考研数学预习复习题.doc

#*五、五、 （导）函数的零点（方程的根或曲线与（导）函数的零点（方程的根或曲线与轴的交点）轴的交点）x1、函数方程、函数方程的根的根0)(xf三种语言：函数的零点，曲线与三种语言：函数的零点，曲线与 轴的交点，方程的根轴的交点，方程的根x常用方法：常用方法： 存在性存在性 闭区间上连续函数的介值定理闭区间上连续函数的介值定理唯一性唯一性 单调性单调性(导数的符号导数的符号); 反证法；反证法；简单作图（单调区间，极值）简单作图（单调区间，极值） ，分析与，分析与轴的相对位置轴的相对位置x（1）设常数设常数，在在内内0kkexxxf ln)(), 0( 零点个数为零点个数为A3B2C1D0（2）当当取何值时，取何值时，恰好恰好aaxxxxf1292)(23有两个不同零点有两个不同零点2 4 6 8ABCD（3）若）若，则方程，则方程0532 ba043235cbxaxx无实根无实根 有唯一实根有唯一实根 AB有三个不同实根有三个不同实根 有五个不同实根有五个不同实根CD（4）设函数）设函数在在连续，且连续，且，)(xf,ba0)(xf#*则则在在内的根是内的根是0)(1)(dttfdttfx bx a),(ba0 1 2 无穷多个无穷多个ABCD（5）在）在内，方程内，方程),(0cos21 41 xxx无实根无实根 有且仅有唯一实根有且仅有唯一实根 AB有且仅有两个实根有且仅有两个实根 有无穷多个实根有无穷多个实根CD（6）证明）证明 在在内有内有dxxexx 02cos1ln), 0( 且仅有两个不同实根且仅有两个不同实根（7）讨论）讨论 的零点个数的零点个数axexFx)()0( a（8）讨论曲线）讨论曲线与与的交点个数的交点个数 kxyln4xxy4ln4 （2003,2） （9）就）就的不同取值，确定方程的不同取值，确定方程在在kkxxsin2)2, 0(内根的个数，并证明你的结论内根的个数，并证明你的结论（10）求方程）求方程不同实根的个数，不同实根的个数，0arctan xxk其中其中为参数为参数k（2011,1）（11）设有方程）设有方程，其中，其中为正整数，为正整数，01nxxnn证明此方程存在唯一正实根证明此方程存在唯一正实根 #*（2004,1）(12)证明方程证明方程恰有恰有 2 个实根个实根0334arctan4xx（2011,3）#*第三部分第三部分 一元函数积分学一元函数积分学一一 、基本要求、基本要求1 掌握不定积分的基本性质和基本积分公式掌握不定积分的基本性质和基本积分公式2 掌握不定积分的换元与分部积分法掌握不定积分的换元与分部积分法 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数一、二数一、二)4 理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理5 理解积分上限函数，并会求其导数理解积分上限函数，并会求其导数6 会计算反常积分会计算反常积分7 掌握定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的掌握定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值；（仅数一、二要求）掌握用定积分计算平面曲线平均值；（仅数一、二要求）掌握用定积分计算平面曲线的弧长，旋转体的侧面积，平行截面面积已知的立体体积；的弧长，旋转体的侧面积，平行截面面积已知的立体体积；功引力、压力等；（仅数三要求）利用定积分求解简单的功引力、压力等；（仅数三要求）利用定积分求解简单的经济应用问题经济应用问题二二 、重点、重点1 不定积分与定积分的概念、性质、计算不定积分与定积分的概念、性质、计算2 各种类型的变限积分问题各种类型的变限积分问题3 和定积分相关的证明和定积分相关的证明4 定积分的应用问题定积分的应用问题#*三三 、难点、难点1 和定积分相关的证明和定积分相关的证明2 定积分的应用问题定积分的应用问题四四 、内容小结、内容小结1 原函数（不定积分）存在定理原函数（不定积分）存在定理连续函数必有原函数连续函数必有原函数注：含间断点的函数也可能存在原函数注：含间断点的函数也可能存在原函数如，如， ，在在 0, 00,1cos1sin2)( xxxxxxf)(xf不连续，但显然不连续，但显然是是0x 0, 00,1sin)(2xxxxxF的一个原函数，因为的一个原函数，因为是是只有一个间断点的只有一个间断点的)(xf)(xf 1 , 0有界函数，所以可积，且有界函数，所以可积，且1sin)()(101 0xFdxxf2 