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培养思维能力培养思维能力 明确数学思想明确数学思想2006年年12月月11日日问题提出的背景：问题提出的背景：一、新课程的理想与一线教学的现实有很大的差距一、新课程的理想与一线教学的现实有很大的差距 北师大教材是改革步伐最大的，它想让教师北师大教材是改革步伐最大的，它想让教师们由呈现的内容，再根据学生情况来采用最适合自们由呈现的内容，再根据学生情况来采用最适合自己学生的思维培养方法。己学生的思维培养方法。而现实是很多教师（特别是没教过人教教材而现实是很多教师（特别是没教过人教教材的年青教师）看不透教材里隐含的内容，不清楚什的年青教师）看不透教材里隐含的内容，不清楚什么是良好的思维品质，有哪些数学思想，在教学中么是良好的思维品质，有哪些数学思想，在教学中如何培养学生的思维能力，数学思想在教学中如何如何培养学生的思维能力，数学思想在教学中如何呈现，有什么用等等问题有待讨论。呈现，有什么用等等问题有待讨论。二、教师的教学理念有待更新二、教师的教学理念有待更新 很多初级中学的教师对我说：我们的学很多初级中学的教师对我说：我们的学生基础太差了，数学知识的掌握都有问题，生基础太差了，数学知识的掌握都有问题，哪里还有时间和精力能力谈什么思维能力的哪里还有时间和精力能力谈什么思维能力的培养。培养。三维目标不是三层目标，它们是相辅三维目标不是三层目标，它们是相辅相成的，相互促进，缺一不可。有意识地培相成的，相互促进，缺一不可。有意识地培养思维能力，很多琐碎的知识方面的困难是养思维能力，很多琐碎的知识方面的困难是可以跨过的，类似于坐在直升飞机上看森林，可以跨过的，类似于坐在直升飞机上看森林，真面目清清楚楚。真面目清清楚楚。基于问题，今天先论讨一些基于问题，今天先论讨一些理论层面的论述，具体的操作可理论层面的论述，具体的操作可见欧光剑老师和伍述辉老师的专见欧光剑老师和伍述辉老师的专题讲座。题讲座。良好的思维品质：良好的思维品质：1思维的深刻性。思维的深刻性。数学思维的深刻性是学生在数学知识的学数学思维的深刻性是学生在数学知识的学习与应用过程中，在对事物的观察、比较、分习与应用过程中，在对事物的观察、比较、分析、综合、抽象和概括的过程中，在归纳、演析、综合、抽象和概括的过程中，在归纳、演绎、类比等推理过程中，在对自己的数学思想绎、类比等推理过程中，在对自己的数学思想方法的阐述过程中，都会体现出思维深刻性的方法的阐述过程中，都会体现出思维深刻性的差异来。差异来。“刨根问底刨根问底”、“打破沙锅问到底打破沙锅问到底”是深刻性的写照，是深刻性的写照，“去粗取精，去伪存真，由去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里此及彼，由表及里”也是深刻性的体现。也是深刻性的体现。2思维的灵活性。思维的灵活性。数学学习中思维灵活性往往表现数学学习中思维灵活性往往表现在随着具体条件而确定解题方向，并在随着具体条件而确定解题方向，并能随着条件的变化而有的放矢地转化能随着条件的变化而有的放矢地转化解题方法；表现在从新的高度、新的解题方法；表现在从新的高度、新的角度看待已知知识；还表现在从已知角度看待已知知识；还表现在从已知的数学关系中看出新的数学关系。思的数学关系中看出新的数学关系。思维的灵活性与思维的发散性有一致的维的灵活性与思维的发散性有一致的地方。发散思维的特点是多开端、灵地方。发散思维的特点是多开端、灵活、精致和新颖。活、精致和新颖。3思维的独创性。思维的独创性。中学生的独立编题能力迅速发展，中学生的独立编题能力迅速发展，编题的抽象概括性也在发展，寻找新编题的抽象概括性也在发展，寻找新颖解题方法的水平也在提高；初中生颖解题方法的水平也在提高；初中生还没有解题时的创造灵感表现，而高还没有解题时的创造灵感表现，而高中生同有灵感的萌芽。总之，中学阶中生同有灵感的萌芽。总之，中学阶段数学思维的独创性在迅速发展，但段数学思维的独创性在迅速发展，但还不成熟。它的成熟比其它思维品质还不成熟。它的成熟比其它思维品质要晚些。要晚些。4思维的批判性。思维的批判性。学生当中经常有人对老师和教材提出异见，但我学生当中经常有人对老师和教材提出异见，但我们要知道，我们所谓的批判性具有五个特点：（们要知道，我们所谓的批判性具有五个特点：（1）分）分析性，即在思维活动中不断地分析解决问题所依据的条析性，即在思维活动中不断地分析解决问题所依据的条件，反复验证业已拟定的假设、计划和方案；（件，反复验证业已拟定的假设、计划和方案；（2）策）策略性，即能够根据当前任务的需要，调动自己已有的知略性，即能够根据当前任务的需要，调动自己已有的知识经验，将它们组织为相应的解题策略或手段，并使它识经验，将它们组织为相应的解题策略或手段，并使它们在解题中发挥作用；（们在解题中发挥作用；（3）全面性，即在思维活动中）全面性，即在思维活动中能够客观地从各个侧面考虑问题，把握问题的进展情况能够客观地从各个侧面考虑问题，把握问题的进展情况，善于进行自我评价，坚持正确计划，随时修改错误方，善于进行自我评价，坚持正确计划，随时修改错误方案；（案；（4）独立性，即不为情景性暗示所左右，不迷信）独立性，即不为情景性暗示所左右，不迷信权威，敢于对权威的观点提出疑问，不人云亦云、盲目权威，敢于对权威的观点提出疑问，不人云亦云、盲目附和；（附和；（5）正确性，即思维过程严谨，条理清晰，思）正确性，即思维过程严谨，条理清晰，思维结果正确，结论实事求是。维结果正确，结论实事求是。5.思维的敏捷性。思维的敏捷性。在数学学习中，思维的敏捷性主要表在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又有赖于在正确前提下的速度训练。经过练习，有赖于在正确前提下的速度训练。经过练习，从中总结经验，进而概括出规律。并通过应从中总结经验，进而概括出规律。并通过应用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷性。因此，敏捷性又与概括性紧密相联，推性。因此，敏捷性又与概括性紧密相联，推理的缩短取决于概括，理的缩短取决于概括，“能能立即立即进行概进行概括的学生，也能括的学生，也能立即立即进行推理的缩短。进行推理的缩短。”上述五种思维品质相辅相成，密不可分，组成一上述五种思维品质相辅相成，密不可分，组成一个有机整体。其中，思维的深刻性是一切思维品质的个有机整体。其中，思维的深刻性是一切思维品质的基础；灵活性和独创性是在深刻性基础上引伸出来的基础；灵活性和独创性是在深刻性基础上引伸出来的两个思维品质，它们是交叉的关系，两者互为条件，两个思维品质，它们是交叉的关系，两者互为条件，不过前者更具有广度和富有顺应性，后者则更具深度不过前者更具有广度和富有顺应性，后者则更具深度和新颖性，前者是后者的基础，后者是前者的发展。和新颖性，前者是后者的基础，后者是前者的发展。思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的品质，只思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的品质，只有深刻的认识、周密的思考，才能全面而准确地作出有深刻的认识、周密的思考，才能全面而准确地作出判断，同时，只有不断地进行自我批判、及时调节思判断，同时，只有不断地进行自我批判、及时调节思维过程，才能使主体更加深刻地揭示事物的本质和规维过程，才能使主体更加深刻地揭示事物的本质和规律。思维的敏捷性是以其它四个思维品质为必要前提律。思维的敏捷性是以其它四个思维品质为必要前提的，同时又是其它四个品质的具体表现。的，同时又是其它四个品质的具体表现。初中常见的数学思想初中常见的数学思想一、符号语言思想：一、符号语言思想：使用符号化语言和在其中引进使用符号化语言和在其中引进“变元变元”，是数学科学高度抽象性的要求，用含有变元的是数学科学高度抽象性的要求，用含有变元的符号组合来表示一般规律和规则，是作为经验符号组合来表示一般规律和规则，是作为经验科学的科学的“算学算学”，进到作为理论科学的，进到作为理论科学的“数学数学”的第一标志，我国传统数学最大的弱点是没的第一标志，我国传统数学最大的弱点是没有普遍贯彻符号化与变元表示的思想，因此在有普遍贯彻符号化与变元表示的思想，因此在许多方面难以表示数学的一般规律，这个弱点许多方面难以表示数学的一般规律，这个弱点曾长期阻碍我国数学的高度发展。