全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 22等腰三角形.doc

等腰三角形等腰三角形一、选择题一、选择题1. （ 2014广东，第 9 题 3 分）一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为（ ）A17B15C13D13 或 17考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为 3；（2）当等腰三角形的腰为 7；两种情况讨论，从而得到其周长解答： 解：当等腰三角形的腰为 3，底为 7 时，3+37 不能构成三角形；当等腰三角形的腰为 7，底为 3 时，周长为 3+7+7=17故这个等腰三角形的周长是 17故选 A点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论2. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 10 题 3 分）在等腰ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）A1cmAB4cmB5cmAB10cmC4cmAB8cmD4cmAB10cm考点： 等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系分析： 设AB=AC=x，则BC=202x，根据三角形的三边关系即可得出结论解答： 解：在等腰ABC中，AB=AC，其周长为 20cm，设AB=AC=xcm，则BC=（202x）cm，解得 5cmx10cm故选 B点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键3 （2014·浙江金华，第 8 题 4 分）如图，将RtABC绕直角顶点顺时针旋转 90°，得到ABC，连结AA，若1=20°，则B的度数是【 】A70° B65° C60° D55°【答案】B【解析】4. （2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）（第 1 题图）A3B4C5D6考点： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析： 过P作PDOB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由ODMD即可求出OM的长解答： 解：过P作PDOB，交OB于点D，在RtOPD中，cos60°= ，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故选 C点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键二二. .填空题填空题1. （ 2014广东，第 16 题 4 分）如图，ABC绕点A顺时针旋转 45°得到ABC，若BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 1 考点：旋转的性质分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC=AC=1，进而求出阴影部分的面积解答：解：ABC绕点A顺时针旋转 45°得到ABC，BAC=90°，AB=AC=，BC=2，C=B=CAC=C=45°，ADBC，BCAB，AD=BC=1，AF=FC=AC=1，图中阴影部分的面积等于：SAFCSDEC= ×1×1 ×（1）2=1故答案为：1点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC的长是解题关键2. （ 2014珠海，第 10 题 4 分）如图，在等腰RtOAA1中，OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，则OA4的长度为 8 考点： 等腰直角三角形专题： 规律型分析： 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案解答： 解：OAA1为等腰直角三角形，OA=1，AA1=OA=1，OA1=OA=；OA1A2为等腰直角三角形，A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；OA2A3为等腰直角三角形，A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；OA3A4为等腰直角三角形，A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8故答案为：8点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键3. （ 2014广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰ABC中，AB=AC，DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则A的度数是 50° 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析： 根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得A=ABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C=ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可解答： 解：MN是AB的垂直平分线，AD=BD，A=ABD，DBC=15°，ABC=A+15°，AB=AC，C=ABC=A+15°，A+A+15°+A+15°=180°，解得A=50°故答案为：50°点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用A表示出ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键4(2014 年天津市，第 17 题 3 分)如图，在RtABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则DCE的大小为 45 （度） 考点：等腰三角形的性质分析：设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90°ACE=90°xy，根据等边对等角得出ACE=AEC=x+y，BDC=BCD=BCE+DCE=90°y然后在DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°y）+（x+y）=180°，解方程即可求出DCE的大小解答：解：设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90°ACE=90°xyAE=AC，ACE=AEC=x+y，BD=BC，BDC=BCD=BCE+DCE=90°xy+x=90°y在DCE中，DCE+CDE+DEC=180°，x+（90°y）+（x+y）=180°，解得x=45°，DCE=45°故答案为 45点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键5 （2014新疆，第 12 题 5 分）如图，在ABC中，AB=AC，A=40°，点D在AC上，BD=BC，则ABD的度数是 考点： 等腰三角形的性质分析： 根据等腰三角形两底角相等求出ABC=C，再求出CBD，然后根据ABD=ABCCBD代入数据计算即可得解解答： 解：AB=AC，A=40°，ABC=C= （180°40°）=70°，BD=BC，CBD=180°70°×2=40°，ABD=ABCCBD=70°40°=30°故答案为：30点评： 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键6 （2014 年云南省，第 13 题 3 分）如图，在等腰ABC中，AB=AC，A=36°，BDAC于点D，则CBD= 18° 考点：等腰三角形的性质分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得DBC的度数解答：解：AB=AC，A=36°，ABC=ACB=72°BDAC于点D，CBD=90°72°=18°故答案为：18°点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般7. （2014益阳，第 13 题，4 分）如图，将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得ACD，BC的中点E的对应点为F，则EAF的度数是 60° （第 1 题图）考点： 旋转的性质；等边三角形的性质分析： 根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出EAF的度数解答： 解：将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得ACD，BC的中点E的对应点为F，旋转角为 60°，E，F是对应点，则EAF的度数为：60°故答案为：60°点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键8. （2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D依次为一直线上 4 个点，BC=2，BCE为等边三角形，O过A、D、E3 点，且AOD=120°设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 y= （x0） （第 2 题图）考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理分析： 连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得AED=120°，然后求得ABEECD根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解解答： 解：连接AE，DE，AOD=120°，为 240°，AED=120°，BCE为等边三角形，BEC=60°；AEB+CED=60°；又EAB+AEB=60°，EAB=CED，ABE=ECD=120°；=，即 = ，y= （x0） 点评： 此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力9. （2014扬州，第 10 题，3 分）若等腰三角形的两条边长分别为 7cm和 14cm，则它的周长为 35 cm考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为 7cm和 14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形解答： 解：14cm为腰，7cm为底，此时周长为 14+14+7=35cm；14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去故其周长是 35cm故答案为 35点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键10.