不定积分的性质上不定积分的性质上其中其中CxFdxxf)()()()(xfxFCdttfdxxfxa)()( dxxgbdxxfadxxbgxaf)()()()()()()(xfdxxfdxddxxf#*dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(Cxfxdf)()(3 基本公式（熟）基本公式（熟）Cax axaarctan1122Caxdxxaarcsin122Cxaxa adxxaln21122Caxxdxax2222ln14 基本积分法基本积分法 重要重要凑微分法凑微分法: 熟悉常见的凑微分因子熟悉常见的凑微分因子换元法换元法: 三角代换三角代换 、根式代换、倒代换、指数代换、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换其他代换分部积分法分部积分法: 适用于两种不同类型函数乘积的积分适用于两种不同类型函数乘积的积分 注：注：，等在初等等在初等dxex2dxxxsindxxln1dxx411函数范围内没有原函数！函数范围内没有原函数！#*5 定积分定义定积分定义 b aknkkdxxfxf)()( 10lim 连续连续可积，即可积，即)(xf)(xfnabknabafdxxfnknb a)()(10limnabknabafnkn )( 1lim特例特例： ，即，即 等分等分nxk1 1 , 0nnnkfdxxfnkn1)(101 0lim nnkfnkn11lim 如，如，（1 1） 2222212111limnnnnn（2 2）22222221limnnn nn nnn#*（3 3）nbnnanbaan)1sin()sin(sin lim（4 4） （2004,22004,2） 等于等于nnnn nn 12111lim222 lnAxdx2 12lnB2 1ln2xdxC2 1)1ln(2dxxD2 12)1 (lndxx（5 5）nnnnnn nnn1sin212sin1sin lim #*6 定积分性质定积分性质（1） abbadxxfdxxf)()(aadxxf0)(（2）b ab ab aduufdttfdxxf)()()(（3）线性性质、可加性）线性性质、可加性 （4） abdxb a1以上性质用于计算！以上性质用于计算！（5）比较定理）比较定理 若若在在可积可积)(),(xgxfba,且且，则，则baxxgxf,),()(b ab adxxgdxxf)()(事实上，若事实上，若在在连续，连续，)(),(xgxfba,且且，只要，只要不恒等于不恒等于，baxxgxf,),()()(xf)(xg则则b ab adxxgdxxf)()(推论：推论： 若若在在可积，且可积，且，)(xfba,baxxf, 0)(则则0)(badxxf若若在在可积，则可积，则在在可积，且可积，且)(xfba,)(xfba,常考！常考！dxxfdxxfbaba)()(若若是是上非负的连续函数，上非负的连续函数， 只要只要不恒不恒)(xfba,)(xf等于零，则必有等于零，则必有0)(badxxf（6）估值定理）估值定理#*设设的最小值与最大值分别为的最小值与最大值分别为和和，)(xfmM bax,则则 )()()(abMdxxfabmb a（7）定积分中值定理）定积分中值定理 常用于证明！常用于证明！ 若若在在连续，则在连续，则在上至少存在一点上至少存在一点 ，)(xfba,ba,使使 b aabfdxxf)()(或或 abdxxffb a )()(称称 上式为上式为在在的平均值公式的平均值公式)(xfba,（8）如果）如果在在连续，且连续，且不变号，则至不变号，则至)(),(xgxfba,)(xg少存在一点少存在一点，使，使ba,babadxxgfdxxgxf)()()()(7 重要公式、定理重要公式、定理（1） ； ；badxxfdxd0)()()(xfdxxfdxdxaxfdttfdxd)()(#*（2）变限积分的性质及其导数）变限积分的性质及其导数若若在在可积，则可积，则在在上连续；上连续；)(xfba,xadttfx)()(ba, 若若在在连续，则连续，则在在上可上可)(xfba,xadttfx)()(ba,导导 证明定积证明定积分有关命题时使用！分有关命题时使用！注：变限积分注：变限积分只要存在就是连续的！只要存在就是连续的！