圆周角定理（1）.ppt

24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角 (1)(1)自贡二十一中自贡二十一中 张张 利利复习测验复习测验1、如如图图，O中中，AOB=100，则则AB弧弧的的度度数数为为_，AnB弧的度数为弧的度数为_。2、圆圆的的一一条条弦弦把把圆圆分分为为度度数数的的比比为为15的的两两条条弧弧，如如果果圆圆的的半半径径为为6，那那么么这这弦弦的的弦弦心心距距等等于于_，弦弦长等于长等于_。3、判断题：、判断题：（1）相等的圆心角所对的弧相等）相等的圆心角所对的弧相等（）（2）等弦对等弧（）等弦对等弧（）（3）等弧对等弦（）等弧对等弦（）（4）长度相等的两条弧是等弧（）长度相等的两条弧是等弧（）（5）平分弦的直径垂直于弦（）平分弦的直径垂直于弦（）AOBn1002606阅读课文阅读课文84-85页页,并思考讨论并思考讨论1、什么样的角是圆周角？圆周角应具有什么条件？、什么样的角是圆周角？圆周角应具有什么条件？2、圆周角定理的内容是什么？是如何证明的？、圆周角定理的内容是什么？是如何证明的？3、半半圆圆(或或直直径径）所所对对的的圆圆周周角角是是多多少少度度？你你如如何何得得出的？出的？自学思考自学思考圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相圆交的角。圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相圆交的角。条件条件：（：（1）角的顶点在圆上；）角的顶点在圆上；（2）角的两边都要与圆相交。）角的两边都要与圆相交。判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的P P是否为圆周角？并说明理由是否为圆周角？并说明理由问题解答问题解答1、什么样的角是圆周角？圆周角应具有什么条件？、什么样的角是圆周角？圆周角应具有什么条件？问题解答问题解答2、圆周角定理的内容是什么？是如何证明的？、圆周角定理的内容是什么？是如何证明的？在同圆或等圆中，同弧或等圆所对的圆周角等于它所在同圆或等圆中，同弧或等圆所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。对的圆心角的一半。1.1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系.AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OA AB BC CA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC=AOC.ABC=AOC.一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.A AB BC CD DABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.ODABC过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.ABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?3、半半圆圆(或或直直径径）所所对对的的圆圆周周角角是是多多少少度度？你你如如何何得出的？得出的？问题解答问题解答半半圆圆（或或直直径径）所所对对的的圆圆周周角角是是直直角角（90），90的的圆圆周角所周角所对对的弦是直角。的弦是直角。ABOC1C2C3证明：证明：因为因为OAOAOBOBOCOC，所以，所以AOCAOC、BOC BOC 都是等腰三角形，所以都是等腰三角形，所以 OACOACOCAOCA，OBCOBCOCBOCB.又又OACOACOBCOBCACBACB180180，所以所以ACBACBOCAOCAOCBOCB9090.因此，不管点因此，不管点C C在在O O上何处（除点上何处（除点A A、B B），），ACBACB总等于总等于9090，结论：结论：结论：结论：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90909090（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即90909090的圆的圆的圆的圆周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。讨论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧相等吗?请证明。1、如图1，是o上的一点，如果35,那么AOB=()；2、如图2，AB、AC为o的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=30，那么BOC=()；3、如图3，已知A、C、B、D是上的点，如果AOB =100，那么ACB=()，ADB=()；4、如图4，A、B是上的两点，如果AOB=80,C是上不与点A、B重合的任一点，那么ACB=()。图1图2图4图3练习701205013040或1405、在、在O中，中，CBD=30,BDC=20,求求A例例1如图，如图，O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平分线交的平分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ABECOD 例例2 2：如图所示，已知：如图所示，已知ABCABC的三个顶点都的三个顶点都在在O O上，上，ADAD是是ABCABC的高，的高，AEAE是是O O的直径的直径.求证：求证：BAEBAECADCAD证明：连接BE AB是O的直径 EBA=90BEA+BAE=90AD是ABC的高 ADC=90BCA+CAD=90 BEA和BCA是AB所对的圆周角BEA=BCABAE=CAD例3：如图，BC为半圆o的直径，AB=AF ,AC与BF交于点M。（1）若FBC=a，求ACB（用a表示）；（2）过A作ADBC于D，交BF于E，求证：BE=EM。(1)解：连接CF BC是O的直径 F=90 FBC=a FCB=90-a AB=AFACB=FCB=（90 a）=45 a(2)证明：BC是O的直径，BAC=90 BAD+CAD=90 ADC=90 DAC+ACD=90BAD=ACD AB=AF ACD=ABE ABE=BAD BE=AE 在RtABM中，BAE+EAM=90ABE+AMB=90 ABE=BAE EAM=EMAEM=AE 小结与作业小结与作业1 1、说说本节课你学到了些什么知识？、说说本节课你学到了些什么知识？2、本节课我们学习了哪种数学思想方法？、本节课我们学习了哪种数学思想方法？课后作业：课后作业：1、闯关、闯关P42第第14、15、18题题2、预习课本、预习课本P785P86的内容。的内容。如图，在ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，且点D位BC的中点（1）求证：ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使PBDAED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由