（2014呼和浩特，第 13 题 3 分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36，则该等腰三角形的底角的度数为 63°或 27° 考点： 等腰三角形的性质专题： 分类讨论分析： 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数解答： 解：在三角形ABC中，设AB=AC，BDAC于 D若是锐角三角形，A=90°36°=54°，底角=（180°54°）÷2=63°；若三角形是钝角三角形，BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°126°）÷2=27°所以等腰三角形底角的度数是 63°或 27°点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理三三. .解答题解答题1. （2014湘潭，第 25 题） ABC为等边三角形，边长为a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tanEDF=，求此圆直径（第 1 题图）考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析： （1）只需找到两组对应角相等即可（2）四边形ADFE面积S可以看成ADF与AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF转化为EAF在AFC中，知道tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长解答： 解：（1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90°ABC为等边三角形，B=C=60°BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90°，B=60°，sin60°=，cos60°=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4SADF=ADDF=×（4）×m=m2+m同理：SAEF=AEEF=×（4）×（4m）=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中 0m40，024，当m=2 时，S取最大值，最大值为 3S与m之间的函数关系为：S（m2）2+3（其中 0m4） 当m=2 时，S取到最大值，最大值为 3（3）如图 2，A、D、F、E四点共圆，EDF=EAFADF=AEF=90°，AF是此圆的直径tanEDF=，tanEAF=C=60°，=tan60°=设EC=x，则EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90°，AF=此圆直径长为点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键2. （2014益阳，第 20 题，10 分）如图，直线y=3x+3 与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长（第 2 题图）考点： 二次函数综合题分析： （1）先求出直线y=3x+3 与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点的坐标为（2，m） ，对称轴x=2 交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2 于点E在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由AQ=BQ，得到方程 1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，则四边形AMCN为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答： 解：（1）直线y=3x+3 与x轴、y轴分别交于点A、B，A（1，0） ，B（0，3） 又抛物线抛物线y=a（x2）2+k经过点A（1，0） ，B（0，3） ，解得，故a，k的值分别为 1，1；（2）设Q点的坐标为（2，m） ，对称轴x=2 交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2 于点E在RtAQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q点的坐标为（2，2） ；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线又对称轴x=2 是AC的中垂线，M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1） 此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN=，即正方形的边长为点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中3. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点） ，以线段AB为边向上作等边三角形ABC（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求ABC的面积（图 1） ；（2）设AOB=，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求的范围（图2，直接写出答案） ；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AOPM于点N，求CM的长度（图 3） （第 3 题图）考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值分析： （1）连接OA，如下图 1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出ABC的面积（2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时=60°从而定出的范围（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图 3，易证AOMQ，从而得到PDOPMQ，BMQBAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值解答： 解：（1）连接OA，过点B作BHAC，垂足为H，如图 1 所示AB与O相切于点A，OAABOAB=90°OQ=QB=1，OA=1AB=ABC是等边三角形，AC=AB=，CAB=60°sinHAB=，HB=ABsinHAB=×=SABC=ACBH=××=ABC的面积为（2）当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时=0°；当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图 2 所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60°当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，的范围为：0°60°（3）连接MQ，如图 3 所示PQ是O的直径，PMQ=90°OAPM，PDO=90°PDO=PMQPDOPMQ=PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90°，PO=1，OD=，PD=PM=DM=ADM=90°，AD=A0OD=，AM=ABC是等边三角形，AC=AB=BC，CAB=60°BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM的长度为点评： 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强4. （2014泰州，第 23 题，10 分）如图，BD是ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DEAB，EFAC（1）求证：BE=AF；（2）若ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积（第 4 题图）考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形分析： （1）由DEAB，EFAC，可证得四边形ADEF是平行四边形，ABD=BDE，又由BD是ABC的角平分线，易得BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点D作DGAB于点G，过点E作EHBD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案解答： （1）证明：DEAB，EFAC，四边形ADEF是平行四边形，ABD=BDE，AF=DE，BD是ABC的角平分线，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=DE，BE=AF；（2）解：过点D作DGAB于点G，过点E作EHBD于点H，ABC=60°，BD是ABC的平分线，ABD=EBD=30°，DG=BD= ×6=3，BE=DE，BH=DH=BD=3，BE=2，DE=BE=2，四边形ADEF的面积为：DEDG=6点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用5. （2014泰州，第 26 题，14 分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x0）与y2= （x0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、B（第 5 