曾长期阻碍我国数学的高度发展。数学是一个符号化的世界，数学符号就是数学的数学是一个符号化的世界，数学符号就是数学的语言语言-世界上最通用的一种语言，它是数学抽象物世界上最通用的一种语言，它是数学抽象物的表现形式，是对现实世界数量关系的一种反映结果。的表现形式，是对现实世界数量关系的一种反映结果。中小学数学教学过程中，无时无刻不贯穿着这一思想中小学数学教学过程中，无时无刻不贯穿着这一思想的渗透，小学的填数题，其实就是方程问题，我们用的渗透，小学的填数题，其实就是方程问题，我们用“方框方框”或或“圆圈圆圈”等符号表示数，让学生有一种初等符号表示数，让学生有一种初步的认识，到了中学，方程的引入充分的体现了这一步的认识，到了中学，方程的引入充分的体现了这一思想的应用，另外换元法等方法的渗透，更进一步让思想的应用，另外换元法等方法的渗透，更进一步让符号化变元思想充分体现其优势，再次参数思想的引符号化变元思想充分体现其优势，再次参数思想的引入，使得对于一个比较复杂的问题根据问题的整体形入，使得对于一个比较复杂的问题根据问题的整体形式寻找制约因素，抓住基本量，引入适当参数，联系式寻找制约因素，抓住基本量，引入适当参数，联系已知条件，使问题得到简洁可行的解答。已知条件，使问题得到简洁可行的解答。二、集合思想二、集合思想 数系、点集、解集是集合的雏形和基础。数系、点集、解集是集合的雏形和基础。数系是中学数学中主要研究的对象，是立足于集数系是中学数学中主要研究的对象，是立足于集合概念之上的，随着数系的逐步扩展，实数与数轴上合概念之上的，随着数系的逐步扩展，实数与数轴上点的对应关系，促使数形结合，逐步展开对各种数学点的对应关系，促使数形结合，逐步展开对各种数学问题的讨论，为一元一次不等式的解集对应数轴上的问题的讨论，为一元一次不等式的解集对应数轴上的一个点集；又如数值函数可完全由其图象确定，该图一个点集；又如数值函数可完全由其图象确定，该图象是平面上的一个点集，对应着象是平面上的一个点集，对应着RR的一个子集，所的一个子集，所以，数值函数是以，数值函数是RR的一个子集，可见，中学教学中的一个子集，可见，中学教学中涉及的数学对象归跟到底都归结为集合。涉及的数学对象归跟到底都归结为集合。三、方程与函数思想三、方程与函数思想 函数是数集之间的一种特殊对应，它是反函数是数集之间的一种特殊对应，它是反映客观事物及其运动变化的一种重要形式，也映客观事物及其运动变化的一种重要形式，也是解决实际问题的有力工具。函数思想的建立是解决实际问题的有力工具。函数思想的建立是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，使数是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，使数学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物（集合）间的相互联系，它不仅使数学由研物（集合）间的相互联系，它不仅使数学由研究状态进到研究过程，而且引起了传统的常量究状态进到研究过程，而且引起了传统的常量数学观点的更新，诸如方程、不等式、数列以数学观点的更新，诸如方程、不等式、数列以及三角学等内容均可以统旧到函数思考下进行及三角学等内容均可以统旧到函数思考下进行研究。研究。如果把二元方程如果把二元方程 理解为隐函数，那么平理解为隐函数，那么平面解析几何也处处运用函数思想，解析几何中面解析几何也处处运用函数思想，解析几何中的的“参数法参数法”（通过曲线的普遍方程与参数方（通过曲线的普遍方程与参数方程互化来研究解决问题的方法），直角坐标与程互化来研究解决问题的方法），直角坐标与极坐标的互化，代数中的极坐标的互化，代数中的“换元法换元法”等实质上等实质上都是复合函数思想的体现。都是复合函数思想的体现。因此，函数是贯穿中学教学内容的一根红因此，函数是贯穿中学教学内容的一根红线，不仅是高中数学的中心，而且也是初中数线，不仅是高中数学的中心，而且也是初中数学的一个基点。学的一个基点。四、数形结合思想四、数形结合思想 数与形是现实世界客观事物的抽象和反映，是数与形是现实世界客观事物的抽象和反映，是数学的基石。数学的基石。“数数”主要是指实数，复数或代数对主要是指实数，复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；思维的产物；“形形”主要指几何图形，属于形象思主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物，数形结合使人充维范畴，是人的右脑思维的产物，数形结合使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面协调、深入发展人的思维能力。全面协调、深入发展人的思维能力。数形结合思想，是通过数形之间的对应与互助来研数形结合思想，是通过数形之间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想，究问题并解决问题的思想，“形形”中的若量（如距离，中的若量（如距离，角度，面积，体积等）在一定单位制中可分别对应若干角度，面积，体积等）在一定单位制中可分别对应若干确定的确定的“数数”，这种对应一般又可分解成多个映射，笛，这种对应一般又可分解成多个映射，笛卡尔通过建立点与有序数组对应实现了卡尔通过建立点与有序数组对应实现了“位置的量化位置的量化”，这是数形线路合的一个根本点，后来三角学的崛起体，这是数形线路合的一个根本点，后来三角学的崛起体现了数与形的现了数与形的“战术性战术性”结合，为数学开辟一个广阔的结合，为数学开辟一个广阔的新天地。解析几何的建立是数与形的新天地。解析几何的建立是数与形的“战略性战略性”结合的结合的标志，数形结合思想的另一重要体现。是标志，数形结合思想的另一重要体现。是“向量向量”概念概念的建立。的建立。运用数形结合思想处理问题，就是在处理问题时，运用数形结合思想处理问题，就是在处理问题时，斟酌问题的具体情形，使图形性质问题借助于数量关系斟酌问题的具体情形，使图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量化，或者使数量关系的问题借助于几何的推演而具体量化，或者使数量关系的问题借助于几何直观而形象化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起直观而形象化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。实现抽象概念与具体形象表象的联系和转化。来。实现抽象概念与具体形象表象的联系和转化。五、化归转化思想（用数学思想烧开水）五、化归转化思想（用数学思想烧开水）是最广泛的思想，你几乎在解每一道题都用到它。是最广泛的思想，你几乎在解每一道题都用到它。比较明显的转化思想可以分为以下几类：比较明显的转化思想可以分为以下几类：1）特殊与一般的相互转化有些一般性的问题，可）特殊与一般的相互转化有些一般性的问题，可将其转化为特殊问题进行处理。这种转化是解选择题将其转化为特殊问题进行处理。这种转化是解选择题的重要方法之一。的重要方法之一。2）数与形互相转化）数与形互相转化3）动与静的转化）动与静的转化这种动静转化的思想方法在求解轨迹题、求证定这种动静转化的思想方法在求解轨迹题、求证定值题中常常采用。值题中常常采用。转化后得到的新问题应是易于解决的问题，为此转化后得到的新问题应是易于解决的问题，为此常常需要把较生疏的问题转化为比较熟悉的问题；将常常需要把较生疏的问题转化为比较熟悉的问题；将复杂的问题转化为比较简单的问题；将抽象问题转化复杂的问题转化为比较简单的问题；将抽象问题转化成比较具体的问题。成比较具体的问题。六、分类讨论思想六、分类讨论思想分类讨论的步骤为：确定对象、分类讨论、分类讨论的步骤为：确定对象、分类讨论、归纳综合。归纳综合。分类讨论的思想，就是解题中对于那些结分类讨论的思想，就是解题中对于那些结论必须用分段形式叙述的问题或所研究的对象论必须用分段形式叙述的问题或所研究的对象的全体不宜用同一方法处理的问题，采用化整的全体不宜用同一方法处理的问题，采用化整为零，各个击破，使问题获得解决的思想。为零，各个击破，使问题获得解决的思想。用分类讨论法解题必须遵循一定的规则：用分类讨论法解题必须遵循一定的规则：（1）对全体对象的分类必须做到不重不漏；）对全体对象的分类必须做到不重不漏；（2）分类只能按同一标准进行；）分类只能按同一标准进行；（3）讨论应逐渐进行。）