xadttfx)()( 设设是连续函数，是连续函数，)(xf)()(xfdttfdxdxa)()(xfdttfdxdbx)()()()(xaxafdttfdxdxaa)()()()(xbxbfdttfdxdbxb)()()()()()()(xaxafxbxbfdttfdxdxaxbxaxadttgxfdxddttgxfdxd)()()()()()()()(xgxfdttgxfxa#*)()()(0axfduufdxdutxdttxfdxdaxxa（3）当）当为奇函数，为奇函数，为偶函数；为偶函数；)(xfdttfx0)(当当为偶函数，为偶函数，为奇函数；为奇函数；)(xfdttfx0)(奇函数的所有原函数都是偶函数；奇函数的所有原函数都是偶函数；偶函数的所有原函数只有一个是奇函数偶函数的所有原函数只有一个是奇函数（4） 定积分存在的充分条件：定积分存在的充分条件：在在连续或在连续或在)(xfba,上有界且只有有限个间断点，则上有界且只有有限个间断点，则存在，存在，ba,badxxf)(也称也称在在可积可积)(xfba,定积分存在的必要条件：可积函数必有界定积分存在的必要条件：可积函数必有界.即若即若存在，则存在，则在在上必有界上必有界badxxf)()(xfba,（5）微积分基本公式）微积分基本公式 （牛顿（牛顿-莱布尼兹公式）莱布尼兹公式） ，b aaFbFdxxf)()()()()(xfxF注：注：在在连续，揭示了不定积分和定积分连续，揭示了不定积分和定积分)(xfba,的联系的联系 在积分区间在积分区间上只有有限个间断点的被积函数上只有有限个间断点的被积函数，ba,)(xf只要其在只要其在上存在原函数，牛顿上存在原函数，牛顿-莱布尼兹公式依然成莱布尼兹公式依然成ba,立立（6）换元公式：）换元公式：dtttftxdxxfb a)()()()( #*条件：条件：在在连续，连续，在在连续，且连续，且)(xfba,)(t,，a)(b)(通常取通常取为单调函数为单调函数)(tx注：注： 换元必换限！换元必换限！分部积分公式：分部积分公式：b ab ab avduuvudv（7）在在连续，则连续，则 )(xfaa,奇函数偶函数)(0)()(2)(0 xfxfdxxfdxxfa a adxxfxfdxxfaa a0)()()(（8） ；2 022 4adxxaa222 2adxxaa a（9）设）设是连续函数，则是连续函数，则)(xf利用换元法证明利用换元法证明2020)(cos)(sin dxxfdxxf 奇数偶数nnn nnnnn nnxdxxdxnn132 231221 231cossin2020 #*200sin2sinxdxxdxnn 奇数偶数 nnxdxxdxnn0cos2cos200 奇数偶数nnxdxxdxxdxnnn0sin4sincos202 02 0 221sin40 xdx22sin24xdx1cossin2020 xdxxdx2sin0xdx 00)(sin2)(sindxxfdxxxf（10） 概率积分概率积分12122 dxex220dxex dxex2#*（11）设）设是以是以为周期的连续函数，则为周期的连续函数，则)(xfT，其中，其中为任意常为任意常220)()()(TTTTa adxxfdxxfdxxfa数数TnTdxxfndxxf00)()(（12）三角函数系）三角函数系,2cos,2sin,cos,sin, 1xxxx在在正交，即任意两个不同函数在正交，即任意两个不同函数在,cos,sinnxnx,上的积分值等于零上的积分值等于零,0coskxdx0sinkxdx 0sincoslxdxkx 0coscoslxdxkx 0sinsinlxdxkx，为正整数为正整数lk lk, kxdx2cos kxdx2sin（13）广义积分（反常积分）广义积分（反常积分） babadxxfdxxf)()(lim baabdxxfdxxf)()(lim#*ccdxxfdxxfdxxf)()()(其中其中bacbcadxxfdxxf)()(lim )0(cf其中其中baacbcdxxfdxxf)()(lim )0(cf其中其中 cabcbadxxfdxxfdxxf)()()( )(limxf cx一般是看分母为零的点一般是看分母为零的点!但也有例外但也有例外: 是瑕积分是瑕积分10ln xdx而而不是广义积分不是广义积分,因为因为1 0121dxexx011_2 0lim xxex几个重要的广义积分：几个重要的广义积分： dxxap1)0( a 11 pp 发散收敛记法记法:将将看作看作 apn1倒代换后利用上面的结果可得倒代换后利用上面的结果可得: dxxb q01)0( b 11qq发散收敛 dxxxaapln1, 1 11 pp 发散收敛（14）定积分的应用）定积分的应用#*典型例题：典型例题：一、不定积分一、不定积分1、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念（1），且，且，则，则xxxeef)(0) 1 (f_)(xf（2）已知）已知，求，求cxdxxxfarcsin)(dxxf)(12、 不定积分的计算不定积分的计算基本积分法基本积分法 （重要！）