题图）（1）若ABx轴，求OAB的面积；（2）若OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b0，求ab的值；（3）作边长为 3 的正方形ACDE，使ACx轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于 4 的任意实数a，CD边与函数y1= （x0）的图象都有交点，请说明理由考点： 反比例函数综合题分析： （1）如图 1，AB交y轴于P，由于ABx轴，根据k的几何意义得到SOAC=2，SOBC=2，所以SOAB=SOAC+SOBC=4；（2）根据分别函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为 、 ，根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（ ）2，则利用等腰三角形的性质得到a2+（ ）2=b2+（ ）2，变形得到（a+b） （ab） （1）=0，由于a+b0，a0，b0，所以 1=0，易得ab=4；（3）由于a4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1= （x0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1= （x0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a， ） ，正方形ACDE的边长为 3，则得到C点坐标为（a3， ） ，F点的坐标为（a3，） ，所以FC= ，然后比较FC与 3 的大小，由于3FC=3（ ）=，而a4，所以 3FC0，于是可判断点F在线段DC上解答： 解：（1）如图 1，AB交y轴于P，ABx轴，SOAC= ×|4|=2，SOBC= ×|4|=2，SOAB=SOAC+SOBC=4；（2）A、B的横坐标分别为a、b，A、B的纵坐标分别为 、 ，OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（ ）2，OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB，a2+（ ）2=b2+（ ）2，a2b2+（ ）2（ ）2=0，a2b2+=0，（a+b） （ab） （1）=0，a+b0，a0，b0，1=0，ab=4；（3）a4，而AC=3，直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1= （x0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1= （x0）的图象交点为F，如图 2，A点坐标为（a， ） ，正方形ACDE的边长为 3，C点坐标为（a3， ） ，F点的坐标为（a3，） ，FC= ，3FC=3（ ）=，而a4，3FC0，即FC3，CD=3，点F在线段DC上，即对大于或等于 4 的任意实数a，CD边与函数y1= （x0）的图象都有交点点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小6. （2014扬州，第 28 题，12 分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（第 6 题图）（1）如图 1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为 1：4，求边AB的长；（2）若图 1 中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图 2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合） ，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题： 综合题；动点型；探究型分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在RtPCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长（2）由DP=DC=AB=AP及D=90°，利用三角函数即可求出DAP的度数，进而求出OAB的度数（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长解答： 解：（1）如图 1，四边形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90°由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=BAPO=90°APD=90°CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDAOCP与PDA的面积比为 1：4，= PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=8设OP=x，则OB=x，CO=8x在RtPCO中，C=90°，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边AB的长为 10（2）如图 1，P是CD边的中点，DP=DCDC=AB，AB=AP，DP=APD=90°，sinDAP= DAP=30°DAB=90°，PAO=BAO，DAP=30°，OAB=30°OAB的度数为 30°（3）作MQAN，交PB于点Q，如图 2AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ和NFB中，MFQNFBQF=BFQF=QBEF=EQ+QF=PQ+QB=PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90°PB=4EF=PB=2在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为 2点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键7 （2014温州，第 20 题 10 分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F（1）求F的度数； （2）若CD=2，求DF的长考点： 等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形分析： （1）根据平行线的性质可得EDC=B=60，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解解答： 解：（1）ABC是等边三角形，B=60°，DEAB，EDC=B=60°，EFDE，DEF=90°，F=90°EDC=30°；（2）ACB=60°，EDC=60°，EDC是等边三角形ED=DC=2，DEF=90°，F=30°，DF=2DE=4点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度的锐角所对的直角边等于斜边的一半8.（2014 年广东汕尾，第 19 题 7 分）如图，在RtABC中，B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE（1）求ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5 时，求ABE的周长分析：（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论解：（1）由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，ADE=90°；（2）在RtABC中，B=90°，AB=3，AC=5，BC=4，MN是线段AC的垂直平分线，AE=CE，ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7点评：本题考查的是作图基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键9.（2014襄阳，第 21 题 6 分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定专题： 开放型分析： （1）由；两个条件可以判定ABC是等腰三角形，（2）先求出ABC=ACB，即可证明ABC是等腰三角形解答： 解：（1）；（2）选证明如下，OB=OC，OBC=OCB，EBO=DCO，又ABC=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB，ABC=ACB，ABC是等腰三角形点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求ABC=ACB10.（2014滨州，第 24 题 10 分）如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC处，连接AC，BC，CC，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程考点：正方形的性质；等腰三角形的判定；旋转的性质分析：利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出解答：解；图中的等腰三角形有：DCC，DCA，CAB，CBC，理由：四边形ABCD是正方形，AB=AD=DC，BAD=ADC=90°，DC=DC=DA，DCC，DCA为等腰三角形，CDC=30°，ADC=90°，ADC=60°，ACD为等边三角形，CAB=90°60°=30°，CDC=CAB，在DCC和ACB中，DCCACB（SAS），CC=CB，BCC为等腰三角形点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出ACD为等边三角形是解题关键11.（2014菏泽，第 16 题 6 分） （1）在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质分析：（1）求出CAD=BAD=EDA，推出AE=DE，求出ABD=EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解答：解：（1）AD平分BAC，BAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，BAD=ADE，AE=DE，ADDB，ADB=90°，EAD+ABD=90°，ADE+BDE=ADB=90°，ABD=BDE，DE=BE，AB=5，DE=BE=AE=2.5点评：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE