概率论第七章 第二节.ppt

估计量的评选标准估计量的评选标准二二、有效性、有效性一一、无偏性、无偏性三三、一致性、一致性对对同一个参数，用不同的估计方法求出的估同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，采用哪一个估计量为好呢计量可能不相同，采用哪一个估计量为好呢?我们需要一些评判的标准。我们需要一些评判的标准。无偏性无偏性则称则称 为为 的无偏估计。的无偏估计。设设是未知参数是未知参数的估计量，的估计量，定义定义:若若存在，且对任意的存在，且对任意的，有有无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。称为系统误差。称为系统误差。证明：证明：所以所以k k 阶样本矩阶样本矩无偏估计。无偏估计。例例1 1：设：设X X1 1,X,X2 2,X Xn n 是是取自总体取自总体 X X 的的一个样本一个样本,若若k k阶矩阶矩存在，试证明存在，试证明不论总体服从什么分布，不论总体服从什么分布，k k 阶样本矩阶样本矩A Ak k是是k k阶总体矩阶总体矩k k的无偏估计。的无偏估计。A A1 1是是的无偏的无偏估计量，估计量，A A2 2是是2 2的无偏估计的无偏估计量。量。例例2：设总体：设总体 X 的期望的期望与方差与方差2都存在且未知，则估计量都存在且未知，则估计量是是无偏的吗无偏的吗?解：解：A A2 2是是2 2的的无偏估计无偏估计不是不是2的无偏估计量，但是样本方差：的无偏估计量，但是样本方差：所以所以是是的的无偏估计无偏估计所以所给的估计量：所以所给的估计量：例例3 3：设：设 X X1 1,X X2 2,X Xn n 是是取自总体取自总体 X X 的的一个样本一个样本,求求k k 使使为为的的无偏估计无偏估计.求求L L 使使为为的的无偏估计无偏估计.解解：(1)(1)由于由于为什么?故故当当时时结论成立结论成立.一个未知数可以有不同的无偏估计量。一个未知数可以有不同的无偏估计量。解解例例4有效性有效性如果一个参数如果一个参数两个的两个或多个估计量都是无偏估计量，两个的两个或多个估计量都是无偏估计量，哪个更好？我们要发展另一个评判标准。哪个更好？我们要发展另一个评判标准。定义：设参数定义：设参数的两个估计量都是无偏估计量，即的两个估计量都是无偏估计量，即如果它们方差有大小关系即：如果它们方差有大小关系即：则称估计量则称估计量 估计量估计量 更有效。更有效。定义定义3 若若为为参数参数的的估计量估计量若若对于任意对于任意当当时时则称则称是是的一致估计量的一致估计量.一致性一致性估计量的一致估计量的一致性是指：估计性是指：估计量要具有收敛量要具有收敛性性!比如：比如：k k阶样本矩阶样本矩A Ak k就是就是k k阶总体矩阶总体矩k k的一致估的一致估计量计量!例例5 5：设：设X X1 1,X X2 2,X Xn n 是是取自总体取自总体X X N(N(,2 2)的一个样本的一个样本,验证验证都是都是的的无偏估计无偏估计.问那个估计量最有效问那个估计量最有效?解：第一问解：第一问都是总体均值都是总体均值的无偏的无偏估计量估计量;故故第二问：第二问：所以所以更更有效有效证明证明都是都是的无偏的无偏估计量且估计量且有效。有效。比比证明：证明：由于正态总体故由于正态总体故即即是是的无偏的无偏估计量。估计量。例例6 6：设：设X X1 1,X,X2 2,X Xn n是来自总体是来自总体X XN(N(,2 2)的一个样本，且的一个样本，且已知，已知，又因为又因为 S S2 22 2 就是样本方差，就是样本方差，故它也是总体方差故它也是总体方差2 2的无的无偏估计量。偏估计量。有效。有效。比比即即另外可以求出：另外可以求出：再由第六章一个定理可以求出：再由第六章一个定理可以求出：练习练习1 1：已知总体：已知总体X X服从服从b(1,p)b(1,p)，证明下式是，证明下式是p p2 2的无偏估计。的无偏估计。样本方差是总体方差的无偏估计！样本方差是总体方差的无偏估计！练习练习2 2：已知总体：已知总体X X服从服从N N（,2 2），并且），并且X X1 1,X,X2 2,X Xn n是一个是一个简单随机样本，下式哪些是简单随机样本，下式哪些是的无偏估计？哪个更有效？的无偏估计？哪个更有效？