（重要！） 凑微分：熟悉常见的凑微分因子凑微分：熟悉常见的凑微分因子（1）0),()(1)(abaxdbaxfadxbaxf（2）nnnndxxfndxxxf)(1)(1（3）xxxxdeefdxeef)()(#*xxxxdaafadxaaf)(ln1)(（4）xdxfdxxxfln)(ln1)(lnxdxfadxxxfaaalog)(logln1)(log（5）xdxfdxxxf)(21)(（6）xdxfxdxxfsin)(sincos)(sinxdxfdxxxfarctan)(arctan11)(arctan2xdxfxdxxftan)(tansec)(tan2 xdxfdx xxfarcsin)(arcsin 11)(arcsin2#*xdxfxdxxxfsec)(sectansec)(sec（1）练习凑微分：练习凑微分：dxexexdx xx221arcsin1dxxx1cos1 2dxxx 21arctan21dxxxxx 5)sin(coscossindxxxx) 1(ln)ln(23 dxexxexxxx) 13()(22dxexxexxex)sin(coscos#*dx xxx2215)1ln(， dx xbxax2222sincos2sinab dxxxx 2)ln(ln1dxxexxx x )cos1 (cossincos sin2换元法：根式代换、三角代换、指数代换、倒代换、换元法：根式代换、三角代换、指数代换、倒代换、其他代换（反三角或对数代换）等其他代换（反三角或对数代换）等（2） dxxxex 23 )1 (2arctan dx x2111#*（3） dx exexx 1dxxx)11ln(0x（4） dxee xx 2arctanxxxdx 4212（5） dxxxx)1 (arctan 22dxx)sin(ln（6） 222xaxdx)0( adxxx 1003) 1(12分部积分法：适用于两种不同类型函数乘积的积分，也常分部积分法：适用于两种不同类型函数乘积的积分，也常用于递推公式的推导用于递推公式的推导（7） dxexx22) 1(xdxxx2cos)522(3#*（8） dxxx2)1 (ln（9）xdxx2sin（10）dxxex22) 1(tan（11） dxxx2sinsinlndxxxxlnarcsin（2011,3）（12） dxaxInn)(1 22有理函数（分子、分母都是多项式函数）的不定积分有理函数（分子、分母都是多项式函数）的不定积分（13） dxxx 11 42（14） dxxxx224三角有理式（由正、余弦函数及常数经过有限次四则运算三角有理式（由正、余弦函数及常数经过有限次四则运算得到的函数）的不定积分（数三不要求）得到的函数）的不定积分（数三不要求）（15） dxxsin11#*（16）dxxxcos1cos（17） dxxx22cos2sin1（不全为零）不全为零）dxxbxa2222cossin1ba,（18） dxxxxx sin2cos5sin3cos7（19）xdx tan53简单无理函数的不定积分简单无理函数的不定积分（20） dxxx31（21）dx xx342) 1() 1(1抽相函数的不定积分抽相函数的不定积分 （22）dxxfxxf )(ln)(ln（23），其中，其中的原函数为的原函数为dxxf x)2()(xfxxsin#*分段函数的不定积分分段函数的不定积分（24）dxxx), 1max(32二、定积分、反常积分、变限积分二、定积分、反常积分、变限积分1、 定积分的性质定积分的性质（1）比较）比较，1 2dxex1 22dxex1 2)1 (dxx（2）设）设，则，则dxxxI401tan dxxxI402tanA121 IIB211II C112 IID121II （3）设）设，则，则tdtexFx xtsin)(2sin)(xF为正常数为正常数 为负常数为负常数AB恒为零恒为零 不为常数不为常数CD（4）设）设)3 , 2 , 1(sin02kxdxeIkx kA321IIIB123III#*C132IIID312III2、 定积分的计算定积分的计算（1）dxex2ln 021（2）dxxxx2 022（3）dxxx1 023 4)1 (（4）dxxxxeee e lnlnln（5）dxx0sin1（6）dxexx2 2)1ln(#*（7）dxxx102)2()1ln(（8）dxxxxex 