讨论应逐渐进行。七、公理化思想七、公理化思想 数学被尊崇为严谨科学的典范，是由于它首先成功地贯彻公数学被尊崇为严谨科学的典范，是由于它首先成功地贯彻公理化思想，例如，欧几显得就是把亚里士多德总结的公理化思理化思想，例如，欧几显得就是把亚里士多德总结的公理化思想萌芽应用到几何中，逐步完善并贯彻了公理化思想，把古代想萌芽应用到几何中，逐步完善并贯彻了公理化思想，把古代关于几何的经验知识条理化、系统化，形成了一个合乎逻辑的关于几何的经验知识条理化、系统化，形成了一个合乎逻辑的体系，写出举世闻名的划时代著作体系，写出举世闻名的划时代著作几何原本几何原本。所谓公理化，。所谓公理化，就是先列出一些不加定义的基本概念和不加证明的基本命题作就是先列出一些不加定义的基本概念和不加证明的基本命题作为公理，然后在这个基础上，以推演规则为工具，把某一范围为公理，然后在这个基础上，以推演规则为工具，把某一范围内（或系统）的新要领及真命题推演出来，对于已给定的公理内（或系统）的新要领及真命题推演出来，对于已给定的公理和推演规则，一方面我们希望从它能推出更多的新概念及真命和推演规则，一方面我们希望从它能推出更多的新概念及真命题，最好能把某一范围内（或某系统内）的新概念及真命题全题，最好能把某一范围内（或某系统内）的新概念及真命题全部推出来，而且最好能使其作为出发点的公理最少，简言之，部推出来，而且最好能使其作为出发点的公理最少，简言之，公理要最少，而推出的结果要最多，同时，我们还要求从它不公理要最少，而推出的结果要最多，同时，我们还要求从它不能推出我们所不要的东西，特别是不出现逻辑矛盾。能推出我们所不要的东西，特别是不出现逻辑矛盾。中学数学知识系统，原则上也就按公理思想展开的，特别是中学数学知识系统，原则上也就按公理思想展开的，特别是平面几何，立体几何还明确列出公理，整个数学教材大体是按平面几何，立体几何还明确列出公理，整个数学教材大体是按下列的逻辑结构，采用演绎方法展开的。下列的逻辑结构，采用演绎方法展开的。数学思想方法的获得，一方面是课中有意数学思想方法的获得，一方面是课中有意的渗透，但更多的是靠学生在反思过程中领悟，的渗透，但更多的是靠学生在反思过程中领悟，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训，等等。只有这样，才能对数住哪些经验教训，等等。只有这样，才能对数学思想方法有所认识，对数学的理解一定会由学思想方法有所认识，对数学的理解一定会由量的联系发展到质的飞跃。量的联系发展到质的飞跃。例如，在得出平行四边形的面积公式后，教师要例如，在得出平行四边形的面积公式后，教师要引导学生反思：我们是怎样得出平行四边形的面积公引导学生反思：我们是怎样得出平行四边形的面积公式的？让学生在反思的过程中领悟：通过剪、移、拼式的？让学生在反思的过程中领悟：通过剪、移、拼的方法把平行四边形转化成已学过面积计算的长方形、的方法把平行四边形转化成已学过面积计算的长方形、正方形，即由未知向已知转化的思想，而这次化归思正方形，即由未知向已知转化的思想，而这次化归思想的领悟，正是后面学习平面图形面积、立体图形体想的领悟，正是后面学习平面图形面积、立体图形体积乃至不规则图形面积计算的基础。正如有人在联合积乃至不规则图形面积计算的基础。正如有人在联合国教科文组织的数学教育论文专辑中曾举例说：我们国教科文组织的数学教育论文专辑中曾举例说：我们能确信三角形的面积公式一定是很重要的吗？很多人能确信三角形的面积公式一定是很重要的吗？很多人在校外生活中很少使用这个公式。更重要的是要获得在校外生活中很少使用这个公式。更重要的是要获得这样的思想，就是通过分割一个表面成简单的小块，这样的思想，就是通过分割一个表面成简单的小块，并且用一种不同的方式重新组成这个图形来求出它的并且用一种不同的方式重新组成这个图形来求出它的面积，这个见解无疑是正确的！面积，这个见解无疑是正确的！因此，数学的学习，更重要的是数学思因此，数学的学习，更重要的是数学思想方法的学习，只有突破数学思想，才能进想方法的学习，只有突破数学思想，才能进行创造性的学习。行创造性的学习。