4，则球 O 的表面积为（ ）ABC32 D64【解答】解：令PAD 所在圆的圆心为 O1，PAD 为正三角形，AD=2，则圆O1的半径 r=，因为平面 PAD底面 ABCD，AB=4，所以 OO1=AB=2，所以球 O 的半径 R=，所以球 O 的表面积=4R2=故选：B19 （2016昆明三模）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A4B8C12 D16【解答】解：设三棱柱 ABCABC的上、下底面的中心分别为 O、O，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段 OO中点 O1，-_OA=AB=1，OO1=AA=1O1A=因此，正三棱柱的外接球半径 R=，可得该球的表面积为 S=4R2=8故选：B20 （2016陕西模拟）已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ）A8B12 CD3【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为 1，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，正四面体的外接球的半径为外接球的表面积的值为 4r2=4=3故选：D21 （2016安康三模）一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为（ ）ABCD3【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r=故选：A22 （2016抚顺一模）已知 SC 是球 O 的直径，A，B 是该球面上的两点，ABC 是边长为的正三角形，若三棱锥 SABC 的体积为，则球 O 的表面积为（ ）A16 B18 C20 D24-_【解答】解：根据题意作出图形设球心为 O，球的半径 r过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面ABC，延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABCCO1=1，OO1=，高 SD=2OO1=2，ABC 是边长为的正三角形，SABC=，V三棱锥 SABC=××2=，r=则球 O 的表面积为 20故选：C23 （2016冀州市校级模拟）已知三棱锥 PABC，在底面ABC 中，A=60°，BC=，PA面 ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）AB4CD16【解答】解：根据题意得出图形如下；O 为球心，N 为底面ABC 截面圆的圆心，ON面 ABC，在底面ABC 中，A=60°，BC=，根据正弦定理得出：=2r，-_即 r=1，PA面 ABC，PAON，PA=2，AN=1，ON=d，OA=OP=R，根据等腰三角形得出：PAO 中 PA=2d=2，d=R2=12+（）=4，三棱锥的外接球的表面积为 4R2=16故选：D24 （2016南昌校级二模）已知 A，B，C 在球 O 的球面上，AB=1，BC=2，ABC=60°，直线 OA 与截面 ABC 所成的角为 30°，则球 O 的表面积为（ ）A4B16 C D【解答】解：A，B，C 在球 O 的球面上，AB=1，BC=2，ABC=60°，BC 为ABC 外接圆的直径，-_又直线 OA 与平面 ABC 成 30°角则球的半径 R=故球的表面积 S=4××（）2=故选：D25 （2016白山四模）一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A21 B24 C28 D36【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r=，球的表面积为：4r2=4（）2=21故选：A26 （2016福建模拟）在三棱锥 PABC 中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，ABC=，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为（ ）A4BCD16【解答】解：由题意，AC=4，PA=2，PC=2，PA2+PC2=AC2，PAPC取 AC 的中点，则 OA=OB=OC=OP，即 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，半径为2，三棱锥 PABC 外接球的表面积为 4R2=16故选：D-_27 （2016南昌校级二模）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=60°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为，则球 O 的表面积为（ ）A36 B64 C144D256【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABC=VCAOB=18，故 R=6，则球 O 的表面积为 4R2=144，故选：C28 （2016安徽三模）已知三棱锥 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 都在球 O 的表面上，AC平面 BCD，BCCD，且 AC=，BC=2，CD=，则球 O 的表面积为（ ）A12 B7C9D8【解答】解：由题意，AC平面 BCD，BC平面 BCD，ACBC，BCCD，ACCD=C，BC平面 ACD，-_三棱锥 SABC 可以扩充为以 AC，BC，DC 为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，4R2=AC2+BC2+CD2=12，R=球 O 的表面积为 4R2=12，故选：A29 （2016永州二模）用一个与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面的面积为 ，则球的表面积为（ ）A4B8C12 D16【解答】解：由已知中与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ，故该圆的半径为 1，故球的半径为，故该球的表面积 S=4R2=8故选：B30 （2016新乡模拟）在三棱锥 ABCD 中，AB=，其余各棱长都为 2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A3BC6D【解答】解：取 A B，CD 的中点分别为 E，O，连接 EO，AO，BO，由题意知 AO=BO=又，所以 AOBO，EO=，易知三棱锥外接球的球心 G 在线段 EO 上，有 R2=AE2+GE2，R2=CO2+GO2，R2=（）2+GE2，R2=12+（GE）2，求得，-_所以其表面积为故选：D