442cos)sin(cos（9） xdxx2 08sin（10）设）设在区间在区间上连续，上连续，)(),(xgxf)0(,aaa为偶函数，且为偶函数，且满足条件满足条件)(xg)(xf(为常数为常数) 证明证明Axfxf)()(Aaa adxxgAdxxgxf0)()()( 利用利用的结论计算的结论计算 22arctansindxexx抽象函数的定积分抽象函数的定积分（1）设设，求，求dtttxfx0sin)( 0)(dxxf（2），及及21)2(f0)2( f2 01)(dxxf#*求求dxxfx)2(1 02 对称区间奇、偶函数的积分；周期函数的积分对称区间奇、偶函数的积分；周期函数的积分（1）dxxx1 122)1(（2）xdxxx22223cos)sin(（3）xdx343224sin（4）dxxn 02sin1（5）dxxxe e)sin1)(sin22特殊形式的积分特殊形式的积分（1）设）设在在满足满足，)(xf),(xxfxfsin)()(且且，求，求, 0,)(xxxf 3)(dxxf#*分段函数的定积分分段函数的定积分（1） ，求，求 001)(2xexxxfx3 1)2(dxxf（2）dxx ), 2min(2 32（3）dxxx5 2232（4）dtxt t1 0杂例杂例（1）设）设连续，且连续，且，)(xf1 0)(2)(dttfxxf则则_)(xf（2） 在在上的平均值为上的平均值为221xxy 23,21_（3）会读图！）会读图！#*递推公式：常用分部积分法！递推公式：常用分部积分法！（1） , 40tan xdxan nZn求求)tan(lim40 xdxnnn（2） ， xdxxbn n 0sinZn3、变限积分、变限积分（1）设设连续，且连续，且，)(xf2 0arctan21)2(xdttxtfx已知已知，求，求1) 1 (f2 1)(dxxf（2）设）设为连续函数，为连续函数，)(xft ytdxxfdytF)()(1求求)2(F（3）设）设为连续函数，为连续函数，)(xfts dxtxftI0)(其中其中，则，则的值的值0, 0stI依赖于依赖于 依赖于依赖于和和Ats,Bts,x依赖于依赖于不依赖于不依赖于 依赖于依赖于 不依赖于不依赖于Cxt,sDst#*（4）设）设 ， 010001)(xxxxfxdttfxF0)()(问问在在处处)(xF0x不连续不连续 连续但不可导连续但不可导ABC 可导且可导且)()(xfxF可导但可导但未必等于未必等于D)(xF)(xf（5）设）设，则，则 xdtexfxt,)(0212 _)( xf 的单调性是的单调性是)(xf_ 的奇偶性是的奇偶性是)(xf_ 图形的拐点是图形的拐点是_ 凸凹区间是凸凹区间是_ 水平渐近线是水平渐近线是_4、广义积分（反常积分）、广义积分（反常积分）#*（1 1）dxxx 12arctan（2 2）已知）已知，则，则1 dxexk_k注：对称区间上奇、偶函数的反常积分与对称区间上奇、注：对称区间上奇、偶函数的反常积分与对称区间上奇、偶函数的定积分比较，多了一个条件：收敛！如果不满足偶函数的定积分比较，多了一个条件：收敛！如果不满足这个条件，结论不成立！这个条件，结论不成立！反例：反例：是发散的，即认为是发散的，即认为 dxxx 21 dxxx 210是错的！是错的！（3 3） 22)7(xxdx（4 4）当）当为何值时，为何值时，收敛；收敛；为何值，发散；为何值，发散；kdxxxk 2ln1k为何值，反常积分取得最小值为何值，反常积分取得最小值k三、定积分的应用（微元法）三、定积分的应用（微元法）1 1、几何方面、几何方面#*（1 1）位于曲线）位于曲线下方，下方，轴上方的轴上方的)0(xxeyxx无界图形的面积是无界图形的面积是_（2 2）曲线）曲线与与轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕)0(sin23 xxyx轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积x_（3 3）曲线）曲线与与轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕轴轴)2)(1(xxyxy旋转旋转一周所一周所得旋转体的体积得旋转体的体积 _（4 4）设有曲线）设有曲线，过原点做其切线，求由此曲线、，过原点做其切线，求由此曲线、1xy切线及切线及轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转轴旋转一周所得旋转xx体的表面积体的表面积（5 