1.D6_1定积分.ppt

第六章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第六章第六章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成,求其面积求其面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间在区间 a,b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以为底为底,为高的小矩形为高的小矩形,并以此小并以此小梯形面积近似代替相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)近似和近似和.4)取极限取极限.令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,且且求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成将它分成在每个小段上物体经在每个小段上物体经2)常代变常代变.得得已知速度已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段个小段过的路程为过的路程为3)近似和近似和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同:“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分定义二、定积分定义 任一种任一种分法分法任取任取总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I,则称此极限则称此极限 I 为函数为函数在区间在区间上的上的定积分定积分,即即此时称此时称 f(x)在在 a,b 上上可积可积.记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略证明略)例例1.利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解:将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为取取机动 目录 上页 下页 返回 结束(或或单调单调)注注注 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明证明 Dirichlet 函数在任何区间函数在任何区间 a,b(ab)上上不可积。不可积。解解:设设说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据定积根据定积分分定义可得如下近似计算方法定义可得如下近似计算方法:将将 a,b 分成分成 n 等份等份:(左矩形公式左矩形公式)(右矩形公式右矩形公式)为了提高精度为了提高精度,还可建立更好的求积公式还可建立更好的求积公式,例如辛普例如辛普森森机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式公式,复化求积公式等复化求积公式等,并有并有现成的数学软件可供调用现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)(k 为常数为常数)证证:=右端右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:当当时时,因因在在上可积上可积,所以在分割区间时所以在分割区间时,可以永远取可以永远取 c 为分点为分点,于是于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当 a,b,c 的相对位置任意时的相对位置任意时,例如例如则有则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.若在若在 a,b 上上则则证证:推论推论1.若在若在 a,b 上上则则 (比较性质比较性质)机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.证证:即7.设设则则(估值定理估值定理)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.试证试证:证证:设设则在则在上上,有有即即故故即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证试证:证证:当当 0 x1 时，有时，有因此因此故故8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点则至少存在一点使使证证:则由则由性质性质7 可得可得根据闭区间上连续函数介值定理根据闭区间上连续函数介值定理,使使因此定理成立因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:可把可把故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对积分中值定理对因因 积分广义中值定理积分广义中值定理:则至少存在一点则至少存在一点使使例例6.计算从计算从 0 秒到秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均秒这段时间内自由落体的平均速度速度.(函数的平均值）函数的平均值）解解:已知自由落体速度为已知自由落体速度为故所求平均速度故所求平均速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2.定积分的性质定积分的性质3.积分中值定理积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形公式矩形公式 梯形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算近似计算思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限:解解:或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为极限为 0!机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设设 f(x)在区间在区间a,b(ab)上连续、非负且不上连续、非负且不恒恒为为零，证明零，证明 解：解：由所给条件，必有由所给条件，必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 3.设设 f(x)在区间在区间证证:因为因为将将其中由于其中由于cosx 在在上为上为正号，在正号，在为为负号。从而使得上述两个积分负号。从而使得上述两个积分中被积函数均大于中被积函数均大于0 0导致积分大于导致积分大于0 0，产生矛盾。，产生矛盾。从而推知，在从而推知，在