复变函数复变函数复变函数 (14).pdf

函数解析的充要条件及 C a u c h y-R i e m a n n 方程的不同形式摘要：解析函数是复变函数论中最基本的概念之一，在这里给出了五个函数解析的充要条件，还推导出函数解析的另一个充要条件，并探讨出 Cauchy-Riemann 方程另外两种形式.关键词：解析函数；充要条件；柯西黎曼方程中图分类号：O 1 7 4.5文献标识码：A文章编号：1 6 7 3-2 6 0 X（2 0 1 3）0 7-0 0 0 7-0 21五个常见充要条件引理1函数在区域 D内解析的充要条件是：二元函数 u(x,y)，v(x,y)在区域 D内可微且 u(x,y)，v(x,y)在 D内满足C.-R.方程.引理2函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析的充分必要条件是:ux,uy,vx,vy在 D内连续且 u(x,y)，v(x,y)在 D内满足C.-R.方程.引理3函数 f(z)在区域 G内解析的充要条件是：f(z)在G内连续；且对任一周线 C，只要 C及其内部全含于 G内，就有c乙f(z)d z=0.引理4函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析的充要条件是：在区域 D内 v(x,y)是 u(x,y)的共轭调和函数.引理5函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析的充要条件是：f(z)在 D内任一点 a 的邻域内可展成 z-a 的幂级数.2函数解析另一个充要条件函数 f(z)=u+i v 解析的充分必要条件 fz軃=0.证明必要性f=f(z)-f(z0)=u+i vu=uxx+uyy；v=vxx+vyy；f=u+i v=(ux+i vx)x+(uy+i vy)yf=fxx+fyyz=x+i yz軃=x-i軃y圯x=z+z軃2y=-iz-z軃2軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃圯x=z+z軃2y=-iz-z軃2軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃f=fxz+z軃2+fy-iz-z軃2軃軃=12(fx-i fy)z+12(fx-i fy)z軃(1)f=f z z+fz軃z軃(2)故由（1）（2）知fz=12(fx-i fy)fz軃=12(fx+i fy軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃)(3)fz軃=12(fx+i fy)=12(ux+i vx)+12i(uy+i vy)=12(ux-uy)+12i(uy+vx)(4)而 f(z)是解析函数，由 C.-R.得，ux-vy=0，uy+vx=0,代入(4)即 fz軃=0.必要性:fz軃=12(ux-vy)+12i(uy+vx)=0ux-uy=0,uy+vx=0ux=uyuy=-vx軃圳C.-R.u,v 可軃微圳f(z)解析,证毕.3Cauchy-Riemann方程另两种形式3.1 极坐标下的柯西黎曼方程为r ur=vr vr=-u軃证明若 f(z)=u(r,)+i v(r,)z=r ei=r(c o s+i s i n)=x+i yf(z)=u(r,)+i v(r,)=ux2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨+i vx2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨p(x,y)=ux2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨q(x,y)=vx2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨f(z)=p(x,y)+i q(x,y)px=urrx+ux=urxx2+y2姨-uyx2+y2py=urry+uy=uryx2+y2姨+uxx2+y2qx=vrrx+vx=vrxx2+y2姨-vyx2+y2qy=vrry+vy=vryx2+y2姨+vxx2+y2而 f(z)=p(x,y)+i q(x,y)解析，C.-R.方程为 px=qy；py=-qx即7-ur=xx2+y2姨-uyx2+y2=vryx2+y2姨+vxx2+y2(1)ur=yx2+y2姨+uxx2+y2=-vrxx2+y2姨+vyx2+y2(2)将(1)x+(2)y 得，urx2+y2x2+y2姨=v，即 r ur=v.将(1)y+(2)x 得，vrx2+y2x2+y2姨=-u，即 r vr=u.极坐标下柯西黎曼方程为r ur=vr vr=-u姨那么极坐标这下函数解析的充要条件可改写为r ur=vr vr=-u姨，且 u,v 可微.3.2 C a u c h y-R i e m a n n 方程的梯度形式f(z)=u(x,y)+i v(x,y),u(x,y)v(x,y)的 C a u c h y-R i e m a n n方程的梯度形式为(g r a d u,g r a d v)=0|g r a d u|=|g r a d v姨|证明在代数形式下的柯西黎曼方程为 ux=vy，uy=-vx，那么有(g r a d u,g r a d v)=(uxe1+uye2,vxe1+vye2)=uxvx+uyvy=-uyvy+uyvy=0其中 e1,e2是与 x,y 轴正向相同的单位矢量.|g r a d u|=ux2+uy2姨=vy2+(-vx)2姨=vy2+vx2姨=|g r a d v|所以(g r a d u,g r a d v)=0|g r a d u|=|g r a d v姨|4求解析函数的一种公式已知调和函数 v(x,y)，以 v(x,y)为虚部的解析函数 f(z)=2 i v(x,y)+c0=2 i vz+z02,z-z02 i姨姨+c0且 f(z0)=c0证明因为 v(x,y)是调和函数，共轭关系知存在 u(x,y)使得 f(z)=u+i v 在 D内解析，取 D内任一点 z0，那么 f(z)在 z0的某一邻域内可展开为f(z)=c0+n=1cn(z-z0)n(1)f(z)=c0+n=1cn(z-z0)(2)其收敛半径为 R,必有f(z)=u+i vf(z)=u-i姨v，v=f(z)-f(z)2 i=12 i(c0-c0)+12 in=1 cn(z-z0)n-cn(z-z0)n而 z=x+i y；z0=x0+i y0，在|z-z0|R内，有，v=12 i(c0-c0)+12 in=1 cn(x-x0)+i(y-y0)n-c0(x-x0)-i(y-y0)n(3)取|x-x0|R2，|y-y0|R2有|z-z0|=|(x-x0)+y(y-y0)|R，在(3)式中可取，x-x0=-z02；y-y0=-z02 i由(1)(2)知：v(x,y)=vx0+-z02,y0+-z02 i姨=12 i(c0-c0)+12 in=1cn(-z0)n=12 i(c0-c0)+12 i f()-c0(4)x0+-z02=2x0+-x0-i y02=+z02(5)y0+-z02 i=2i y0+-x0-i y02 i=-z02(6)将(5)(6)代入(4)中有v(x,y)=vx0+-z02,y0+-z02 i=v+z02,-z02姨=12 i(c0-c0)+12 i f()-c0=12 if()-12 ic0f()=2 i v(x,y)+c0=2 i vz+z02,z-z02 i姨+c0，f(z0)=c0.将换成 z 得出以下结论f(z)=2 i v(x,y)+c0=2 i vz+z02,z-z02 i姨+c0，且 f(z0)=c0同理有已知 u(x,y)是单连通区域 D内的调和函数，z0为D内任一点，则在 D内以 u(x,y)为实部的解析函数为f(z)=2 uz+z02,z-z02 i姨-c0c0=f(z0).参考文献：1钟玉泉.复变函数论M.北京：高等教育出版社，2004.2杨纶标，郝志峰.复变函数M.北京：科学出版社，2003.8-