5）过原点作曲线）过原点作曲线的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线xylnxyln及及轴围成平面图形轴围成平面图形，xD 求求的面积的面积；DA 求求绕直线绕直线旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积Dex V（6 6）求曲线）求曲线与与轴围成的封闭图形绕直线轴围成的封闭图形绕直线132xyx旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积3yV（7 7）设）设星形线星形线， )0(sincos 33ataytax求面积求面积；全长；全长 ；绕；绕轴旋转得旋转面的全面积轴旋转得旋转面的全面积Asx；绕；绕轴旋转得旋转体的体积轴旋转得旋转体的体积xAxxV#*（8 8）双纽线）双纽线所围成区域的面积可表所围成区域的面积可表22222)(yxyx示为示为A402cos2 dB402cos4 dC402cos2 dD402)2(cos21 d（9 9）曲线）曲线的弧长的弧长)40(0xantdttyx_s（2011,1,22011,1,2）（1010）当）当时，对数螺线时，对数螺线的弧长为的弧长为0er _（2010,22010,2）(11)(11)设封闭曲线设封闭曲线的极坐标方程为的极坐标方程为，L3cosr，则，则所围平面图形的面积是所围平面图形的面积是)66(L_(12)(12)设曲线设曲线在在的部分与的部分与轴所围成轴所围成xeyxsin210xx的平面区域记为的平面区域记为，试求平面区域，试求平面区域绕绕轴旋转所得的旋轴旋转所得的旋x转体体积转体体积 V2 2、物理方面、物理方面（1 1）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比，比对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比，比#*例系数为例系数为，汽锤第一次击打桩打进地下，汽锤第一次击打桩打进地下米，米，)0( kka根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数一次击打时所做的功之比为常数，) 10( rr问汽锤击打桩问汽锤击打桩 次后，可将桩打进地下多深？次后，可将桩打进地下多深？3若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（2 2）证明：把质量为）证明：把质量为的物体从地球表面升高到的物体从地球表面升高到处所做处所做mh的功是的功是，其中，其中是重力加速度，是重力加速度，是地球半径是地球半径hRmgRhWgR（3 3）如图所示：）如图所示：轴上有一线密度为常数轴上有一线密度为常数，长度为，长度为 的的xl细杆，有一质量为细杆，有一质量为的质点到杆右端的距离为的质点到杆右端的距离为，已，已ma知引力系数为知引力系数为，则质点和细杆之间引力的大小为，则质点和细杆之间引力的大小为kAdxxakm l0 2)(Bdxxakm l0 2)(Cdxxakm l022)(2Ddxxakml 202)(2（4 4）设一半径为）设一半径为，中心角为，中心角为的圆弧形细棒，其线密度的圆弧形细棒，其线密度R为常数为常数，在圆心处有一个质量为，在圆心处有一个质量为的质点的质点，试求细棒，试求细棒mM对质点对质点的引力的引力M（5 5）某闸门形状与大小如图示：其中）某闸门形状与大小如图示：其中 为对称轴，闸门的为对称轴，闸门的l上部为矩形上部为矩形，下部由二次抛物线与线段，下部由二次抛物线与线段围成，围成，ABCDAB当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水#*压力与闸门下部承受的水压力之比为压力与闸门下部承受的水压力之比为，闸门矩形部分的，闸门矩形部分的45高高应用多少米？应用多少米？h（6 6）一容器的内侧是由图中曲线绕）一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲轴旋转一周而成的曲y面，该曲线由面，该曲线由与与)21(222yyyx连接而成，求容器的容积；连接而成，求容器的容积；)21( 122yyx若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位做多少功？（长度单位: :, ,重力加速度为重力加速度为，m2sgm水的密度为水的密度为） 3310mkg3 3、 经济方面经济方面四、关于定积分的证明问题四、关于定积分的证明问题