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第四章Curve&Surface 曲线和曲面1曲线和曲面概述Hermite曲线三次样条曲线Bezier 曲线B样条曲线曲面2概述曲线曲面的表示v常用曲线、曲面的表示方法插值方法（Interpolations）逼近方法（Approximations）拟合方法光顺 拉格朗日插值曲线拟合曲线样条曲线3概述曲线曲面的数学描述v参数方程表达式特点：可以快速计算x，y，z坐标v隐式方程表达式特点：可以清晰地表达几何关系平面曲线、曲面空间曲线、曲面4概述v与坐标系无关v具有更大的控制自由度v避免斜率无穷大的情况v自变量和因变量相分离v规格化的参数变量 参数化曲线、曲面的优点5Hermite曲线三次Hermite曲线v特点三次样条拟合的曲线能精确地通过给定的离散点具有连续的二阶导数拟合光顺初始条件：起点、终点坐标及切线方向6Hermite曲线Hermite曲线数学表达曲线上的点：共有12个未知数，需12个方程求解7Hermite曲线曲线起点曲线终点曲线起点切线方向曲线终点切线方向！注意这里共有12个方程8Hermite曲线Hermite曲线数学表达P1P4R4R1 虽然起点、终点以及切线的方向均相同，当时切线矢量的模不同，其相对应的曲线也不同。9Hermite曲线Hermite曲线的连接R0R2R3R4第一段：起点 终点 切矢 切矢第一段第一段：起点 终点 切矢 切矢第二段：起点 终点 切矢 切矢第三段：起点 终点 切矢 切矢第四段：起点 终点第二段第三段第四段 各曲线段首尾相连，所以曲线是连续的，而且在连接处的一阶导数相等，故曲线是光滑的。10三次样条曲线过指定点的连续样条曲线v初始条件指定N1个端点起点、终点切矢v分成N段，每段用Hermite曲线表示v每段Hermite曲线缺少一个切矢方向v补充条件前一段曲线终点处的二阶导数等于后一段曲线起点处的二阶导数11三次样条曲线切矢的求解样条曲线参数方程曲线光顺条件根据：于是：令：得到：12三次样条曲线切矢的求解曲线光顺条件首末端点初始条件根据这个条件可计算出个段曲线的另一个切矢！13三次样条曲线计算步骤v将给出的有序离散点坐标值编号v给定边界端点条件，按衔接为连续条件求中间各点出的切矢v根据各段端点坐标和切矢，列出各段内三次样条曲线的计算公式v由参数变量求各小段内插值点的坐标14Bezier 曲线P1P2P3P4P1P2P3P4由法国雷诺汽车的车身设计师P.Bezier 提出的一种参数曲线表示法首次引入控制顶点概念通过调整控制顶点，可精确控制曲线的形状15Bezier 曲线N阶Bezier 曲线表达式N1个控制顶点矢量Bernstein基函数其中16Bezier 曲线Bezier 曲线的性质v端点特性：曲线通过给定型值点的首末端点v曲线首末与特征多表形相切v几何不变性v对称性v凸包性v整体控制性vBezier 曲线次数为控制顶点数减1v若控制顶点较多，可由多段Bezier 曲线表示17Bezier 曲线特征多边形通过首末端点始终与特征多边形相切修改控制顶点可以改变曲线的形状几何不变性18Bezier 曲线三次Bezier 曲线其中：基函数图形19Bezier 曲线用矩阵形式，可表达为：控制顶点 X，Y分量：20B样条曲线Bezier 曲线的缺陷v不能作局部修改，改变某一控制点，将改变整个曲线，灵活性差 v当n较大时，特征多边形的边数较多，则多边形对曲线的控制的能力减弱；几何不变性v给定了控制多边形的顶点数n+1，则曲线的阶数为n，这是不大方便的，若要使用分段三次Bezier曲线，还需增加一些附加条件，使用起来不灵活21B样条曲线B样条曲线v保持了Bezier曲线的直观性和凸包性等优点v可进行局部控制v曲线的次数与控制顶点数无关v更好的逼近效果改变控制顶点22B样条曲线N次B样条曲线数学表达式其中三次B样条曲线23B样条曲线用矩阵形式，可表达为：V0，V1，V2，V3，V4，V524B样条曲线B样条几何意义P0在P0P1P2的中线P1M1上距P1的三分之一处；该点切矢P(0)平行于P0P1P2的底边P0P2，长度为其一半；该点二阶导数P(0)等于中线矢量P1M1的两倍。25B样条曲线B样条通过首末顶点的条件v重节点法v顶点共线法26B样条曲线反求控制顶点v原因B样条曲线由控制顶点定义通常用户需要曲线通过给定的型值点v反求控制顶点：由给定的型值点反求通过这些点曲线的控制顶点v反求控制顶点的算法27B样条曲线v反求控制顶点的算法设已知n个有序型值点求控制多边形顶点初始条件由三次样条曲线方程可得：上式包含n 个方程。但有n+2个未知量 28B样条曲线方法1：给出两端切矢条件联立消去 得：联立消去 得：联立得：29B样条曲线方法2：自由端点条件 取 代入：得：30曲面曲线：曲面：一个参数两个参数31曲面旋转曲面32曲面扫描曲面33曲面自由曲面v参数曲线vBezier曲面vB样条曲面34曲面Bezier曲面35曲面B样条曲面36附加作业画出经过下列端点的曲线：(2,3,4)(3,1,5)(4,2,6)(3,4,3)(2,6,0)(5,7,5)三次样条曲线三次Bezier 曲线（需反求控制顶点）三次B样条曲线（需反求控制顶点）分值10分要求源代码（开发工具不限，推荐采用C/C+)所绘制曲线图形（可截屏）37附加作业参考文献计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条 施法中自由曲线曲面造型技术 朱心雄38