24[1].2.2_直线与圆的位置关系(切线长定理).ppt

上节课我们学习了什么内容？上节课我们学习了什么内容？1 1、切线的判定方法；、切线的判定方法；（1）、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。）、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。（2）、数量法（）、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。（3）、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。）、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2 2、切线的作法；、切线的作法；3 3、常见辅助线；、常见辅助线；（1）若直线与圆的有一个公共点已指明，则连接该点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的有一个公共点已指明，则连接该点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径；（2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作该直线的垂线段，然后证明这条线段的长等于圆的半径若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作该直线的垂线段，然后证明这条线段的长等于圆的半径4 4、切线的性质。、切线的性质。（）、切线和圆只有一个公共点。）、切线和圆只有一个公共点。（）、切线和圆心的距离等于半径。（）、切线和圆心的距离等于半径。（3）、）、切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。（）、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。（）、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。（）、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。（）、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。AlO知二求一知二求一(1)过圆心；过圆心；(2)过切点；过切点；(3)垂直于切线垂直于切线已知已知 o及及 o外的一点外的一点P，PA与与 o相切于相切于A点，点，连接连接OA、OP，如果将，如果将 o沿直线沿直线OP翻折，与翻折，与A点重合的点点重合的点B在圆上吗？如果在在圆上吗？如果在PB是是 o的的切线吗？为什么？切线吗？为什么？根据圆的轴对称性，存在与根据圆的轴对称性，存在与A A点重合点重合的一点的一点B B，且落在圆，连接，且落在圆，连接OBOB，则它，则它也是也是o o的一条半径。的一条半径。OPAB你能发现你能发现OAOA与与PAPA，OBOB与与PBPB之间的关系吗？之间的关系吗？PA、PB所在的直线分别是所在的直线分别是 o两条切线两条切线。经过圆外一点，可以做经过圆外一点，可以做2 条条圆的圆的切线切线经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的的线段线段的长，叫做这点到圆的的长，叫做这点到圆的切线长。切线长。如图，如图，P P是是O O外一点，外一点，PAPA，PBPB是是O O的两条的两条切线，我们切线，我们把线段把线段PAPA，PBPB叫做点叫做点P P到到O O的切的切线长。线长。OPAB 注意：注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。外一点和切点，可以度量。OPABoop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O，与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线。的切线。如图，已知如图，已知 O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？想一想为什么？想一想为什么？opAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。opAB PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，若连接如图，若连接AB，则，则OP与与AB有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD切线长定理推论：切线长定理推论：从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。成的弧。AD与与BD相等吗？相等吗？我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。垂直平分切垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。点所成的弦；平分切点所成的弧。六个六个如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？可能大呢？ABCABCMDNI与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内三角形的内三角形的内三角形的内切圆；切圆；切圆；切圆；三角形内切圆的圆心三角形内切圆的圆心三角形内切圆的圆心三角形内切圆的圆心叫做叫做叫做叫做三角形的内心三角形的内心三角形的内心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是三角形三条角平分线的交点是三角形三条角平分线的交点是三角形三条角平分线的交点；这个三角这个三角这个三角这个三角形叫做形叫做形叫做形叫做圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。三角形的内切圆可以作出几个三角形的内切圆可以作出几个?为什么为什么?.?.角平分线角平分线BEBE和和CFCF只有一个交只有一个交点点I,I,并且点并且点I I到到ABCABC三三边的距边的距离相等离相等(为什么为什么?),?),因此和因此和ABCABC三边都相切的三边都相切的圆可以作出一个圆可以作出一个,并且只能作一个并且只能作一个.ABCIEF已知已知A=80，则，则BIC=.130BIC=90+A121.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。作三角形内切圆的方法：作三角形内切圆的方法：ABC1、作、作B、C的平分线的平分线BM和和CN，交点为，交点为I。I2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。3以以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 I.I就是所求的圆。就是所求的圆。DMNo外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个顶点的距离。角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的距离。角形任意一边的距离。AABBCCn提示提示:n多边形的边与多边形的边与圆圆的位置关系称为的位置关系称为切切.n多边形的顶点与多边形的顶点与圆圆的位置关系称为的位置关系称为接接.OACDB图（图（1）图（图（2）说出下列图形中四边形与圆的位置关系说出下列图形中四边形与圆的位置关系.四边形四边形ABCD叫做叫做 O的的外切四边形外切四边形四边形四边形ABCD叫做叫做 O的的内接四边形内接四边形根据切线长定理猜想根据切线长定理猜想圆的外切四边形的两组对边有圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性什么关系？说明你的结论的正确性.OABCDLMNP补充结论：圆的外补充结论：圆的外切四边形的两组对切四边形的两组对边的和相等边的和相等BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算（a+b+c)r12SABC=ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设CECE r r 则AD=AD=b-rb-r,BE=a-r,BE=a-r,O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 rabc2则有则有则有则有c=(c=(b-rb-r)+(a-r)+(a-r),应用新知应用新知1、判断、判断（1）过一点可以做圆的两条切线。（）过一点可以做圆的两条切线。（）（2）切线长就是切线的长。（）切线长就是切线的长。（）2、已知、已知PA、PB与与 O相切相切于点于点A、B，O的半径为的半径为2（1）若四边形）若四边形OAPB的周的周长为长为10，则，则PA=。（2）若）若APB=60，则则PA=。OPAB322304基础题：基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.3.OO是边长为是边长为是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,EF,EF切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形正方形正方形22cm22cm2cm2cmABCDEO21例1如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，与与AC相切于点相切于点D。求证：。求证：DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线C是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即ABCEDFO 如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。例2（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形。为正方形。ABODCOBBC3半径半径r的取值范围为的取值范围为0r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。1 1、小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径)，而小红家只有一把长，而小红家只有一把长，而小红家只有一把长，而小红家只有一把长20cm 20cm 的直尺，根的直尺，根的直尺，根的直尺，根本不够长，怎么办呢本不够长，怎么办呢本不够长，怎么办呢本不够长，怎么办呢?小红想了想，采取以下方法小红想了想，采取以下方法小红想了想，采取以下方法小红想了想，采取以下方法:首先把锅平放首先把锅平放首先把锅平放首先把锅平放到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MAMA的长，即的长，即的长，即的长，即可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理.O2、如图，、如图，PA ，PB是是 O的两条切线，的两条切线，A，B 为为切点，直线切点，直线 OP交交 O于于 C，D，交，交AB于于E，AF 为为 O直径，下列结论：直径，下列结论：ABP=AOP，BC=DF；POBF，其中结论正确的是，其中结论正确的是 .OEDCFBAP DOEDOE的大小是定值。的大小是定值。试证：试证：PDEPDE的周长是定值。的周长是定值。（PA+PBPA+PB）（AOB/2AOB/2）(3)(3)若若P=40P=40，你能说出你能说出DOEDOE的度数吗？的度数吗？3 3、如图：从如图：从O O外的定点外的定点P P作作O O的两条切线，的两条切线，分别切分别切O O于点于点A A和和B B，在弧，在弧ABAB上任取一点上任取一点C C，过，过点点C C作作O O的切线，分别交的切线，分别交PAPA、PBPB于点于点D D、E E。OPABCED7070.课时小结课时小结一、切线长定理：一、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线长相等等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。二、三角形的内切圆二、三角形的内切圆1、定义：、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。内心与顶点连线平分内角。知识像一艘船让它载着我们驶向理想的