2019版高中数学 第一章 1.3.1 函数的单调性与导数（一）学案 新人教A版选修2-2.doc

11 13.13.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数( (一一) )学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一 函数的单调性与导函数的关系思考 观察图中函数f(x)，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f(x)>0k>0锐角上升递增f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0.( × )类型一 函数图象与导数图象的应用2例 1 已知函数yf(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示.x1045f(x)1221给出下列关于函数f(x)的说法：函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是 2，那么t的最大值为 4；当 10，则yf(x)在(a，b)上单调递增；如果f(x)1 时，xf(x)>0，f(x)>0，故yf(x)在(1，)上为增函数故选 C.类型二 利用导数求函数的单调区间命题角度1 不含参数的函数求单调区间例 2 求下列函数的单调区间(1)yx2ln x；1 2(2)yx (b>0)b x考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间解 (1)函数yx2ln x的定义域为(0，)，1 2又y.x1x1x4若y>0，即Error!解得x>1；若y0，则(x)(x)>0，1 x2bb所以x>或x0，函数在解集所表示的定义域内为增函数(4)解不等式f(x)0，得x>1，由f(x)0 时，f(x)，a(xa1a)x1xa>0，>0.a1 a由f(x)>0，得x>1，由f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a>0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当a0 时，函数f(x)在(，)上单调递增；当a>0 时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.1函数f(x)xln x( )A在(0,6)上是增函数B在(0,6)上是减函数C在上是减函数，在上是增函数(0，1 e)(1 e，6)D在上是增函数，在上是减函数(0，1 e)(1 e，6)考点 函数的单调性与导数的关系6题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 A2若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 C解析 由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(，1)和(4，)，因此，当x(1,4)时，f(x)>0，当x(，1)或x(4，)时，f(x)0，即 ln x1>0，得x> .1 e故函数f(x)的单调递增区间为.(1 e，)4若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为1,2，则b_，c_.考点 利用导数求函数的单调区间7题点 已知单调区间求参数值答案 63 2解析 f(x)3x22bxc，由题意知，f(x)0 即 3x22bxc0 的两根为1 和 2.由Error!得Error!5试求函数f(x)kxln x的单调区间考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k .1 xkx1 x当k0 时，kx10 时，由f(x)0，即>0，解得x> .kx1 x1 k当k>0 时，f(x)的单调递减区间为，(0，1 k)单调递增区间为.(1 k，)综上所述，当k0 时，f(x)的单调递减区间为(0，)；当k>0 时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(0，1 k)(1 k，)1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0 和f(x)0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数2函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象9答案 D解析 函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x>0 时，f(x)0)，函数在(，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减，故选 C.4函数f(x)xex的一个单调递增区间是( )A1,0 B2,8C1,2 D0,2考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间答案 A解析 因为f(x)(1x)·ex>0，exxexex2又因为 ex>0，所以x0，yxex在(0，)内为增函数6.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )Af(cos A)f(sin B)Df(sin A)>f(cos B)考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 D解析 根据图象知，当 00，f(x)在区间(0,1)上是增函数ABC为锐角三角形，A，B都是锐角且AB>， 2则 0f(cos B)7定义在 R R 上的函数f(x)，若(x1)·f(x)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)1 时，f(x)0，则f(x)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增，f(0)1 时，f(x)>0，则Error!或Error!解得 00，解得x>0，故f(x)的单调递增区间为(0，)11已知函数f(x)2x3ax21(a为常数)在区间(，0)，(2，)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知单调区间求参数值答案 6解析 由题意得f(x)6x22ax0 的两根为 0 和 2，可得a6.12定义在 R R 上的函数f(x)满足f(1)1，f(x)2x1 的x的取值范围是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (，1)解析 令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0 时，x0，即f(x)>2x1 的解集为(，1)三、解答题13已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为 6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间解 (1)由yf(x)的图象经过点P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为 6xy70，13知6f(1)70，即f(1)1.又f(1)6，Error!即Error!解得bc3，故所求函数解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)>0，得x1；22令f(x)0，试讨论f(x)的单调性2 x考点 利用导函数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数的函数的单调区间解 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 .2 x2a xx2ax2 x2令g(x)x2ax2，其判别式a28.(1)当0，都有f(x)>0，此时f(x)是(0，)上的单调递2增函数；(2)当0，即a2时，当且仅当x时，有f(x)0，对定义域内其余的x都有22f(x)>0，此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数；14(3)当>0，即a>2时，方程g(x)0 有两个不同的实根：x1，x22aa282，0<x1<x2.aa282当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)即 f(x)在和上单调递增；在上单调递(0，a a282) (a a282，)(a a282，a a282)减.