初等数论习题.docx

第 1 节1. 证明定理 1。2. 证明：若 m pmn pq，则 m pmq np。的形式。第 2 节 5. 设 a 是自然数，问 a4 3a2 9 是素数还是合数？第 3 节的最大公约数。第 4 节3. 设 a，b 是正整数，证明：(a b)a, b = ab, a b。4. 求正整数 a，b，使得 a b = 120，(a, b) = 24，a, b = 144。5. 设 a，b，c 是正整数，证明： 6. 设 k 是正奇数，证明：1 2 91k 2k 9k。第 5 节1. 证明定理 1 的推论 1。2. 证明定理 1 的推论 2。 第 7 节4. 设 n 是正整数，求方程在1, n中的解的个数。6. 证明：在 n!的标准分解式中，2 的指数 h = n k，其中 k 是 n 的二进制表示的位数码之和。 第 8 节发散，此处使用了定理 1 注 2 中的记号。第2章第 1 节1. 证明定理 1 和定理 2。2. 证明定理 4。 第 2 节 通过模 m = m1m2mn 的完全剩余系。第 3 节通过模 m 的简化剩余系。 6. 设 n 是正整数，证明：() (n) >第 4 节1. 证明：1978103 19783 能被 103 整除。2. 求 313159 被 7 除的余数。4. 设 p，q 是两个不同的素数，证明： 5. 求(n)的 Mobius 变换。第3章第 1 节的小数的循环节。 第 2 节1. 设连分数 1, 2, , n, 的第 k 个渐近分数为2. 设连分数 1, 2, , n, 的第 k 个渐近分数为 第 3 节3. 求的误差 10 5 的有理逼近。2. 求 =之值。 的充要条件是pn = a1qn qn 1，dqn = a1pn pn 1。pn = a1qn qn 1，dqn = a1pn pn 1，证明：第4章第 1 节1. 将 1. 证明定理 2 推论。2. 设 x，y，z 是勾股数，x 是素数，证明：2z 1，2(x y 1)都是平方数。3. 求整数 x，y，z，x > y > z，使 x y，x z，y z 都是平方数。4. 解不定方程：x2 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1。 5. 证明下面的不定方程没有满足 xyz 0 的整数解。() x2 y2 z2 = x2y2；