学案7对数函数 (2).ppt

学案学案7 对对 数数 函函 数数 对对数数函函数数(1)(1)理解对数的概念及其运算性质理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用了解对数在简化运算中的作用.(2)(2)理解对数函数的概念及其单调性理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为会画底数为2,10,2,10,的对数函数的图象的对数函数的图象.(3)(3)体会对数函数是一类重要的函数模型体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)(4)了解指数函数了解指数函数y=y=a ax x(a(a0,0,且且a1)a1)与对数函数与对数函数y=y=logax(alogax(a0,0,且且a1)a1)互为反函数互为反函数.1.对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一,也也是高考的必考内容之一是高考的必考内容之一,高考中重点考查定义、图象和性质，高考中重点考查定义、图象和性质，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力力.2.高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的图象与性质，同时也以知识综合性较强的解答题形式出现，图象与性质，同时也以知识综合性较强的解答题形式出现，与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问题题.1.对数的概念(1)对数的定义对数的定义一般地一般地,如果如果ax=N(a0,且且a1),那么数那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数的对数,记作记作 ,其中其中 叫做对数的底数叫做对数的底数,叫做真数叫做真数.(2)几种常见对数几种常见对数x=logaN a N 对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a(aa(a0,0,且且a1)a1)常用对数常用对数底数为底数为 自然对数自然对数底数为底数为logaN 10 lgN e lgN 2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质对数的性质 =;=(a0,且且a1).N N (2)对数的重要公式对数的重要公式换底公式换底公式:(a,b均大于零均大于零且不等于且不等于1);logab=,推广推广logablogbclogcd=.(2)对数的运算法则对数的运算法则如果如果a0,且且a1,M0,N0,那么那么:loga(MN)=;=;=(nR);.nlogaM 3.对数函数的图象与性质a1a10a10a1x1时时,当当0 x10 x1x1时时,当当0 x10 x0y0y0增函数增函数 减函数减函数 4.反函数指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数 互为互为反函数反函数,它们的图象关于直线它们的图象关于直线 对称对称.y=x y=logax 考点考点考点考点1 1 对数式的化简与求值对数式的化简与求值对数式的化简与求值对数式的化简与求值 求下列各式的值：求下列各式的值：（1）;（2）（）（lg5)2+2lg2-（lg2)2.【分析分析】利用对数的运算性质求值利用对数的运算性质求值【解析解析】（1)原式原式 （2)原式（原式（lg5+lg2）（）（lg5-lg2)+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=1.【评析评析评析评析】对数式的化简与求值的常用思路对数式的化简与求值的常用思路对数式的化简与求值的常用思路对数式的化简与求值的常用思路 （1 1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并算法则化简合并算法则化简合并算法则化简合并.（2 2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算积、商、幂再运算积、商、幂再运算积、商、幂再运算.计算下列各式的值计算下列各式的值:(2)原式原式=(1)原式原式=【解析解析解析解析】(3)原式原式考点考点考点考点2 2 对数函数的图象对数函数的图象对数函数的图象对数函数的图象已知函数已知函数f(x)=|lgx|,若若0ab,且且f(a)=f(b),则则a+2b的取值范的取值范围是围是 ()A.(2 ,+)B.2 ,+)C.(3,+)D.3,+)【分析分析】可利用数形结合画出函数可利用数形结合画出函数f(x)的图象的图象,解出解出a与与b的关系变为一元函数求取值范围的关系变为一元函数求取值范围.【解析解析】如图如图,图作出图作出f(x)=|lgx|的大致图象的大致图象,由由f(a)=f(b)知知|lga|=|lgb|,lga+lgb=0,ab=1.b=.a+2b=a+.由题意知由题意知0a1+=3,即即a+2b3.故应选故应选C.【评析评析评析评析】本题考查函数图象及函数最值本题考查函数图象及函数最值,属中档难度题属中档难度题.已知不等式已知不等式logaxlogbx0logcx,则则 （）A.0c1baB.0ba1cC.0c1ab或或0ab1cD.0c1ab或或0ba11时，三个函数的图象关系如图（时，三个函数的图象关系如图（1）所）所示，此时有示，此时有0c1ab.【解析解析解析解析】【答案答案答案答案】若若0 x1时，则三个函数的图象关系如图（时，则三个函数的图象关系如图（2）所示，此）所示，此时有时有0ba10,a1),如果对于任意如果对于任意x3,+)都有都有|f(x)|1成立成立,试求试求a的取值范围的取值范围.【分析分析分析分析】当当x3,+)时时,必有必有|f(x)|1成立成立,可可以理解为函数以理解为函数|f(x)|在区间在区间3,+)上的最小值不小上的最小值不小于于1.【解析解析解析解析】当当a1时时,对于任意对于任意x3,+),都有都有f(x)0.|f(x)|=f(x),而而f(x)=logax在在3,+)上为增函数上为增函数,对于任意对于任意x3,+),有有f(x)loga3.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x3,+)都成立都成立.只要只要loga31=logaa即可即可,1a3.当当0a1时时,对于对于x3,+),有有f(x)0,|f(x)|=-f(x).f(x)=logax在在3,+)上为减函数上为减函数,-f(x)在在3,+)上为增函数上为增函数.对于任意对于任意x3,+)都有都有|f(x)|=-f(x)-loga3.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x3,+)都成立都成立,只要只要-loga31成立即可成立即可,loga3-1=loga ,即即 3,a1,在区间在区间(-,1-上是减函数上是减函数,g(x)=x2-ax-a在区间在区间(-,1-上也是单调减上也是单调减函数函数,且且g(x)0.1-a2-2 g(1-)0,(1-)2-a(1-)-a0,解得解得2-2 a2.故故a的取值范围是的取值范围是a|2-2 a .【分析分析】由条件由条件f(x+1)=f(x-1)得出函数得出函数f(x)是以是以2为周期为周期的周期函数的周期函数,这个条件是求各问的关键这个条件是求各问的关键.【解析解析】（1）f(x+1)=f(x-1),且且f(x)是是R上的偶函数，上的偶函数，f(x+2)=f(x)=loga(2+x),x-1,0 loga(2-x),x0,1.(2)当当x2k-1,2k时，时，f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k),同理，当同理，当x2k,2k+1时，时，f(x)=loga(2-x+2k).f(x)=loga(2+x-2k),x2k-1,2k loga(2-x+2k),x2k,2k+1(kZ).(3)由于函数以由于函数以2为周期为周期,故考查区间故考查区间-1,1.若若a1,loga2=,即即a=4.若若0a0，且，且a1,u=2-ax在在0,1上是关于上是关于x的减函数的减函数.又又f(x)=loga(2-ax)在在0,1上是关于上是关于x的减函数，的减函数，函数函数y=logau是关于是关于u的增函数，且对的增函数，且对x0,1时，时，u=2-ax恒为正数恒为正数.其充要条件是其充要条件是 ，即，即 1abc B.bacC.acb D.cab由由于于对对数数函函数数y=logax的的图图象象和和性性质质与与底底数数a的的取取值值范范围围密密切切相相关关.当当a1时时，函函数数y=logax在在定定义义域域内内为为单单调调增增函函数数，当当0a0,0,且且且且a1)a1)互为反函数互为反函数互为反函数互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它要能从概念、图象和性质三个方面理解它要能从概念、图象和性质三个方面理解它要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别们之间的联系与区别们之间的联系与区别们之间的联系与区别.2.2.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与底数与底数与底数与1 1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的哪些基本初等函数复合而成的哪些基本初等函数复合而成的哪些基本初等函数复合而成的.